1 Функция sin и её свойства

1. Функция sin и её свойства

• Область определения функции — множество R всех действительных чисел. • Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т. е. синус функция — ограниченная. • • Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат. • Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: • sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. • sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z. • sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z. • sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z. Функция возрастает от − 1 до 1 на промежутках: Функция убывает от − 1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = − 1 в точках: • • •

2. Функция cos и её свойства

• Область определения функции — множество R всех действительных чисел. • Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т. е. косинус функция — ограниченная. • Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R. • График функции симметричен относительно оси OY. • • • Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π: cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R. cos x = 0 при cos x > 0 для всех cos x < 0 для всех Функция возрастает от − 1 до 1 на промежутках: Функция убывает от − 1 до 1 на промежутках: Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: Наименьшее значение функции sin x = − 1 в точках:

3. График показательной функции при а>1

Свойства а>1 • Область определения функции - вся числовая прямая. • Область значений функции - промежуток (0; + ). • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x 1< x 2 , то ax 1 < ax 2. • При x = 0 значение функции равно 1. • Если x > 0 , то a x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

4. График показательной функции а<1

Свойства а<1 • Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1: • Область определения функции - вся числовая прямая. • Область значений функции - промежуток (0; + ). • Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x 1< x 2 , то ax 1 > ax 2. • При x = 0 значение функции равно 1. • Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a x > 1.

5. Смысл мех. производной • Производная имеет смысл мгновенной скорости (если сама функция описывает движение точки, то есть изменение ее координаты).

• • При малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→ 0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени to. при Но по определению производной • Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом Производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. • Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t 1; t 2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает. • Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения: Производ ная от скорости по времени есть ускорение.

6. Геометрический смысл производной

7. Правила нахождения производных • Функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке Хo называется предел • Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке Хo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или -∞ ), то при условии, что функция в точке Хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке Хo бесконечную производную. Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке Хo; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки прямолинейном движении s = s(t) в момент t 0.

Производная суммы • Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

• производная суммы n функций равна сумме n производных

Производная произведения функций. • Докажем правило дифференцирования произведения двух функций. • Предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. • и

Производная частного двух функций. • Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) • По определению производной

8. Степень с рациональным показателем. • Степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований). • Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных а и b справедливы равенства:

9. Таблица с элементарными преобразованиями графиков функций

• • • 10. Свойства корней n-ной степени 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)если n четное если n нечетное то

11. Свойства логарифмов

12. Логарифмическая функция. График. Логарифмической называется функция вида у = loga x, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Св-ва логарифмической функции • 1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел. • 2) Множество значений логарифмической фу нкции представлено множеством R всех действительных чисел. • 3) Логарифмическая функция у = loga x является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1. • 4) Если а > 1, то при х > 1 функция у = loga x принимает положительные значения, а при 0 < х < 1 – отрицательные. Если 0 < а < 1, то функция у = loga x принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные – при х > 1.

13. Понятие экстремума функции. • Точка Хо называется точкой максимума(минимума)для функции f(х), если значение в этой точке больше(меньше), чем значение функции в ближйших соседних точках, для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстемум»

Максимум функции. Рассмотрим функцию y = f(x), которая рассматривается на промежутке (а, b). • Если можно указать такую б-окрестность точки х1 принадлежащую промежутку (а, b), что для всех х (х1, б), выполняется неравенство f(x 1) > f(x), то y 1 = f 1(x 1) называют максимумом функции y = f{x) • Максимум функции y = f{x) обоначим через max f(x). Если можно указать такую б-окрестность точки х2 принадлежащую промежутку (а, b), что для всех х принадлежащую О (х2, 6), х не равно х2 выполняется неравенство f(x 2) < f(x), то y 2= f(х2) называют минимумом функции y-f{x)

Минимум функции. • Минимум функции у = f(x) обозначим через min f(x). Другими словами, максимумом или минимумом функции у = f(x) называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых в точках, достаточно близких к данной и отличных от нее. 1. Максимум функции, определяемый неравенством называется строгим максимумом; нестрогий максимум определяется неравенством f(x 1) > = f(x 2) 2. Максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значения функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции. Максимум (минимум) функции называют локальным максимумом (локальным минимумом) в отличие от абсолютного максимума (минимума) - наибольшего (наименьшего) значения в области определения функции.

Примеры. Найти наибольшее и наименьшее значение функции • на отрезке [1; 4] • на отрезке [-4; -1] • Решение. Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть. Оба отрезка попадают в область определения. Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:

• Стационарные точки определим из уравнения • Единственным действительным корнем является x = 2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1; 4]. Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x = 1, x = 2 и x = 4: • Следовательно, наибольшее значение функции • достигается при x = 1, а наименьшее значение – при x = 2.

• Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4; -1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки): • Следовательно,

14. Основные формулы тригонометрии.

15. Формулы для вычесления производной сложной функции.

16. Таблица производных элементарных функций 12. (arctg u)' = u'/(1 + u 2). 13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u 2).

17. Натуральный логарифм. • Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2, 71. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.

Виды логарифмов. • • Натуральный; Десятичный; Комплексный; Вещественный.

18. Понятие периодической функции. • Функция называется периодической с периодом , если для любого Х выполнено условие: если функция определена в одной из точек Х или Х+Т, то она определена и во второй точке, и ее значения в обеих точках равны между собой: • Число Т называется в этом случае периодом функции f(х).

Пример. • Укажите область значений функции y = arcsinx. • Решение. • Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке. Мы получили область значений функции арксинуса Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1. Мы получили область значений функции арксинуса.

19. Производная степенной и показательной функции. • Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число. • Формулы производной на основе определения:

20. Понятие касательной к графику функции. Определение касательной к графику функции у=f(х). Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р 1 и проведем прямую через точки Р 1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р 1 к Р. Положение секущей РР 1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР 1 и будет касательной к кривой в точке Р.