1 Действительная и мнимая части аналитической функции в

1 Действительная и мнимая части аналитической функции в некоторой области являются в этой области гармоническими функциями, т. е. они удовлетворяют уравнение Лапласа. Действительно, с учётом условий Коши-Римана, получим Пример. Найти аналитическую функцию и значение Проверим, является ли гармонической функцией т. е Действительную часть дифференциала , если известна её мнимая часть. , -гармоническая функция. можно найти используя выражение полного

Так как мы ищем аналитическую функцию, то должны выполнятся условия 2 Коши-Римана, т. е. Значит Найдём по формуле Так как по условию то Из условия следует, что Тогда из выражения интеграла имеем Так как под знаком интеграла стоит полный дифференциал, то значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Выберем удобный путь интегрирования.

3 На отрезке переменная x меняется от 0 до некоторого x, при этом y постоянно dy=0 1 0 На отрезке y меняется от 1 до y, X – постоянно, dx = 0. Поэтому Следовательно, искомая функция имеет вид Теперь x и y Так как надо выразить через z. Подставляя полученные выражения для x и y в функцию сокращения, получим , произведя

Пример. Используя условия Коши-Римана , найти модуль и аргумент производной в точке для функции Возьмём производную и выделим в ней вещественную и мнимую части Введём обозначения Вычислим учитывая, что 4

5

Задача. Найти аналитическую функцию или мнимая Предпоследняя цифра шифра 0 , если известна её вещественная часть и значение функции в заданной точке 6

7 Задача. Используя условия Коши-Римана найти модуль и аргумент в заданной точке производной от аналитической функции , если задана сама функция или её вещественная или мнимая части

8 Лекция 5. Интеграл от функции комплексного переменного Предположим, что на кривой плоскости задана функция комплексной переменной Разделим кривую на частей точками и составим сумму, которая называется интегральной суммой (1) где - произвольная точка частичной дуги. Будем бесконечно увеличивать дробление кривой нулю наибольшая из частичных дуг , так чтобы стремилась к Если кривая кусочно-гладкая, и функция на кривой кусочнонепрерывная, то существует конечный предел интегральной суммы который не зависит ни от способа дробления, ни от выбора точек называется интегралом от вдоль кривой . Этот предел (2)

Интеграл от комплексной функции можно выразить через вещественные криволинейные интегралы. Обозначим как всегда 9 Тогда Следовательно, (3) Из равенства (3) вытекают свойства интеграла от комплексной функции 1)при изменении направления интегрирования вещественные интегралы изменяют знак, поэтому 2)комплексный интеграл обладает свойством линейности: если постоянные, а интегрируемые функции, то

3)выполняется свойство аддитивности: если и интегрируемая на , то 4)если интегрируемая на на , то состоит из частей и ограничена постоянной где длина кривой 10 и то есть . Интегральная теорема Коши Пусть аналитическая функция в ограниченной односвязной области (область односвязна, если любой замкнутый контур в этой области содержит внутри себя только точки этой области). Тогда интеграл от вдоль любой замкнутой кривой , принадлежащей области , равен нулю (4)

11 Очевидно, что если функция аналитическая в области , то она также аналитическая в любой замкнутой области , находящейся внутри области. Поэтому, на основании теоремы Коши, можно утверждать, что интеграл от , взятый вдоль контура области в положительном направлении (область остаётся слева от направления обхода) равен нулю. Это позволяет распространить интегральную теорему Коши на многосвязную область. Если аналитическая функция в многосвязной области , ограниченной внешним контуром и внутренними контурами , то интеграл от , взятый вдоль границ области в положительном направлении, равен нулю (5)

12 Для доказательства достаточно провести разрезы между контурами многосвязной области, превратив её в односвязную область. Так как интеграл по замкнутому контуру односвязной области равен нулю, то это доказывает теорему и для многосвязной области в связи с тем, что интегралы по разрезам вычисляются дважды и в противоположных направлениях, компенсируя друга. Интегральная формула Коши Рассмотрим функцию , аналитическую в замкнутой области. Пусть - фиксированная точка области , а - текущая точка её границы Введём функцию (6) Функция в ноль при неаналитическая в за счёт знаменателя, обращающегося

13 , Исключим точку , окружив её достаточно малой окружностью радиуса целиком лежащей в области. Тогда функция будет аналитической во всех точках, лежащих между контурами и , включая и сами эти контуры. Тогда, на основании теоремы Коши имеем (7) Из равенства (7) следует, что значение вспомогательной окружности не зависит от радиуса , так как оно постоянно и равно (интегралу по неизменному контуру). Чтобы определить это значение заметим, что функция стремиться к определённому конечному пределу, когда точка стремиться к точке Поэтому, можно считать, что функция ограничена.

14 Тогда Следовательно, так как можно принять как угодно малым. При этом равенство (7) принимает вид т. е. Но интеграл равен по замкнутому контуру не зависит от формы контура и Поэтому окончательно имеем Это и есть интегральная формула Коши.

1 Лекция 6. Основные сведения о функциональных рядах с комплексными числами Пусть в области определены функции Выражение (1) называется функциональным рядом. Ряд называется сходящимся в точке если существует конечный предел частичной суммы ряда (2) где , а Равенство (2) означает, что для любого малого для всех выполняется неравенство называется суммой существует ряда. такое, что (3) В общем случае зависит от и. Если же , т. е. если (3) выполняется для всех , то ряд (1) называется равномерно сходящимся в. Существует простой признак равномерной сходимости: если функциональный ряд (1) мажорируется сходящимся положительным числовым рядом (4)

2 то есть для всех и то ряд (1) сходится в равномерно. Теорема. Если члены функционального ряда (1) непрерывны в и ряд сходится равномерно, то сумма ряда – функция непрерывная в. Теорема (Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (1) непрерывны в и ряд сходится равномерно, то ряд можно интегрировать вдоль любой кривой в почленно. Теорема. Если члены ряда (1) аналитические функции в и ряд сходится равномерно в любой замкнутой области в , то сумма ряда аналитическая функция в и ряд (1) можно дифференцировать почленно любое число раз. Представление аналитической в круге функции степенным рядом Степенным рядом с центром в точке называется ряд (5) -коэффициенты ряда. Для любого степенного ряда доказывается существование радиуса сходимости .

3 Возможны три случая: 1) = 0; ряд сходится только в центре, т. е. при ; 2) ; ряд сходится при любом ; ; ряд сходится в круге (круге сходимости) и расходится 3) вне его. Во многих случаях радиус сходимости находится по признаку Даламбера. Если существует предел то он равен радиусу сходимости. Теорема. Пусть функция точке рядом аналитическая в круге радиуса с центром в. Тогда внутри этого круга может быть представлена степенным (6) где коэффициенты выражаются формулой Тейлора

Разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций комплексной переменной 4 Первые три разложения справедливы при любом ; радиус сходимости ряда для логарифма равен 1; радиус сходимости биномиального ряда равен при натуральном и равен 1 при ненатуральном.

Ряд Лорана 5 Рядом Лорана называется выражение (7) Часть ряда Лорана, содержащая отрицательные степени , называется главной, остальная часть – регулярной , или правильной. Кратко ряд Лорана записывается в виде Ряд Лорана сходится в том и только в том случае, когда одновременно сходятся его главная и регулярная части. Область сходимости ряда Лорана представляет собой концентрическое кольцо. Действительно. Регулярная часть ряда Лорана представляет обычный степенной ряд. Предположим, что радиус сходимости этого ряда отличен от нуля Регулярная часть ряда будет сходится в круге В главной части ряда Лорана сделаем на время замену (8)

6 Получим степенной ряд (9) Предположим, что ряд (9) сходится в круге Выполнив обратную подстановку, найдём, что главная часть ряда Лорана сходится Во внешности круга радиуса с центром в точке (10) если то области (8) и (10) имеют пересечение в виде концентрического Область сходимости ряда Лорана кругового кольца Сумма ряда Лорана есть аналитическая функция внутри кольца сходимости. Функция аналитическая в кольце может быть разложена в нём в ряд Лорана. Если внутренний радиус кольца равен нулю ( ), то кольцо представляет собой круг с исключённым центром. Точка для функции аналитической в таком кольце , является особой – в ней не определена или имеет разрыв. В тоже время в окрестности такой точки функция должна раскладываться в ряд Лорана.