1 CЕКВЕНЦІЙНІ ЧИСЛЕННЯ НКЛ 1 -ГО ПОРЯДКУ Секвенційні

1 CЕКВЕНЦІЙНІ ЧИСЛЕННЯ НКЛ 1-ГО ПОРЯДКУ Секвенційні числення – це формально-аксіоматичні системи, які формалізують відношення |= логічного наслідку для множин формул Використовуємо модифіковану форму запису секвенцій. Секвенції трактуємо як множини специфікованих формул Кожна формула специфікована (відмічена) символом |- чи -|. |-  – T-формула; -|  – F-формула. Секвенції позначаємо |--| . Секвенційне числення будується так: секвенція |--|  вивідна (має виведення)   |= . Секвенція |--|  замкнена, якщо   . Замкнені секвенції грають роль аксіом: якщо |--|  замкнена, то  |= . Справді,     |= .

2 Секвенційні форми – синтаксичні аналоги семантичних властивостей відношення |= Вони є правилами виведення секвенційних числень Мають вигляд Виведення в секвенційних численнях – дерево, вершини якого секвенції. Індуктивне визначення секвенційного дерева: 1) Секвенція  утворює тривіальне сек. дерево з єдиною вершиною  2) Нехай  – сек. дерево з коренем ,  – сек. дерево з коренем , – секвенційні форми. Тоді – секвенційні дерева з коренем . Секвенційне дерево замкнене: кожний його лист – замкнена секвенція. Секвенція  вивідна: існує замкнене сек. дерево з коренем . Таке замкнене дерево – виведення секвенції .

3 Базові секвенційні форми НКЛ кванторного рівня

4 |FN при у(A) |FN при у(A) |R |R Для |R та |R умова: |R |R Для |R, |R умови: z тотально неістотне,

5 При умові використовуємо форми |R та |R, При умові використовуємо форми |R та |R. |- при у тотально неістотному та упт(, А) -| При застосуванні форми -| {z1,…, zт} – це множина усіх імен множини доступних формул секвенції |xА, . Секвенційне числення з цими базовими формами – QZN-числення Теорема. Нехай - базові секв. форми, тоді 1) якщо  |= , то  |= ; якщо  |=  та  |= , то  |= . 2) якщо  | , то  | ; якщо  | , то  |  або  |= .

6 Поетапна процедура побудови дерева для секвенції  аналогічна відповідній процедурі для числень класичних чистих логік. 1-го порядку. На початку побудови дерева зафіксуємо деякий нескінченний список TN тотально неістотних "нових" імен, які не зустрічаються в формулах секвенції . Кожне застосування секвенційної форми проводиться до скінченної множини доступних формул. На початку кожного етапу виконується крок доступу: до списку доступних формул додається по одній зі списків |--формул та -|-формул. На початку побудови дерева доступна лише пара перших формул списків. Нехай виконано k етапів процедури. На етапі k+1 перевіряємо, чи буде кожен лист дерева замкненою секвенцією. Якщо всі листи дерева замкнені, то процедура завершена позитивно, ми отримали замкнене секвенційне дерево.

7 Нехай існують незамкнені листи дерева. Для кожного такого листа  робимо наступний крок доступу, після чого добудовуємо скінченне піддерево з вершиною : (1) Активізуємо всі доступні непримітивні формули . (2) По черзі до кожної активної формули застосовуємо відповідну секвенційну форму. Форми |-RT, -|RТ, |FN, |FN допоміжні: перед застосуванням однієї з форм |RR, |RR, |R, |R, |-R, -|R, |-R, -|R, |-R, -|R виконуємо за можливості спрощення, застосовуючи належну кількість раз ці форми |-RT, -|RТ, |FN, |FN. Після застосування основної форми формула дезактивується. Спочатку виконуємо всі |--форми. При застосуванні |- беремо у як перше незадіяне ім'я списку TN.

8 Після |- виконуємо R-форми, при цьому беремо із задіяних імен списку TN, якщо це можливо, інакше z – перше незадіяне ім'я списку TN. Потім до кожної з решти активних формул застосовуємо відповідну секвенційну форму |-, -| , |-, -|, |-RR, -|RR, |-R, -|R, |-R, -|R, |-R, -|R, -|. При застосуванні -| множина {z1,…, zт} складається з усіх імен доступних формул листа та його наступників. Всі повтори формул в секвенції усуваємо. При побудові секвенційного дерева можливі такі випадки: 1) процедура завершена позитивно, маємо скінченне замкнене дерево; 2) процедура завершена негативно або не завершується, тоді маємо незамкнене скінченне або нескінченне дерево. У цьому випадку в дереві існує хоча б один незамкнений шлях , його вершини – незамкнені секвенції, бо при появі замкненої до неї незастосовна жодна секвенційна форма, і процес побудови для цього шляху обривається. Кожна із формул секвенції  зустрінеться на шляху  і стане доступною.

9 Теорема коректності. Нехай секвенція |--|  вивідна. Тоді  |= . Для доведення повноти QZN-числень – метод модельних множин. Множина Н специфікованих формул із W = nm(Н) модельна, якщо: HC) Для кожної примітивної  лишe одна з |- чи -| може належати Н НN) Якщо Н та у(F), то Н ; якщо Н та у(F), то Н . Н) Якщо |-Н, то -|Н; якщо -|Н, то |-Н. Н) Якщо |-Н, то |-Н або |-Н; якщо -|Н, то -|Н та -|Н. НT) Якщо Н, то Н; якщо Н, то Н

10 HRR) Якщо Н, то Н; якщо Н, то Н. HR) Якщо Н, то Н; якщо Н, то Н. HR) Якщо Н, то Н; якщо Н, то Н. HR$) Якщо Н та то Н; якщо Н та то Н. HR$$) Якщо Н та то Н; якщо Н та то Н. Тут z тотально неістотне та H$) Якщо |-$хFН, то існує уW таке, що Н; якщо -|$хFН, то для всіх уW маємо Н.

11 Теорема. Нехай  – незамкнений шлях в секвенційному дереві, Н – множина всіх відмічених формул секвенцій цього шляху. Тоді Н – модельна множина. Для переходу від нижчої вершини шляху до вищої використовується одна з базових секвенційних форм. Переходи згідно таких форм точно відповідають визначенню модельної множини. Кожна непримітивна формула шляху  рано чи пізно буде розкладена чи спрощена згідно відповідної секвенційної форми. Всі секвенції шляху  незамкнені. Отже, Н - модельна множина Теорема (про контрмодель). Нехай Н – модельна множина, нехай W=nт(Н). Тоді існують АС А=(А, І) з |А|=|W| та ін'єктивна VA з im()=W такі: 1) з умови |-Н випливає А()=Т ; 2) з умови -|Н випливає А()=F. Візьмемо деяку А таку, що |А|=|W|, та ін'єктивну VA з im()=W. Доведення – індукцією за складністю формули згідно визначення модельної множини.

12 Спочатку задамо значення базових предикатів на  та на ІМ вигляду Якщо |-рН, то рА()=Т ; якщо -| рН, то рА()=F. Якщо то візьмемо Якщо то візьмемо Так задані значення базових предикатів продовжимо, враховуючи умови неістотності імен, за еквітонністю на відповідні hVA. Для всіх інших dVA значення рА(d) задаємо довільним чином, враховуючи еквітонність та обмеження стосовно неістотності:  d, hVA таких, що d||-(p) = h||-(p), необхідно рА(d)=рА(h). Для атомарних та формул вигляду твердження теореми випливають з визначення значень базових предикатів.

13 Доведемо крок індукції. Нехай |-Н. За визначенням Н маємо -|Н. За припущенням індукції А()=F, звідки ()А()=Т. Нехай -|Н. За визначенням Н маємо |-Н. За припущенням індукції А()=Т, звідки ()А()=F. Нехай |-Н. За визначенням Н маємо |-Н або |-Н. За припущенням індукції А()=Т або А()=Т, звідки ()А()=Т. Нехай -|Н. За визначенням Н маємо -|Н та -|Н. За припущенням індукції А()=F та А()=F, звідки ()А()=F. Нехай За визначенням Н маємо За припущенням індукції звідки Нехай За визначенням Н маємо За припущенням індукції звідки

14 Нехай |-$хFН. За визначенням Н існує уW: За припущенням індукції звідси FA(х(у))=Т. Але (у) згідно WА та уW, тому для а=(у) маємо FA(ха)=Т, звідки ($хF)A()=Т. Нехай -|$хFН. За визначенням Н уW. За припущенням індукції уW. Звідси FA(х(у))=F  уW. Згідно WА маємо (у) уW. Але  – бієкція WА, кожне bА має вигляд b=(у) для деякого уW. Отже, FA(хb)=F  bА, звідки ($хF)A()=F. Теорема повноти. Нехай  |= . Тоді секвенція |--|  вивідна. Прип. супротивне:  |=  та |--|  невивідна. Тоді секв. дерево  для |- -|  незамкнене  в  існує незамкнений шлях . Нехай Н - множина всіх відмічених формул шляху . Така Н - модельна множина. Звідси існують АС А=(А, І) та VA такі: |-Н  А()=Т та -|Н  А()=F. Згідно з |--|  Н тоді   А()=Т та   А()=F. Це суперечить  |= 

15 Теорема компактності. Cуперечливість та несуперечливість множин формул Теорема 1 (ПК_1). Нехай  |= . Тоді існують скінченні 0  та 0  такі, що 0 |= 0 .  |=    = |--| вивідна   має скінченне замкнене секв.дерево , але в кожній вершині  доступні скінченна к-ть формул секвенції. Нехай нд - множина всіх формул , недоступних у вершинах . При побудові  використовуються лише формули скінченної 0 = нд. Відкинемо з кожної вершини  всі формули нд  дістанемо дерево 0 з коренем 0 = |-0 -|0 , всі вершини якого - скінченні секвенції. Отже, 0 = |-0 -|0 вивідна  0 |= 0  синтаксично несуперечлива, якщо   |--|(&) невивідна.  семантично несуперечлива (сумісна), якщо існують A=(А, I) та dVA такі: А(d)=T  . Модель сумісності для  – АС A=(A, I) така:  dVA: А(d)=T .  семантично несуперечлива   має модель сумісності.  семантично несуперечлива    маємо  |&

16 Теорема 2 (про існування моделі). Нехай  синтакс. несуперечлива. Тоді  має зліченну або скінченну модель сумісності.  синт. несуперечлива    секвенція  = |--|(&) невивідна  секв. дерево для |--|(&) незамкнене  в ньому існує незамкнений шлях . Нехай Н - множина всіх формул секвенцій цього шляху  Н - модельна  існують АС А=(А, І) із скінченною або зліченною А та VA такі: |-Н  А()=Т та -|Н  А()=F. В силу Н це вірно і для формул з  = |--|(&)  А()=Т    А=(А, І) - модель сумісності для  Наслідок.  синтаксично несуп.   семантично несуп. Теорема 3.  семантично несуп.   синтаксично несуп. Прип. супротивне:  семант. несуп. та  синт. суп.   |&   та |- -|(&) вивідна для деякої    |=& - суперечність Наслідок 1.  синтаксично несуп.   семантично несуп. Надалі можна просто говорити про несуперечливість мн-ни формул , не конкретизуючи, семантичну чи синтаксичну несуперечливість. Наслідок 2.  синтаксично несуп.   має модель сумісності.

17 Теорема 4 (аналог теореми Левенгейма Сколема).  має модель сумісності   має зліченну або скінченну модель сумісності.  має модель сумісності   семан. несуп.   синт. несуп. За теоремою 2  має зліченну або скінченну модель сумісності Теорема (ПК_2). Кожна скінченна 0   несуп.   несуп. Супротивне: кожна скінченна 0   несуп. та  суп. Тоді   |--|(&) вивідна  вона має скінченне замкнене секв. дерево . В кожній вершині дерева доступні тільки скінченна кількість формул секвенції, тому при побудові  використані формули деякої скінченної 1  . Дістаємо дерево 1 з коренем |-1 -|(&), всі вершини якого - скінченні секвенції  |-1 -|(&) вивідна  скінченна 1   суперечлива – отримали суперечність Теорема (ПК_3). Кожна скінченна 0   має модель сумісності   має модель сумісності. Кожна скінченна 0   має модель сумісності  кожна така 0 несуп. За ПК_2  несуперечлива   має модель сумісності

18 Теорема (про взаємну суперечливість). Нехай 1 і 2 несуп. та 12 суп. Тоді існують скінченні 01 1 та 02 2 такі, що 0102 суперечлива. 12 суп.  існує скінченна суп. 0  12 (кожна скінченна 0 12 несуп.  12 несуп.). В силу несуп. 1 і 2 неможливо 0 1 і 0 2 . Отже, 0=0102 для деяких скінченних непорожніх 01 1 та 02 2 Теорема (про взаємну несуперечливість). Нехай 1 і 2 несуп. та для довільних 01 1 і 02 2 0102 несуп. Тоді 12 несуперечлива. Супротивне: 12 суп. Тоді існує скінченна суперечлива 0  12 . Така 0 має вигляд 0102 для деяких скінченних 01 1 та 02 2

19 Інтерполяційна теорема Це олин із найважливіших результатів математичної логіки Інтерполяційна теорема. Нехай секвенція –| має виведення. Тоді існує  сигнатури ()()() така: –| та –| мають виведення. Таку  називають інтерполяційною формулою, або інтерполянтом. При ()() =  твердження теореми може бути невірним: Нехай  та  – це pp та qq, де p, qPs. Тоді інтерполянтом  буде всюди істинна формула, але при умові ()()() =  такої  не існує, бо її просто немає з чого будувати. Доводиться загальніше твердження (індукцією за довжиною виведення): Теорема. Нехай  = 1, 2 має виведення   існує формула  сигнатури ()(1)(2) така, що за  можна збудувати виведення 1 для –|, 1 та виведення 2 для |–, 2 . Виведемо звідси інтерполяційну теорему –| має виведення  |–, –| має виведення. Візьмемо як 1 і 2 секвенції |– і –|. За теоремою існує  сигнатури ()()(): –|, |– та |–, –| мають виведення. Звідси –| та –| мають виведення

20 Теореми про визначність Розглянемо співвідношення між двома різними уточненнями визначення одного поняття в термінах інших понять. Одне уточнення – семантичне, або неявне. Його суть: поняття (ПС) q неявно визначається через поняття p1,…, pn в теорії (множині формул) , якщо для кожних моделей істинності , узгоджених у тому розумінні, що в них p1,…, pn інтерпретуються однаково, маємо однакові інтерпретації для q. Друге – синтаксичне, або явне. Його суть: поняття q явно визначається в  через p1,…, pn, якщо таке визначення є логічним наслідком . Для класичної логіки еквівалентність явного та неявного визначення одного поняття в термінах інших – це теорема Бета про визначність. Нехай Ps – деяка множина предикатних символів мови. Модель істинності для  – це A=(A, I) така: dVA  А(d)  T. Для логік ПЕП кожна модель істинності є моделлю сумісності. Для логік ЕП це невірно: розгл. АС, де кожний ПС інтерпретується як усюди невизначений предикат Моделі істинності A=(M, IA) та В=(M, IВ) мн-ни формул  -тотожні, якщо  p маємо pA  pВ .

21 ПС q семантично визначний через ПС {p1,…, pn}, де q{p1,…, pn}, якщо  {p1,…, pn}-тотожних еквітонних моделей істинності A=(M, IA) та В=(M, IВ) множини формул  маємо qA  qВ . ПС q синтаксично визначний через ПС {p1,…, pn} в множині формул , якщо існує формула  із () ={p1,…, pn} така, що  |= q. Теорема 1. Нехай ПС q синтаксично визначний через {p1,…, pn} в множині формул . Тоді q семантично визначний через {p1,…, pn}. Нехай  із () ={p1,…, pn} така, що  |= q. Прип. супротивне: q не є сем. визн. через {p1,…, pn}  існують {p1,…,pn}-тотожні еквітонні моделі іст-ті A=(M, IA) та В=(M, IВ) для  та dVM: qA(d)  qВ(d). Візьмемо для A та В АС повнототальних розширень A' та В', візьмемо MV таке, що d. За еквітонністю qA'() = qA(d) та qB'() = qB(d), тому qA'()  qВ'(). Але A' та В' – моделі істинності для , тому   A'() = T та B'() = T. Враховуючи  |= q, тоді (q)A'() = T та (q)В'() = T, але згідно qA'()  qВ'() маємо A'()  В'(). Проте () ={p1,…, pn}, A' та В' – {p1,…, pn}-тотожні, тому A'() = В'(). Отримали суперечність Теорема 2. Нехай ПС q семантично визначний через {p1,…, pn}. Тоді q синтаксично визначний через {p1,…, pn} в множині формул .