1 Атом и центральное поле Вопросы 5, 6,

1 Атом и центральное поле Вопросы 5, 6, 7. Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (Университет «Дубна» ) Факультет естественных и инженерных наук Кафедра Ядерной физики Специальный семинар по физике ядра и ядерным реакциям В. В. Самарин

2 Вопрос 5. Атом водорода. • Движение в центральном поле. • Атом водорода: волновые функции и уровни энергии

3 Движение в центральном поле 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ( 1) ; lm lm lm z l lm. M Y L Y l l Y M Y L m Y h h Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса, квадрата орбитального момента и проекции орбитального момента 2 2 ( ) 0 m E U r h

4 Атом водорода: уровни энергии и спектр излучения H H Спектры излучения атомов H , Hg и молекулы Н 22 1 12 2 1 1 1 , 1, 2, HR n n n KФормула Бальмера для длин волн в видимой и ближней ультрафиолетовой части спектра 4 3 2 08 H e. R ch 1 e p e e e p m mmm m m постоянная Ридберга приведенная масса электрона и протона Серия Бальмера

5 Атом водорода: спектральные серии, уровни энергии и волновые функции 2 2 Á 1 ( ) ; 2 e E n a me h

6 Сферические гармоники и полиномы Лежандра : пример расчета в Maple

7 Сферические гармоники и полиномы Лежандра: пример расчета в Math.

8 Атом водорода: радиальные волновые функции( , , ) ( )Y ( , )nlm nl lmr R r вырожденная гипергеометрическая функция ненормированные волновые функции 3 s 3 p 3 d

9 Атом водорода: радиальные волновые функции( , , ) ( )Y ( , )nlm nl lmr R r вырожденная гипергеометрическая функция ненормированные волновые функции 3 s 3 d 3 p 3 s 3 p 3 d

10 Атом водорода: волновые функции( , , ) ( )Y ( , )nlm nl lmr R r Пример: 3 p, n= 3 , l= 1 , m l = 0 z x

11 Атом водорода: волновые функции( , , ) ( )Y ( , )nlm nl lmr R r Пример: 3 p, n= 3 , l= 1 , m l = 0 z x x z

12 Вопрос 6. Атом в магнитном и электрическом поле: стационарная теория возмущений. • Стационарная теория возмущений в отсутствие вырождения. • Стационарная теория возмущений при наличии вырождения. • Эффект Зеемана • Эффект Штарка

13 Стационарная теория возмущений в отсутствие вырождения( 0) (1) (1) ( 0 )* ( 0 )ˆ; ; ä ëÿ : n n k kn k n nn n n. E E E c c k n E V V dq (1) (1) ( 0 ) ( 0 )для : ; 0; kn mn k n n m m nn k V V k nс с E E 2 2 ( 0 ) ( 2 ) 0 ( 0 ) 0; ; 0 mn mn mn n k n m n n k k V V V E E E E = ( 0 ) ( 0)* ( 0 )ˆ; ; m m k k km m km k m m m c E E c V V dq ( 0 ) 0 0 0 ˆ ˆ ˆ; ; H H V H E H V

14 Стационарная теория возмущений при наличии вырождения( 0 ) (1) ( 0) ( 0); , , ; для : 0, для n n n n k k n. E E E c c E E K K (1) ( 0 ) (1) ; 0; 0 n n nn n n E c V E ( 0 ) ( 0)* ( 0 )ˆ; ; m m k k km m km k m m m c E E c V V dq ( 0 ) ( 0 ) 0 0 0 ˆ ˆ ˆ; ; , n n n. H H V H E K секулярное уравнение

15 Эффект Зеемана – расщепление спектральных линий и уровней энергии атома в однородном магнитном поле (без учета спина) ( 0 ) (1); H = H ; , n n n B z B L LE E E L M M L L r r K 2 2 22(1) 2 2 2 0 : 0, H H ; 2 8 12 n a a a e e e L E E A r r mc mc mc rrr ( 0 ) * ( 0) ( 0 ) * ( 0 )ˆ ˆH H H M M LM LM B z LM LM B z M M V V dq L dq M 2 2 02 0 0 ˆ; 2 ˆˆˆ ˆ ˆH H; 2 2 a a a a B B a ee H H A p A mc mc e e H H r p H L mc mc r rr r r rhr r 2 2 1 1 1ˆˆ; ; H 2 2 2 e e H p A U A r m c r r rrr r r Магнетон Бора Поправка к энергии по формуле для отсутствия вырождения. Поправка к энергии состояния с орбитальным моментом L по формуле для наличия вырождения по орбитальному магнитному квантовому числу M =- L , … L (1) 0 M M MV E (1) H 0 B z M M MM E ( 0 ) L M M M L c

16 Эффект Зеемана – расщепление спектральных линий и уровней энергии атома в однородном магнитном поле (без учета спина) Простой эффект Зеемана (без учета спина) для S=0 в слабом поле или с учетом спина в сильном поле ( 0 ) (1); H = H ; , n n n B z B L LE E E L M M L L r r K Расщепление синглетных энергетических уровней атома кадмия на 2 L +1 подуровней в магнитном поле и переходы, разрешенные правилами отбора M L =0, ± 1 поляризация — и — компонент зеемановского триплета Разность энергий между соседними подуровнями одинакова для всех синглетных уровней Расщепление в магнитном поле линий спектра на три компоненты называется простым эффектом Зеемана

17 Эффект Зеемана – расщепление красной спектральной линии атома кадмия в однородном магнитном поле (без учета спина) Изображение интерференционной картины на экране компьютера с без магнитного поля. Использован интерферометр Фабри-Перо. Изображение интерференционной картины на экране компьютера для простого “ поперечного” эффекта Зеемана Наблюдения спектров излучения чаще всего производят по нормали к направлению магнитного поля (“ поперечный ” эффект Зеемана) или по направлению поля (“ продольный ” эффект Зеемана). При продольном эффекте Зеемана видны только смещенные -компоненты зеемановского триплета, которым соответствует циркулярно поляризованный свет. Двум направлениям круговой поляризации (по и против часовой стрелки) соответствуют два возможных значения проекции момента импульса фотона на направление движения и два значения проекции спина фотона. При наблюдении поперек поля эти линии оказываются линейно поляризованными. Вектор напряженности электрического поля E колеблется перпендикулярно направлению магнитного поля. Несмещенная -компонента не видна при наблюдении вдоль поля, а при наблюдении поперек поля линейно поляризована, причем вектор E колеблется вдоль направления магнитного поля .

18 Эффект Штарка — расщепление спектральных линий и уровней энергии в однородном электрическом поле E Ez. V d d rr r (1) ( 0 ) (1) ; 0; 0 n n nn n n E c V E ( 0 ) (1) (1) ( 0 )* ( 0 ) ˆ ; ; : 0 n n k kn k n nn n n. E E E c c k n E V V dq 2 2 ( 0 ) ( 2 ) 0 ( 0 ) 0; ; 0 mn mn mn n k n m n n k k V V V E E E E =1. Атом водорода: линейный эффект Штарка 2. Сложный атом: квадратичный эффект Штарка Эффект Штарка: 1. Линейный у атома водорода и водородоподобных атомов (в слабых полях), связан с вырождением уровней энергии по орбитальному квантовому числу в кулоновском поле. Средний дипольный момент таких атомов не равен нулю. Энергия подуровней зависит от главного квантового числа, орбитального квантового числа и модуля магнитного орбитального квантового числа. Например состояние с n =2 расщепляется на 3 подуровня, в общем случае на 2 n -1 подуровень. 2. Квадратичный у атома водорода и водородоподобных атомов в сильных полях, у многоэлектронных атомов с нулевым средним дипольным моментом.

19 Литература 1. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. В 5 Т. Т 5: Атомная и ядерная физика: учеб. пособие– М. : Физматлит, 2002 2. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Краткий курс теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. − М. Наука. 1971.

20 Вопрос 7. Релятивистские эффекты в водородоподобном атоме. • Уравнение Дирака. • Квазирелятивистское приближение. • Спин-орбитальное взаимодействие. • Тонкая структура спектра атома водорода.

21 Уравнение Дирака 1 32 2 4 ˆ; ; i c mct h p Свободное движение 1 2 3 0 0 0 1 0; ; ; 0 0 1 0 0 0 1 I i rrr Матрицы Паули Состояния с определенным значением импульса p и энергии 222 2 2 22 0 ; 0 mc c pc p m c c p mc r rr r Операторы проекций внутреннего углового момента (спинового момента)ˆ 2 s hr rh Движение в электромагнитном поле 2 2 ˆ ˆ c p mc r r 0ˆ ˆ; ep p A e. A c rr r 20 20 ˆ ˆ ec p A e. A mc c rr r Оператор спина 1 2 3 1ˆˆ ˆ ˆ, , 2 s s r r для электрона е <0 2 2 ˆ ˆ c p mc e r r r Для атома водорода , , 1 2 , , ( ) 1 2; ; 2 ; ( 1) ( ) j l m l l j l mf r l j l g r , 1 2 , , , 1 21 2 2 1 l m l ml m Y l В центральном поле , 1 2, , , 1 2 2 1 l m l m l m. Y l j m Y l 2 2 1 10 f f mc e r g r c g g mc e r f r c 1 2 ( 1), 1 2; 1 2 , 1 2; j l j l 0, 1, 2, , 0, 1 2; 1, 2, 3, , 0, 1 2; r j ln j l K KШаровые спиноры – собственные функции 2 2 2ˆˆ ˆ, , zj l jˆˆˆj l s rrr Берестецкий В. Б. Лифшиц Е. М. , Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика 2 1 2 1 2 2 2 2 0 2 ; ( ) ; ; ( )r f mc e Q Q g mc e Q Q r m c c n c 1 h целое положительное числоположительные и отрицательные “ частоты ”

22 Решения уравнения Дирака для атома водорода: уровни энергии 1 2 ( 1), 1 2; 1 2 , 1 2; j l j l 0, 1, 2, , 0, 1 2; 1, 2, 3, , 0, 1 2; r j ln j l K K 2 0 1 4 137 e c h 21 137 e c h СИ Гауссова система единиц 2 22 2 ( , ) 1 r r mc mc E n j n K 2 2 2 B 2 2 Á 1 1 3 ( , ) 1 ; 2 1 2 4 e E n j a n j n me h точное выражение приближенное выражение

23 Решение уравнения Дирака для атома водорода: энергии 1 2 ( 1), 1 2; 1 2 , 1 2; j l j l 0, 1, 2, , 0, 1 2; 1, 2, 3, , 0, 1 2; r j ln j l K K 2 0 1 4 137 e c h 21 137 e c h 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 (2 ) 1 (2 ( ) 1 ( 1) 1 1 2 (2 ( ) 1 2 (2 3 42 r r r E n j mc mc mc n n n 2 2 4 2 2 ( ) 1 3 1 1 ; ; ; 242 r rr n mc me n n j mc n nn h 2 2 2 B 1 1 3 ( , ) 1 ; 2 1 2 4 e E n j a n j n me h точное выражение приближенные выражения приближенное выражение

24 Решение уравнения Дирака для водородоподобного атома : энергия основного состояния 2 04 137 Ze ZZ c h СИ Гауссова система единиц 2 02 2 2 0 0 2 2 1 1 1 ( 0, ) 1 2 r mc Z n Z mc E n j mc 2 2 ˆ ˆ c p mc Z e r r r 2 0 0 1 137 0, 1 e c n h 0 2 mc Z max =137 Решение уравнения Дирака для водородоподобного атома : энергия основного состояния Чисто кулоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при Z <1 , т. е. Z <137.

25 Решение уравнения Дирака для водородоподобного атома с ядром конечного размера: энергия основного состояния

26 Квазирелятивистское приближение. 20 20 ec p A e. A mc c rr r Нерелятивистское движение в слабом электромагнитном поле 2 2 0; E mc E e. A mc 2 0 1 H ; H rot ; 2 2 e ep A e. A E A m c mc r rr rr rh 0 0 0 H H 2 s H; ; 2 s 2 2 e ee e mc mc r r rh hr r r Для электрона е <0 Магнетон Бора Движение в слабом центральном электростатическом поле e. A 0 = V ( r ) с точностью до членов порядка v 2 / c 2 2 1 2 3 1 ( ) 2 p V r W W W E m r Уравнение Паули 2 2 E V W mc В кулоновском поле V ( r ) = e 2 Z/r 2 2 2 1 2 2 4 ( ) 8 8 W V Ze r m c h h. Оператор контактного взаимодействия 2 12 28 W V m c h Поправка к оператору кинетической энергии, из-за изменения массы частицы при изменении ее скорости 32 2 1ˆˆ 4 2 V W V p s. L r rm c rh hr r r Оператор спин-орбитального взаимодействия 1 2 2 2 2ˆ ˆ 1 1 4 8 p p g m c r r 1 ( )E g E g. H g g H

27 Спин-орбитальное взаимодействие. Схема образования дублетных линий главной и резкой серий натрия главная сериярезкая серия

28 Спин-орбитальное взаимодействие. Схема образования дублетных линий главной и резкой серий натрия главная сериярезкая серия Водород E = 4*10 -5 э. В

29 Тонкая структура спектра атома водорода. Лэмбовский сдвиг уровней Сверхтонкая структура E = 4*10 -5 э. В 2 2 2 B 1 1 3 ( , ) 1 ; 2 1 2 4 e E n j a n j n me h