1. 8 Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора. Пусть точечный заряд q перемещается по траектории 1 -2 в произвольном электростатическом поле (рис. 1. 19). В любой точке поля на заряд действует сила , где -- напряженность поля в точке расположения заряда. Рассмотрим примеры. 1. Найдем работу по перемещению заряда на малое расстояние dl , в пределах которого поле однородно. Рис. 1. 19 где. Если поле создано точечным зарядом Q, то работа перемещения q по траектории 1 -2 запишется так
(1. 11) Т. о. работа перемещения заряда q в поле точечного заряда Q не зависит от траектории, а лишь от начального и конечного положений q. 2. Пусть точечный заряд q перемещается по траектории 1 -2 в поле, созданном системой неподвижных точечных зарядов. Обозначим расстояние от зарядов до т. 1 -, а от зарядов до т. 2 -. Работа по перемещению заряда в этом поле равна сумме работ, производимых в поле каждого заряда в отдельности: (1. 12) Из (1. 12) следует, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда вдоль любой замкнутой траектории в поле точечного заряда тождественно равна нулю. Этот вывод справедлив для любых эл. – ст. полей.
Итак, работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому пути, равна нулю Отсюда следует, что электростатические силы консервативны, а их поле потенциально. Последнее выражение можно записать иначе: (1. 13) Справка из математики Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой L в поле вектора , взятый (1. 14) показывает, в какой мере проецируется на элементы кривой L. Интеграл (1. 13) в применении к замкнутой кривой называется циркуляцией по замкнутому контуру L.
Т. о. из (1. 13) следует ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА : циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура, проведенного в этом поле, тождественно равна нулю и выражает потенциальный характер этого поля. 1. 9 Потенциал электростатического поля. Поскольку электростатическое поле потенциально, работа сил поля в формуле (1. 11) может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда q при его перемещении: (1. 14) ; здесь -- потенциальная энергия заряда q в поле точечного заряда Q, определенная с точностью до произвольной постоянной С.
Поскольку физический смысл имеет не абсолютное значение, а разность потенциальных энергий в двух точках пространства, величина C выбирается исходя из удобства при решении конкретной задачи. В поле точечного заряда С выбирается так, чтобы при r→∞ → 0. Следовательно, потенциальная энергия q в поле точечного заряда (1. 15) Введем понятие потенциала : (1. 16) Потенциал – энергетическая характеристика поля в данной точке, подобно тому как -- силовая характеристика поля в этой точке. Потенциал – энергетическая характеристика поля в данной точке, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку. Потенциал поля точечного заряда (1. 17) Потенциал – скалярная алгебраическая величина.
Тогда в примере 1 потенциальная энергия заряда q в т. 1 в т. 2 -, а работа (1. 14) может быть записана как , (1. 18) --разность потенциалов двух точек поля численно равна работе сил поля при перемещении единичного положительного заряда между этими точками. Если принять , то можно дать еще одно определение потенциала: Потенциал данной точки электростатического поля равен работе по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Если поле создано системой зарядов , то работа сил поля по перемещению q из т. 1 в т. 2
Из последнего выражения следует т. е. для произвольной точки (1. 19) Формула (1. 19) выражает принцип суперпозиции электростатического поля применительно к потенциалу: потенциал любой точки поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в данной точке каждым из зарядов в отдельности. При графическом изображении электростатического поля часто используют понятие эквипотенциальной поверхности. Эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек, потенциал которых одинаков: Необходимо выполнять два условия при построении этих поверхностей: 1) Силовые линии ( линии напряженности) и эквипотенциальные поверхности всегда взаимно перпендикулярны.
Докажем это утверждение. Пусть в некоторой области поля вектор направлен. под углом к эквипотенциальной поверхности (рис. ). Найдем работу сил поля при элементарном перемещении заряда q на расстояние dl вдоль эквипотенциальной поверхности: (1. 20) (1. 21) Приравнивая правые части (1. 20) и (1. 21) , получим Рис. 1. 20 2) Условились проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов двух соседних поверхностей оставалась постоянной Тогда в тех областях пространства, где напряженность поля возрастает, эквипотенциальные поверхности сгущаются, т. е. по густоте их расположения можно судить о неоднородности поля. На рис. 1. 21 даны графические карты полей простейших конфигураций; эквипотенциальные поверхности изображены коричневым цветом.
рис. 1. 21 Поле точечного заряда Эквипотенциальные поверхности – концентрические сферы, в центре которых расположен заряд Поле двух параллельных заряженных плоскостей Эквипотенциальные поверхности – плоскости, параллельные заряженным плоскостям Поле двух точечных зарядов
1. 10 Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля Найдем зависимость между силовой и энергетической характеристиками электростатического поля в данной точке. Для нахождения ее вычислим работу по перемещению заряда q вдоль силовой линии произвольного электростатического поля на расстояние Δr (рис. 1. 22), достаточно малое, чтобы перемещение можно было считать отрезком прямой, а поле- однородным в пределах перемещения. Работу запишем двумя способами: через силу и через разность потенциалов. ( ), т. к. сила совпадает по направлению с перемещением. рис. 1. 22 отсюда (1. 22) Знак «минус» в (1. 22) означает, что напряженность направлена в сторону убывания потенциала. Напряженность характеризует «быстроту» убывания потенциала вдоль силовой линии, поэтому единица измерения напряженности В/м.
Найдем зависимость в координатной записи. В механике для потенциального силового поля уже найдено соотношение между силой, действующей на частицу со стороны поля, и потенциальной энергией этой частицы в данной точке поля, которое является общим для потенциальных полей: В случае электростатических полей Подставляя последние два выражения в первое, получим (1. 23) , Вектор напряженности в данной точке электростатического поля равен градиенту потенциала в этой точке, взятому с противоположным знаком. Из (1. 23) и смысла градиента непосредственно следует, что вектор напряженности направлен в сторону наискорейшего убывания потенциала и по величине равен максимальной скорости убывания потенциала. В декартовой системе координат равенство (1. 23) имеет вид где (1. 24)
В одномерном случае:
1. 11 Расчет потенциалов в полях высокой симметрии 1. Бесконечная, заряженная по поверхности плоскость ( σ > 0). Напряженность поля плоскости (*) Поле плоскости однородно. Связь напряженности с потенциалом в этом случае: Положим потенциал самой плоскости Тогда для произвольной точки поля получим или рис. 1. 23
Учитывая выражение для напряженности (*), для потенциала окончательно имеем (1. 25) Зависимости E(x) и для случая изображены на рис. 1. 23 б, в соответственно. Вывод При переходе через заряженную поверхность потенциал поля меняется непрерывно, в отличие от напряженности поля, которая при этом меняется скачком.
2. Поле двух бесконечных параллельных равномерно заряженных плоскостей = Поле существует только между плоскостями и оно однородно. Принято отсчитывать потенциал от (–) заряженной пластины, т. е. считать Поэтому разность потенциалов между плоскостями . , или рис. 1. 24 Между плоскостями потенциал поля линейно зависит от координаты.
3. Равномерно заряженная по поверхности сфера. (*) А) r<R E=0, B) . Полагая сферы, получим на поверхности Значение потенциала на поверхности заряженной сферы: (1. 25) рис. 1. 25
Выражение (1. 25) в силу непрерывности потенциала определяет его величину и внутри сферы. Итак, потенциал равномерно заряженной по поверхности сферы описывается равенствами: (1. 26) вывод: Вне равномерно заряженной по поверхности сферы ее полностью совпадает с полем точечного заряда q , помещенного в центр этой сферы. Другими словами, при стягивании заряда сферы к ее центру без нарушения равномерности его распределения, в области никаких изменений поля не происходит.
4. Поле равномерно заряженной бесконечной нити (*) Полагая потенциал равным на расстоянии (1. 27) от нити, будем иметь
1. 12 Вычисление электростатического поля в общем случае. Уравнение Пуассона. В общем случае задача электростатики состоит в том, чтобы по заданному распределению плотности заряда найти распределение потенциала в пространстве. При решении используется теорема Гаусса в дифференциальной форме и связь напряженности и потенциала . Подставляя 2 -е выражение в 1 -е, получим Здесь Полученное уравнение В пространстве, где зарядов нет, -- оператор Лапласа. называется уравнением Пуассона. .
Основные моменты темы «Электростатическое поле в вакууме» -- силовая и энергетическая характеристики поля и связь между ними: -- работа по перемещению заряда в поле: -- выражение потенциальности электростатического поля: -- теорема Гаусса:
Скачать презентацию 1 8 Работа по перемещению заряда в электростатическом
През Потенциал.pptx