1 3 Аксиоматическое и классическое определение вероятности Эмпирический

1. 3. Аксиоматическое* и классическое определение вероятности Эмпирический метод оценивает вероятность из опыта a posteriori Трудоемко, часто не осуществимо (взрывать даже одно здание, не говоря о массовых испытаниях) Желательно определить вероятность без испытаний (до опыта) a priori по модели реального эксперимента (в мысленном эксперименте, используя соответствующие формулы)

Для описания эксперимента и событий в нем (для построения модели эксперимента) используются следующие понятия Элементарное событие i (i = 1…n) – каждый возможный исход эксперимента Множество элементарных событий = { 1, 2, …, n} представляет все возможные исходы в эксперименте Примеры: в эксперименте с бросанием кости = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6; в эксперименте с монетой = {герб, цифра}, n =2

i Благоприятными событию A называют m. A элементарных событий, при A любом из которых происходит A Если наступление A связано только с одним , то A – элементарное событие (m. A = 1) Если событию соответствует несколько элементарных, то это составное событие (m. A > 1) Примеры: выпадение шестерки при бросании кости А = {6}, m. A = 1; выпадение четной цифры А = {2, 4, 6}, m. A = 3

Таким образом, любое событие есть часть множества элементарных событий, его подмножество, A Если A – достоверное событие, то оно совпадает с . Достоверному событию соответствует В примере с костью – одна из P( ) = 1 все множество элементарных событий (m. A всех граней обязательно = n) выпадет Пустое подмножество (m. A = 0) соответствует невозможному событию, A = P( ) = 0 Например, с выпадением семерки не связано ни одно элементарное событие

Для аксиоматического определения вероятности: a) описываются эксперимент и событие A – выделяется множество элементарных событий = { 1, 2, …, n}, включая те m. A, что соответствуют наступлению A; шансы каждого б) определяются исхода – каждому i ставится в соответствие положительное число – его вероятность p( i) = pi (0 pi 1), так что p 1 + p 2 + …+ pi + …+ pn = 1 между исходами распределяется единичная вероятность того, что один из них обязательно случится;

в) вероятность события A определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, благоприятных A аксиоматическое определение вероятности Из (б) и (в) следуют свойства вероятности 0 P(A) 1 Однако! ? ? ?

Не указывается, как распределяется единичная вероятность достоверного события P( ) = 1 (того, что в эксперименте что-то обязательно наступит) между отдельными исходами, как назначить их вероятности pi Это можно сделать через массовые испытания, оценивая pi по частоте иногда! a priori – на основе анализа модели эксперимента

Важнейший пример Если шансы всех исходов в эксперименте одинаковы, то pi = p = 1/ n (i = 1…n) Тогда по аксиоматическому определению P(A) = m. A 1/ n что дает классическое определение вероятности Вероятность события в эксперименте с равновозможными исходами P(A) = m. A / n равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов Примеры ?

Простейшие примеры: вероятность выпадения герба при бросании монеты P( «герб» ) = 1/2; вероятность четной цифры при бросании кости P( «четная» ) = 3/6 = 0. 5 См. практические занятия!

По относительной частоте Статистическ ое определение ИТАК! W(A) = m. A / n [%] В частности, по классическому определению (при равновозможных исходах) Аксиоматичес кое определение

Классическое определение позволяет провести «непосредственный подсчет вероятностей» многих «простых» событий, соответствующих так называемой «схеме случаев» (когда элементарные исходы равновозможны и их число конечно) Более того, иногда, определив вероятности таких событий, можно рассчитать (см. тему 2) вероятности более сложных, которые рассматривает алгебра событий (см. приложение)

Примеры к алгебре событий: 1. В урне черные и белые деревянные и пластмассовые шары. Если событие А – вынуть наугад белый шар, В – вынуть деревянный шар, то «вынуть белый деревянный шар» – произведение А и В. 2. Имеется система двух последовательно соединенных элементов (последовательность технологических операций, участок электрической цепи, цепная конструкция и т. п. ). 1 2 Если А 1 – нормальная работа 1 -го элемента, а А 2 – нормальная работа 2 -го, то нормальное функционирование всей системы есть произведение А 1 и А 2. Система работает, только когда работают оба элемента, и первый, и второй.

3. Последовательное соединение k элементов – пример произведения k событий. Если Аj – нормальная работа j-го элемента, то нормальное функционирование всей системы. Система работает тогда и только тогда, когда работают все ее элементы. 1 2 j k 4. В урне белые, синие, красные и зеленые шары. Если А 1 – случайно вытянуть белый шар, А 2 – синий, А 3 – красный, А 4 – зеленый, то вытянуть шар одного из цветов российского флага – сумма событий А 1 + А 2 + А 3. Они несовместны, и вместе с А 4 образуют полную группу.

5. Система состоит из двух параллельно работающих элементов. События А 1 и А 2 – нормальное функционирование 1 соответствующих элементов. 2 Тогда сумма событий А 1 + А 2 есть нормальная работа системы в целом. Она работает, если работает хотя бы один из элементов (1 -ый или 2 -ой или оба); здесь А 1 и А 2 – совместные. 6. Параллельная работа k элементов – пример 1 2 суммы k событий система работает, если работает по крайней мере один из ее элементов. j k

7. Отказ А системы k параллельно работающих элементов есть произведение их отказов Аj система не работает, если выходят из строя все k ее элементов: А = А 1 А 2 … Аk. Здесь работа (А) и отказ ( А) – противоположные события. The End 8. Дополнительным к выпадению двойки в эксперименте с костью является выпадение любой другой цифры из шести: А = {2}, А = {1, 3, 4, 5, 6}. 9. Отказ системы последовательно соединенных элементов есть сумма отказов элементов – система не работает, если отказывает хотя бы один ее элемент: А = А 1 + А 2 +… + Аk.