1 2 При обтекании цилиндра жидкостью,

2 При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а = const. Для задания такой функции тока можно подобрать систему источников и стоков.

3 хцилиндр РО Q R источникисток 2 Показать, что поверхность цилиндра является линией тока

4 const RPQRPx ORQRPx ROx. RQx. RPx

6 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f ( z ), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала координат, может быть разложена в ряд: . . . 2 2 1 1 2 210 z. Bz. AAzf

7. . . 2 210 z. AAzf. Если условия выполнены внутри круга, то. . . 2 2 1 10 z. BАzf Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху 0 Аzf

8 Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные постоянные izf)( nnnnnn i. SRBi. QPA получим: 1 1 0 sincos n. Sn. Rr n. Qn. Pr. P nn n i rez

9 1 1 0 sincos n. Rn. Sr n. Pn. Qr. Q nn n

10 Если значение или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного угла . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin( n ) и при cos( n ) , можно получить уравнения для определения P n , Q n , R n, S n. n

11 U 2 a Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое U ху Предполагаем, что движение возникает из состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра

12 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r = a cos. U rar r . . . 2 2 1 10 z. BАzf 1 0 sincosn. Sn. Rr. P nn n

13 1 1 sincoscosn. Sn. Rna. U nn n. Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r = a , получаем:

142 1 Ua. R Остальные коэффициенты равны нулюcos 2 r Ua Найти функцию тока

15 0 ds n Так как циркуляция скорости то — однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с вне цилиндра

16 ru ru rr ; 1 1 ; sin. U r ar

17 1 0 sincosn. Rn. Sr. Q nn n 1 1 sincossinn. Sn. Rna. U nn n

18 Полное решение задачи: = const вдоль линии тока sinconstr sin cos 2 2 r Ua а

19 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат. U 2 a

21 d. T 2 1 xxxdx 2 sin 4 1 2 1 cos

22 Кинетическая энергия жидкости: 2 0 222 cos 2 1 da. U d. T 21 2 жидк. выт. 22 2 1 UMUa

23 Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 М U 2 ) и энергии жидкости ( 1/2 М выт. жидк U 2 )

25 Если прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет: dt d. U MM UUMMU dt d в. ж. 2 или 2 1 X X X

26 Со стороны жидкости на цилиндр действует силаdt d. U M в. ж. Она исчезает, если скорость не зависит от времени.

27 Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: )( 2 2 t. F q t p q — результирующая скорость: rs q

28? ? 2 ar ar q t cos 2 r. Ua

29 222 sin 4 cos Uq dtd. U a t ar ar )(sin 4 cos 22 t. FU dt d. U a p

30 Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо проинтегрировать давление по границе цилиндра. Проекция на ось х : L х padpdl. F 2 0 coscos dt d. U M выт. жидк.

31 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы.

33 -U 2 a. Сообщим жидкости и цилиндру скорость — U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр. U 2 a Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Запишем комплексный потенциал для плоскопраллельного движения жидкости.

34 )sin()cos( sincos ninareari irreziw azwninn i n )sin( )cos( Ur Ur Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения n=1 : azw ху r yrsinconst y

35 -U 2 a Надо прибавить. U 2 a sin cos 2 2 r Ua )sin( )cos( Ur Ur

36 sin)( cos)( 22 ra r. U Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a

370 cos 2 a. UНа границе цилиндра

38 Обтекание круга в лотке Хил-Шоу

39 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

40 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine

42 При этом числе Рейнольдса картина линий тока, очевидно, уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в ползущем течении. Обтекание кругового цилиндра при Re=1, 54. Ud Re

43 Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda

44 Обтекание кругового цилиндра при Re=9, 6. Произошел отрыв, и образовалась пара рециркуляционных вихрей.

45 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4 -5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5 -7. Фото Sadatoshi Taneda

46 По мере увеличения скорости неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом числа Рейнольдса, пока значение Re не превысит 40 Обтекание кругового цилиндра при Re=13, 1.

47 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей также линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. Обтекание кругового цилиндра при Re=26.

48 При таком числе Рейнольдса рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и уносится потоком воды. [Taneda, 1956 b] Обтекание шара при Re=

49 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980] Мгновенная картина потока при обтекании шара при Re=

51 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потокетренияx. F x p dt ud )( const ρ 2 211 up 21 uu хu F friction x p u 1 p 1 u 2 p 2 y Свободная поверхность 0 x p 12 pp

52 u=0 u=0 u max F тр0 x p frictionx. F x p dt ud )( Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка поверхностного слоя и образование вихрей

53 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1, 4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi Taneda Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140.

54 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc Вихри Кармана в абсолютном движении

55 u=0 u=0 u max F тр u xy В вязкой жидкости const ρ 2 211 up Р 1 Р 2 Р 1 > Р

56 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного слоя) между моментами вылета вихрей 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2 2. 4 2. 6 2. 8 3 00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 61. 822. 42. 62. 833. 23. 43. 63. 8 t, c u , см с -1 t , с. T

571. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

58 Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают волны на поверхности воды?

59 Ветер, V вет > C C Р 1 > Р 2 Р 1 Р 2 Усиление волн ветром

61 Для стационарного движения при отсутствии внешних силconst 2 2 pu Для стационарного движения — ( ) выполняется вдоль данной линии тока Для безвихревого движения ( ) выплняется везде 0 t 0 vrot )( 2 2 t. F q t p

62 Определить скорость на границе и компоненты силы, действующей со стороны жидкости на цилиндр u=0 u max u xy u max sin)( cos)( 2 2 r a r. U

63 u=0 u=0 u max =2 U u max l lpdf u xy 2 2 qp L хpadpdl. F 2 0 coscos 0 sin 2 1 U as

64 Куда направлена сила, действующая на цилиндр в потоке жидкости со сдвигом скорости? u u=0 u 1 u 2 const 2 2 pq l lpdf xy

65 u=0 u=0 u maxu xy Куда направлена сила, действующая на вращающийся цилиндр в однородном потоке жидкости?

66. . . 2 2 1 1 2 210 z. Bz. AAzf. Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду необходимо прибавить еще слагаемое, описывающее влияние вихревых нитей z. Aln

67 Если A=P+i. Q , то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: r. QPQr. Pln~ Циклическая константа функции тока 2 Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2 Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало координат.

69 U 2 a Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной .

70 Линии тока дляa U 2 В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости

71 -U 2 a Обтекание вращающегося цилиндра 2 cos)( 2 ra r. U

72 Для r = a 2 22 sin 2 2 1 const a Uq p Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси 2 0 sinadp. Fy не зависит от радиуса U

73 Всякое непрерывное движение жидкости, наполняющей неограниченное пространство и покоящейся в бесконечности, можно рассматривать, как движение, вызванное соответствующим распределением источников и вихрей с конечной плотностью.

74 Всякое непрерывное безвихревое циклическое и нециклическое движение несжимаемой жидкости, наполняющей произвольную область, может рассматриваться как движение, вызванное некоторым распределением вихрей по ограничивающей поверхности, которая отделяет область от остального неограниченного пространства. В случае области, простирающейся в бесконечность, это распределение относится к конечной части ограничивающей поверхности при условии, что жидкость покоится в бесконечности.