1 2 Перемещение твердого тела r r’r

2 Перемещение твердого тела r r’r 0 a a’tarrddd 0 consta auu dtdr u 0 ‘ 0 r

3 Перемещение и деформация жидкой частицы constatuaadd С точностью до малых величин второго порядка Распишем по осям координат: taudt a F a i i drot 2 1 d Чистая деформация zk yj xi

4 taudt a F aiidrot 2 1 d Вращательное перемещение , которое получает точка А, если бы частица затвердела при вращении вокруг мгновенной оси с угловой скоростью u rot

5 Чистая деформация шар эллипсоид Главные оси эллипсоида – главные оси деформации (перпендикулярны поверхности эллипсоида в точках соприкосновения).

6 шар эллипсоид Если жидкость несжимаема, то объем элемента жидкости не меняется. Изменение объема элемента жидкости при деформации определяет дивергенция скорости.

7 Дивергенция скорости zu yu xu u sdu u zy x S div limdiv 0 — скорость кубического расширения жидкости в точке В несжимаемой жидкости 0 0 div u u

8 Задача 1 Записать поле скорости в проекциях на оси для плоского течения жидкости вида u х ху

9 Задача 1 Записать поле скорости в проекциях на оси для плоского течения вида Такой профиль скорости существует в вязком слое потока жидкости у твердой границы. Этот экспериментальный факт установил Ньютон u х ху 0 00 z y x uu Cyuu

10 Задача 2 Найти для этого теченияu x = u 0 + Cy хуu

11 Задача 2 Найти для этого теченияu x = u 0 + Cy хуu Скалярное произведение векторов z k y j x i и x uiu 0 u

12 Задача 3 u х ху Построить деформацию выделенного объема жидкости при перемещении вниз по потоку

13 u х ху Чистая деформация Поворот «затвердевшей» частицы

14 Поле скорости.

15 Установившееся ( стационарное) течение u= f (x, y, z) Неустановившееся (нестационарное) течение u= f (x, y, z, t) Равномерное установившееся движение — скорость не меняется вдоль траектории

16 Линия тока : для данного момента времени t касательная к линии тока в любой ее точке совпадает по направлению со скоростью течения u 1 u 2 u 3 В стационарном потоке линия тока совпадает с траекторией

17 Уравнение линии тока), , , (), , , (tzyxu dz tzyxu dy tzyxu dx zyx u y u

18 Показать, что в нестационарном потоке линия тока не совпадает с траекторией

19)( 1 t. LЛинии тока в 2 разных момента времени в нестационарном потоке жидкости. Траектория не совпадает с линией тока )( 2 t. L

20 Если в некоторой точке u 0 , то через эту точку проходит только одна линия тока Если в некоторой точке u = 0 , то это особая точка узел фокус центр

21 Характеристики движения жидкости

22 Поток скорости через поверхность S S zyx S n S dxdyudxdzudydzudsusdu)( — это объем жидкости протекающий через S за единицу времени ( объемный расход ) n u

23 Средняя скорость течения в канале или трубе с поперечным сечением S : S dsu u S n

24 Дивергенция скорости zu yu xu u sdu uzyx S div limdiv 0 — скорость кубического расширения жидкости в точке

25 Циркуляция скорости по замкнутой кривой с определенным направлением обхода L zyx Ldzudyudxurdu u Положительным считается направление обхода против часовой стрелки rd R

26 Записать циркуляцию скорости, если жидкость вращается с постоянной скоростью вдоль окружности радиуса R

2722 2 Rrdu Ru Rurdu LL u rd R Вращение с постоянной скоростью вдоль окружности радиуса R

28 а ху 0 0 0 z yx uu Cyuu. Определить циркуляцию скорости по выделенному контуру (квадрат со стороной а )

29 а ху Caau. Cauardu L 2 0 rdu u Cau

30 zyx uuu zyx kji u rot Вихрь rot u скорости векторное произведение оператора набла на скорость

31 ху 0 0 0 z yx uu Cyuu. Определить ротор скорости

32 Ck Сyu zyx kji u 00 rot 0 u х ij k

33 Вихрь rot u и циркуляция скорости SL sdurotrdu (теорема Стокса) Если nurot S const. Snurot

34 L ху0 0 0 z y x uu Cyuu S 2 Са. Surot а 2 Са. Snurot

35 Полная производная сложной функции i i i tx x. F t. F dtd. F Обозначим компоненты скорости u x , u y , u z Найти компоненты ускорения w x , w y , w z Найти производную), , , (tzyx. F dt d

36 t u u z u u y u u x u w z zz yz xz z y zy yy xy y x zx yx xx x

37 zyxu z u y u xt t z zt y yt x xtdt d Записать, используя оператор dt d

38 Записать, используя оператор dt d

39 u tdt d

40 Контрольная работа

411. Определить циркуляцию скорости для потока с компонентами скорости u x = u 0 +cy, u y =0, u z =0 вдоль окружности x 2 + y 2 = R 2. В сужающейся круглой трубе, ось которой направлена по оси х , радиус сечения уменьшается как линейная функция координаты х. На входе трубы радиуса R скорость потока равна U. Определить скорость потока на расстоянии L от входа 3. Записать по компонентам и в векторном виде dt d

42 Уравнение неразрывности

43 Масса элементарного объема жидкости не изменяется при переходе от момента времени t 0 к t dzdydx 0 0000 0 00 dt d const

44 0 0 dt d. Скорость относительного кубического расширения жидкости в данной точке u div dt d

45 Уравнение неразрыности — следует из закона сохранения массы0 )()()( 0 div ln 0 1 z u y u x u t u dt d zy x

460 )()()( 0 1 z u y u x u t u dt dzy x Показать, что уравнение неразрывности можно записать в виде. Задача

47 0 )()()( 0 0 0 1 z u y u x u t uu t u dt dzy x умножаем на

48 Записать уравнение неразрывности для: 1. несжимаемой неоднородной по плотности жидкости 2. стационарного движения неоднородной по плотности жидкости

49 Несжимаемая неоднородная жидкость Стационарное движение неоднородной жидкости 0 t 0 u 0 0 tdt d

50 Используя уравнение неразрывности и теорему Гаусса dusdu S div показать, что объем несжимаемой жидкости втекающей через неподвижную замкнутую поверхностью S равен объему вытекающей жидкости через ту же поверхность.

51 S zyx S n S dxdyudxdzudydzudsusdu)( 0 u dusdu. S div 0 S n dsu

52 а 1 а 2 u 1 u 22211 auau. Пусть несжимаемая жидкость поступает в замкнутую область, ограниченную поверхностью S. Малые площадки а перпендикулярны линиям тока. Для каждой такой трубки тока Так как 0 S n dsu то число входящих трубок тока равно числу выходящих трубок тока.

53 ВЫВОД Внутри любой замкнутой поверхности линии тока несжимаемой жидкости не могут ни начинаться, ни заканчиваться.

54 Уравнение неразрывности в цилиндрических и сферических координатах

55 Цилиндрические координаты 011 z uu rrru rt zr z r

56 Сферические координатыr 0 sin 11 2 2 uu rr ur rt r

57 Каждая частичка жидкости описывает окружность, перпендикулярную к постоянной оси и с центром на ней. Получить уравнение неразрывности. Задача

58 Уравнение неразрывности имеет вид где — угловая скорость ruuu t zr , 0 , 0 z r

59 Траектории частиц расположены на поверхностях коаксиальных цилиндров. Найти уравнение неразрывности. Задача

6001 z uu rt z Ответ к задаче 2 z r 0 ru r

61 Каждая частичка жидкости движется в плоскости, проходящей через ось z. Задача

62 Ответ к задаче 3 0 1 z u r ru rt zr 0 u z r

63 Задача 4 Частицы жидкости движутся в пространстве симметрично по отношению к неподвижному центру так, что скорость каждой частицы направлена либо от центра, либо к центру и зависит только от расстояния r от центра

64 Ответ к задаче 4 000 2 2 r ru rru tuu r r r