1. 2. 3. 4. 5. 6. Введение Представление чисел в ЭВМ Понятие погрешности Погрешности функций Устойчивость, корректность, съодимость Приложение – системы исчисления
Вычисления с округлениями число округление отбрасывание 1, 25 1, 3 1, 2 2, 34 2, 3 3, 21 3, 2 4, 65 4, 7 4, 6 5, 23 5, 2 6, 22 6, 2 4, 81 4, 8 8, 95 9 8, 9 7, 55 7, 6 7, 5 4, 91 4, 9 Сумма 49, 12 49, 2 48, 8 Окр. сумма 49, 1 49, 2 48, 8 Вывод: способ вычисления влияет на точность результата вычисления,
Приближенные числа в компьютерных вычислениях Представление чисел в ЭВМ используется 4 байта памяти (32 разряда) 00000000 Пример распределения 16 разрядов: => 2 • 10^15 до 2 • 10^15 2^9=1024 1, 0000 1, 0001 ……… 1, 1024 2, 0000 Для расширения числового диапазона используется запись с плавающей запятой D = ±m • 10", где т и п — соответственно мантисса числа и его порядок. Например, число 23. 9 можно записать в виде: 2, 39 • 10^1, — 0. 239 • 10^2, 239*10^ 1
0 положительное 1 – отрицательное 23, 9 = 239*10^ 1 1 1 1 1 0 0 0 1
Погрешность есть мера точности приближенных чисел. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значени ем, полученным в результате вычисления или измерения. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к приближенно му значению числа. Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы разряда, следующего за значащим 0, 734 =>0, 73431, =>0, 73357 – погрешность округления = 0, 0005 Если при вычислениях на компьютере округление не производится, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются, то максимально возможная погрешность результата выполнения операции в два раза больше по сравнению со случаем округления.
Действия над приближенными числами Абсолютная погрешность арифметических действий
Относительная погрешность арифметических действий Относительная погрешность суммы положительных слагаемых заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей этих слагаемых. М – максимальное значение (σа и σв), принимают для расчетов
Рассмотрим пример: Пусть а = 2520, в = 2518. Найти относительную погрешность разности двух чисел. Вывод: относительная погрешность результата равна 50%, т. е. ожидаемый результат равен 2 + 1, или 1
Погрешности функций Погрешность аргумента ∆а рассматриваем как изменение аргумента, при этом изменение функции можно определить используя дифференцирование Для сложной функции находим аналогично Где, ∆а, ∆в, ∆с – соответственно погрешности аргументов
Источники погрешностей 1. Математическая модель, принятая для описания данного процесса или явления, может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи. 2. Исходные данные задачи часто являются основным источником погрешностей. Вместе с погрешностями, вносимыми математической моделью, их называют неустранимыми погрешностями, поскольку они не могут быть уменьшены вычислителем ни до начала решения задачи, ни в процес се ее решения. 3. Численный метод также является источником погрешностей. Это связано, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислениях значений функций, с интерполированием табличных данных и т. п. Как правило, погрешность численного метода регулируема, т. е. теоретически она может быть уменьшена до любого значения путем из менения некоторого параметра (например, шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т. п. ). 4. При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений, (отбрасываний) связанные с ограниченностью разрядной сетки ЭВМ
Устойчивость. Корректность. Сходимость Чувствительность метода к неточностям в исходных данных. характеризуется так называемой устойчивостью, или малые погрешности в исходных данных приводят к малым погрешностям в решении. Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным. При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. (итерационные методы, методы дискретизации, интегрирование. . ) Конец лекции
Двоичное исчисление 2^0=1 2^1=2 2^2=4 2^3=8 2^4=16 2^5=32 2^6=64 2^7=128 2^8=256 2^8=512 2^9=1024 Дв Дс Шест Вс 3210________ 0000 = 0 0001 = 1 0010 = 2 0011 = 3 0100 = 4 0101 = 5 0110 = 6 0111 = 7 1000 = 8 10 1001 = 9 11 1010 = 10 A 12 1011 = 11 B 13 1100 = 12 C 14 1101 = 13 D 15 1110 = 14 E 16 1111 = 15 F 17 i номер позиции (слева)двоичного кода K – значение позиции, 1 или 0 1010 = 1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0 =8+0+2+0=10 Шестнадцатеричная система C 5 = 12*16+5 = 197: 8 F = 8*16+15 = 143 Восьмеричная система 26=2*8+6=22 121 = 1*64 +2*8+1=81