1
2
1. Построим кинематическую картину (поле скорости): находим комплексный потенциал, т. е. подбираем такое распределение особых точек (вихри, источники) на всей плоскости течения, которое при отсутствии тела в потоке жидкости дает такое же поле скорости. 3
2. Применяя уравнение Бернулли (стационарное движение) или Коши. Лагранжа (нестационарное движение), находим давление на тело со стороны окружающей жидкости. 3. Интегрируем давление по поверхности тела и находим силу, действующую на тело со стороны окружающей жидкости. 4
1. Плоское течение в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности, возникающее при движении тела. 2. а) 5
б) На контуре тела нормальная составляющая скорости контура Un совпадает со скоростью частиц жидкости un 6
1). неподвижном контуре На 2). Тело движется поступательно со скоростью U в направлении оси 0 х 3). Произвольное движение тела 7
2. Жидкость на бесконечности имеет скорость U, направленную вдоль оси 0 х, обтекает неподвижное тело Для нестационарного движения U, V, ω, c зависят от параметра t. 8
Задача Дирихле – определение в области D некоторой функции ψ, удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям функции на контуре области D. Можно искать потенциал скорости φ (удовлетворяет уравнению Лапласа в области течения), но на контуре равенство нормальных составляющих скорости тела и жидкости будет: Это задача Неймана 9
Связь В многосвязной области безвихревое движение полностью определяется на контурах, если заданы все циркуляции скорости (циклические постоянные) 10
11
Функция ψ должна удовлетворять внутри эллипса И граничному условию 12
Ищем функцию ψ в виде полинома второй степени Подставляем в уравнение Лапласа 13
Подставляем в граничное условие выражение для ψ Совместимость с уравнением эллиптического контура дает 14
Получаем : Получить выражения для проекций скорости ux, uy и найти потенциал скорости φ 15
16
Для чисто поступательного движения: Для чистого вращения: Линии тока - гиперболы 17
Движение жидкости относительно подвижных осей координат, скорость которых составляют компоненты переносной скорости определяется 18
Интегрируя выражения скорости, получаем траекторию в виде эллипсов, подобных границе: Относительное движение не является безвихревым 19
20
Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f(z), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала координат, может быть разложена в ряд: 21
Если условия выполнены внутри круга, то Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху 22
Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные постоянные получим: 23
24
Если значение или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного угла . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin(n ) и при cos(n ) , можно получить уравнения для определения Pn, Qn, Rn, Sn. 25
Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду необходимо прибавить еще слагаемое, описывающее влияние вихревых нитей 26
Если A=P+i. Q, то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: Циклическая константа функции тока 2 Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2 Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало координат. 27
28
2 a U у U Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое Предполагаем, что движение возникает из х состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра 29
r U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r=a 30
Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r=a, получаем: 31
Остальные коэффициенты равны нулю Найти функцию тока 32
Так как циркуляция скорости то - однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с вне цилиндра 33
34
35
Полное решение задачи: а =const вдоль линии тока 36
у 2 a U Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат. 37
38
39
Кинетическая энергия жидкости: 40
Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 МU 2) и энергии жидкости (1/2 М выт. жидк. U 2) 41
42
Если прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет: Работа в единицу времени 43
Со стороны жидкости на цилиндр действует сила Она исчезает, если скорость не зависит от времени. 44
Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: q - результирующая скорость: 45
46
47
Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо проинтегрировать давление по границе цилиндра. Проекция на ось х: 48
Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы. 49
50
2 a 2 a U Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Сообщим жидкости и -U цилиндру скорость -U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр Запишем комплексный потенциал для плоскопараллельного движения жидкости. 51
Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения у r х Линии тока 52
2 a 2 a U -U Надо прибавить 53
Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? 54
На границе цилиндра Линии тока С Найти скорость на круге С (граница цилиндра – линия тока) 55
Максимальное значение скорости в точках на концах вертикального диаметра и равно 2 U. Минимальное значение на концах горизонтального диаметра – ноль. Поле давления симметрично на контуре тела. 56
57
2 a U Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной γ. Граничные условия будут выполнены, если предположить, что На одной стороне цилиндра скорость больше, а на другой - меньше. Возникает разность давлений. Для поддержания горизонтального движения надо приложить силу в вертикальном 58 направлении.
Линии тока для В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости 59
Добавим поток в отрицательном направлении оси 0 х -U U Записать потенциал скорости и скорость жидкости на контуре 60
-U Обтекание вращающегося цилиндра 61
Для r = a Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси не зависит от радиуса 62
Обтекание круга в лотке Хил-Шоу 63
Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости) 64
На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine 65
66
Re=1. 54 картина линий тока уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в 67 ползущем течении.
Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda 68
Обтекание кругового цилиндра при Re=9, 6. Произошел отрыв, и рециркуляционных вихрей. образовалась пара 69
Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4 -5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5 -7. Фото Sadatoshi Taneda 70
Re=13. 1 неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом 71 числа Рейнольдса, пока значение Re не превысит 40
Re=26 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей 72 линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса.
Обтекание шара при Re=104 рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и 73 уносится потоком воды. [Taneda, 1956 b]
Re=15 000 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро 74 превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980]
75
Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потоке y рхн бодная пове Сво u 1 p 1 ость u u 2 p 2 х Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Ffriction 76
umax Fтр u=0 umax Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка u=0 поверхностного слоя и образование вихрей 77
Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1, 4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi 78 Taneda
Вихри Кармана в абсолютном движении Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc 79
Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного d слоя) между моментами вылета вихрей T 80
y В вязкой жидкости u y u umax x x Fтр Р 1 Р 2 u=0 Р 1> Р 2 umax 81
1. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна 82 наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)
Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают вихри на поверхности воды? 83
Ветер, Vвет>C C Р 1 Р 2 Р 1> Р 2 Усиление волн ветром 84