1 1 Записать уравнение неразрывности все известные

1

1. Записать уравнение неразрывности (все известные Вам формы записи) 2

2. Задача «Почти» параллельный поток жидкости у х Граничные условия const Используя уравнение неразрывности и граничные условия 1. Найти связь между коэффициентами. 2. Найти ротор и циркуляцию скорости 3

4

Безвихревое движение Отсутствует вращательная составляющая движения 5

у Плоскопараллельное движение вблизи границы uх Поступательное движение х Чистая деформация Поворот «затвердевшей» частицы 6

Если поле скорости однородно вдоль координат движение жидкости безвихревое y u x 7

Для безвихревого движения компоненты ротора скорости равны нулю Это необходимое и достаточное условие существования потенциала скорости 8

Запишем выражение (считая t параметром) Записанное выражение является полным дифференциалом потенциала скорости. 9

Найти линейный интеграл вдоль контура L от точки А до точки В для безвихревого течения жидкости В L А 10

Что будет, если точки А и В совпадают? 11

Пусть grad непрерывен и однозначен во всех точках однозвязного объема, тогда однозначен во всем объеме Если точки А и В совпадают и циркуляция скорости по любому замкнутому контуру тоже равна нулю 12

Если циркуляция скорости отлична от нуля, то потенциал скорости не существует, так как движение вихревое. Могут ли быть линии тока замкнуты при безвихревом движении жидкости? 13

Если замкнутый контур представляет собой линию тока А L то циркуляция отлична от нуля Такое движение является вихревым 14

Для безвихревого движения (если есть потенциал скорости) линии тока не могут быть замкнуты. Скорость является потенциальным вектором 15

Задача Может ли существовать потенциальное (безвихревое) течение жидкости в односвязном объеме, ограниченном со всех сторон твердыми стенками ? 16

В односвязном объеме, ограниченном со всех сторон твердыми стенками, не может существовать незамкнутых линий тока, так как нормальная составляющая скорости на границе равна нулю. В такой области течение всегда вихревое. 17

Для потенциального движения Показать, что для потенциального течения ускорение также представляет собой потенциальный вектор 18

19

20

Для потенциального течения ускорение представляет собой потенциальный вектор 21

Запишем уравнение неразрывности для потенциального течения 22

Если жидкость несжимаема, то 23

Это уравнение Лапласа, решение - гармоническая функция координат 24

Свойства безвихревого движения в односвязном объеме 1. Записать полный поток несжимаемой жидкости через замкнутую поверхность для безвихревого течения (выразить через потенциал скорости) 25

1. Для любой замкнутой поверхности будет иметь место соотношение для несжимаемой жидкости: Потенциальное течение Положительное направление нормали Вихревое и потенциальное течение сколько втекает, столько вытекает жидкости 26

Показать, что 2. ни в одной точке жидкости потенциал скорости не может иметь максимума или минимума. Указание, пусть есть такая точка. Окружить замкнутой достаточно малой поверхностью и проверить свойство № 1. 27

Пусть в точке а потенциал имеет максимум В каждой точке поверхности S S а Что противоречит свойству № 1 28

3. Ни в одной точке внутри жидкости величина скорости u не может иметь максимум. Минимум может быть, например 0. Пусть скорость в точке а направлена вдоль оси х с имеет максимум ua х (Продифференцировать ур-е Лапласа по х) 29

скорость жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. обладает свойством № 2 30

4. В односвязном объеме жидкости, ограниченном твердыми стенками не может существовать безвихревое движение. 31

Если есть свободная поверхность, то безвихревое движение возможно, так как происходит деформация свободной поверхности. Учитывая, что представляет собой гармоническую функцию координат, деформация водной поверхности имеет вид гармонических волн. 32

Внутри односвязного объема жидкости существует единственное безвихревое движение если заданы на границах объема: а) либо значение потенциала б) либо значения нормальной составляющей скорости в) либо потенциал на части границы и нормальная составляющая скорости на оставшейся части границы 33

Это справедливо и для внешней области 34

35

Компоненты ротора скорости: Вихревые линии - линии, направление которых совпадает всюду с мгновенной осью вращения 36 жидкости.

Вычислить 37

Тогда по теореме Гаусса вытекает, что поток вихря сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. 38

Дифференциальное уравнение вихревых линий Если через каждую точку малой замкнутой кривой провести соответствующую вихревую линию, то получим трубку, которая называется вихревой трубкой. Жидкость внутри трубки образует вихревую нить или просто вихрь. 39

Для каждой точки поверхности вихревой трубки выполняется равенство Здесь l, m, n - направляющие. 40

Применяя к вихревой трубке свойство учитывая, что боковые поверхности трубки – есть вихревые линии, т. е. параллельны ротору скорости, получаем для суммарного потока вихря: 41

Произведение (ротора скорости на площадь нормального бесконечно малого сечения трубки) называется интенсивностью вихревой трубки (или вихря). Интенсивность вихря не меняется вдоль вихревой трубки. 42

Связь интенсивности вихревой трубки и циркуляция скорости теорема Стокса 43

Для бесконечно малого плоского сечения трубки (ротор вдоль сечения не меняется) 44

Циркуляция по какой-либо замкнутой кривой равна сумме напряжений всех вихрей, охватываемых этой кривой. 45

Разобьем все поле вихрей на вихревые трубки равной интенсивности. В соответствии с число входящих трубок должно быть равно числу выходящих трубок. 46

Вихревая линия во внутренней точке жидкости не может ни начинаться, ни оканчиваться. Все вихревые линии должны образовывать замкнутые вихревые линии, или же, начинаться и кончаться на границах жидкости, пронизывая ее толщу. 47

flow 4 3 1 Вихри имеют форму цилиндров с горизонтальной осью перпендикулярной направлению потока 1 см bottom 48

Задача 1 49

1 y x 2 2 z 1 -центральная часть вихря, 2 -конец основного вихря, 3 -конец вихря-спутника, 4 -дно 50

Чехарда двух вихревых колец. Два последовательных выхлопа воздуха выбрасывались через отверстие диаметром 8 см поршнем, приводимым в движение ударами двух маятников. Визуализация течения получалась при помощи дымовой проволочки, протянутой поперек отверстия и видной в левых частях снимков. 51

При данном числе Рейнольдса, рассчитанном по диаметру отверстия и примерно равном 1600, второе кольцо движется быстрее, так как находится в индуцированном первым кольцом поле; на третьем фотоснимке второе кольцо уже проскальзывает сквозь первое. Затем процесс повторяется, и на последнем снимке уже первое кольцо проскальзывает сквозь второе. [Yamada, Matsui, 1978] 52

53

Верхний ряд снимков показывает истечение воды с введенной в нее краской через пятисантиметровое отверстие, в результате чего создается осесимметричное вихревое кольцо. Число Рейнольдса этого кольца равно примерно 15000. Нижний ряд снимков показывает последовательное разрушение кольца из-за неустойчивости. Развиваются синусоидальные возмущения с семью волнами на кольце. Внешние слои кольца в отличие от его ядра искривляются. Амплитуда волн возрастает до тех пор, пока кольцо внезапно не испытает перехода к турбулентности при сохранении видимости 54 его структуры. [Didden, 1977]

Гексагональное дымовое кольцо. Нарастание волн вокруг вихревого кольца часто называется неустойчивостью Уиднелла по имени первого исследователя. К моменту, показанному на данном снимке, этот процесс привел к замечательной симметричной структуре, созданной дымом в воздухе при числе Рейнольдса, примерно равном 1000. Фото G. J. 55 Jameson, M. Urbicain

Вынужденная неустойчивость круглой струи Слабые периодические звуковые волны создаются громкоговорителем, расположенным вблизи струи и работающим на ее собственной частоте. В результате длина ламинарного пограничного слоя на периферии струи уменьшается и начинается образование вихревых колец, более регулярное, чем при невынужденном возникновении неустойчивости. 56 Фото R. Wille, A. Michaike, Н. Fiedler

Задача 1 Жидкость вращается вокруг оси 0 z как твердое тело с угловой скоростью . Определить поле скорости вихрей 57

y a u= a x 58

Вихрь rotu и циркуляция скорости цилиндрического вихря j j i k 59

Задача 2. Скорость частиц жидкости пропорциональна расстоянию до оси 0 х и параллельна этой оси: Определить поле вихрей, форму вихревых линий 60

61

Уравнение линии тока y z 62

63

Пусть внешние силы равны нулю, а жидкость покоится. В течении короткого интервала времени действует градиент давления и возникает движение. Умножим на dt и проинтегрируем уравнение движения от 0 до . Обозначим Тогда 64

Получаем: Потенциал скорости представляет собой систему импульсных давлений, отнесенных к плотности жидкости, которая бы привела жидкость из состояния покоя в движение со скоростью u. Это истолкование дано Коши и Пуассоном в 1816 г. 65

Рассмотрим плоское движение u(u, v) Запишем уравнение линии тока: Вдоль линии тока Если ввести такую функцию , что то вдоль линии тока 66

Найти выражение вихря через функцию тока 67

Для плоского движения u(u, v) запишем компоненты ротора скорости Если движение безвихревое 68 функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа

Запишем компоненты скорости течения, используя потенциал скорости и функцию тока: 69

х Последние два равенства перемножаем t =cons = st con Это условие ортогональности линий тока и линий равного потенциала 70

L const = = объема жидкости, ограниченного контуром L st con Направление обхода выбирается таким образом, чтобы интеграл получился положительным 71