1 1 K 10 K facets

1

1 K 10 K facets Граней facets Граней 1 K 10 K smooth Сглаживание smooth Сглаживание 2

Параметрические кривые, мотивация 3

Интерполяция и аппроксимация кривых Интерполяция Aппроксимация кривая должна кривая формируется проходить через под влиянием контрольные точки контрольных точек 4

Интерполяция и аппроксимация кривых 5

Задача аппроксимации возникает при замене кривой, заданной уравнениями функций сложной природы (например, с точки зрения скорости расчета ее значений и производных, интегрирования, дифференцирования), другой кривой, близкой к заданной, уравнения которой более простые. Кривую возможно построить путем: n интерполированием или аппроксимацией по точкам; n деформацией кривой (перемещение точки, изменение полинома); n вычислением эквидистанты к заданной кривой; n формированием разомкнутого или замкнутого контура из отрезков или дуг кругов на плоскости; n вычислением конических сечений (эллипс, парабола и т. д. ); n вычислением сечения поверхностей; n соединением кривых. 6

Интерполяция и аппроксимация кривых n Интерполяция кривой – по принуждению → много (нежелательных? ) колебаний n Аппроксимированная кривая – более реалистична? 7

Интерполяция и аппроксимация кривых n Требуется аппроксимировать некоторую заданную функцию f(t) конечной суммой n более простых функций так, чтобы выполнилось множество ограничений, наложеных на g(t). Поскольку надо определить n независимых констант C 1, C 2…Cn, на g(t) нужно наложить по меньшей мере n ограничений. n Обычно ограничения на g(t) выбираются такими, чтобы g(t) была «хорошим» приближением функции f(t). n Что такое «хорошее» приближение? 8

Интерполяционные ограничения В теории аппроксимации часто встречаются следующие ограничения: n 1) интерполяционные ограничения Эти функции должны иметь одинаковые значения в выделеных точках. n 2) смесь интерполяционных ограничений и ограничений гладкости а) б) в) т. е. g(t) дважды непрерывно дифференцируема 3) условия ортогональности В машинной графике нас интересует не качество аппроксимации, измеряемое, например, оценкой ошибки аппроксимации, а свойство, выражаемое через внешний вид кривой или поверхности. Еще это назвают свойством формы. 9

Формы представления кривых и поверхностей n Явная форма - это уравнение вида , некоторые форма функции f имеют обратную g, позволяющие изменить соотношение переменных в уравнении. График функции у = 2 х График функции у = sinx n Нет гарантии, что для определенного графического объекта (например, линии) существует явное уравнение в том или ином виде (y от x или x от y). Для описания поверхности потребуется использовать две назависимые переменные и уравнение поверхности в явном виде будет выглядеть z = f (x, y). 10

Формы представления кривых и поверхностей n Невная форма. Большинство кривых и поверхностей, с форма которыми приходится работать на практике, можно описать с помощью уравнений в неявной форме Неявная форма для прямой и окружности с центром в начале координат: ìax + by + c = 0 í 2 x + y -R = 0 2 2 î 11

Параметрические кривые n В параметрической форме каждая координата точки, принадлежащая кривой представляется функцией независимой переменной u, которая называется параметром этой кривой. x =x t +(1 -t)x 0 1 Параметрическое представление для линии: y =y 0 t +(1 -t)y 1 z =z 0 t +(1 -t)z 1 n В трехмерном пространстве кривая описывается системой из трех параметрических уравнений x = x(u), y = y(u), z = z(u) Рассмотрим уравнения кривой в виде где Полиномиальная параметрическая кривая степени n имеет вид 12

Почему параметрические кривые? Остановимся на полиномиальной форме, то есть все функции параметра u при описании кривых и параметров u и v при описании поверхностей являются полиномами. Основные доводы в пользу использования параметрического полиномиального представления n Возможность локального контроля формы n Гладкость и непрерывност в математическом смысле n возможность математического вычисления производных n Устойчивость к малым воздействиям (возмущениям) n Возможность использовать простые и значительно высокоскоростные методы закраски 13

Почему параметрические кривые? n Одной из самых важных причин выбора в качестве средств векторной графики кривых является управляемая гладкость. n Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель и резких преломлений (тем более разрывов). Но при этом, не исключена возможность создания как гладкого сопряжения, так и изгибов, например острых углов. Касательная на гладкой кривой Касательная на кривой с изломом 14

Определение кривых Контрольные точки: n Набор точек, которые влияют на форму кривой. Узлы: n Контрольные точки, которые лежат на кривой. Интерполяция сплайна: n Кривая проходит через контрольные точки. Апроксимация сплайна: n Контрольные точки просто влияют на форму. 15

Геометрическая непрерывность n Непрерывность G 0 n у кривой/поверхности нет никаких разрывов/промежутков/ отверстий n При стыковке по уровню G 0 - непрерывность по координатам n Непрерывность G 1 n 1 -ая производная кривой/поверхности непрерывна n "кажется гладкой, никакие фасеток" n Непрерывность G 2 n кривые/поверхности 2 -ая производная непрерывна Фактически важно для затенения 16

Пример n Вся история параметрических сплайнов связана с получением их коэффициентов. n Как мы это делаем, удовлетворяя ограничения, установленные узлами и условиями непрерывности, - то, что классифицирует систему сплайна и отличает различные системы. n Пример: Кубические Сплайны Эрмита (Hermite) 17

Параметрические Полиномиальные Кривые n Если N=M=L, нам нужно определить 3(N+1) коэффициентов n Чтобы получить непрерывность C 2, функции должны иметь по крайней мере степень 3. Это - также самая низкая степень для описания неплоской кривой. n Кубическая кривая имеет 4 степени свободы и может управлять 4 параметрами. n Полиномиалы использования: x (u) степени k - функция от u. - y (u) и z (u) подобны, и каждый управляется независимо (вот почему с параметрической формой легче обращаться чем неявной формой). Это: 18

n Сегодня в компьютерной графике параметрические и кубические кривые третьего порядка называют сплайнами. В тоже время сплайн можно разделить на два класса: n 1. кривые, имеющие непрерывные значения функции и ее первой производной; n 2. кривые для которых непрерывна сама функция и ее первая и вторая производные. В первую группу относятся функции, которые проходят через заданные точки (заданные пользователем). Для второго класса функция проходит рядом с управляющими (контрольными) точками. n Примеры: К первому классу относятся функции заданные формой Безье, Эрмита, Кейтмула- Рома; Ко второму классу относятся В-сплайны. 19 Рома

Сплайны n сплайн - параметрическая кривая, определенная контрольными точками n термин "сплайн" идет от инженерного рисования, где сплайн был частью гибкого прута, используемого, чтобы нарисовать гладкие кривые n контрольные точки настраиваются пользователем, чтобы управлять формой кривой 20

Сплайны n чертежник использовал 'уток (ducks) ' и гибкие полосы (spline - упругая рейка ), чтобы вытянуть кривые n деревянные сплайны имеют непрерывность второго заказа, проходят через контрольные a duck (weight) точки ducks trace out curve 21

Кривая Эрмита n Кривая Эрмита - кривая, для которой пользователь обеспечивает : n конечные точки кривой n параметрические производные кривой в конечных точках n параметрические производные - dx/dt, dy/dt, dz/dt n больше производных требовалось бы для кривых более высоких степеней 22

Кривая Эрмита(2) n 4 степени свободы, 2 в каждом конце, чтобы управлять C 0 и непрерывностью C 1 в каждом конце. n Полиномиал может быть определен положением, и производной в каждой конечной точке кривой. n Определим: р = Р (t) в термина Р(t) и P/ (t) Определим коэффициенты 23

Кривая Эрмита(3) Для кривой Эрмита должны существовать некоторые константы a 3, a 2, a 1, a 0 И они могут быть вычислены из контрольных точек, но как? n Мы имеем утверждения: n Кривая должна проходить через x 0 когда t=0 n производная должна быть x’ 0 когда t=0 n Кривая должна проходить через x 1 когда t=1 n производная должна быть x’ 1 когда t=1 24

Матрица Эрмита - MH Проистекающий полиномиал может быть выражен в матричной форме: X(t) = t. TMHq (q – геометрический вектор контроля) 25

Матрица Эрмита - MH Проистекающий полиномиал может быть выражен в матричной форме: X(t) = t. TMHq (q – геометрический вектор контроля) Мы можем теперь определить параметрический полиномиал для каждой координаты, независимо, то есть, X(t), Y(t) и Z(t) 26

Базис Эрмита (стыковочные функции) График показывает форму четырех базисных функций – часто назваемых стыковочными x 0 x 1 функциями. Они маркированы элементами вектора контроля, который они нагружают. Отметьте, что в каждом конце только положение является x 0/ отличным от нуля, таким образом кривая должна коснуться конечных точек x 1/ 27

Кривые Эрмита y(t) Note : Начало слева. x(t) 28

Кривые Эрмита n Две эрмитовых кубические Р 1 кривые, соединенные в точке Р 4. Р 7 Их касательные векторы имеют Р 4 одинаковое направление, но различаются по величине. Свойства n 1) гладкая кривая n 2) проходит через вершины n 3) касательный вектор однозначно определяется через массив вершин n 4) Не лежит в выпуклой оболочке порожденной матрицей образованной вершинами P n 5) Аффинно – инвариантна n 6) При добавлении хотя бы 1 точки вершины возникает необходимость полного пересчета всех параметрических уравнений. n 7) Изменение хотя бы 1 -й вершины | касательной вектора в концевых точках приводит к изменению формы кривой. 29

Кривые Безье и Эрмита Кубические кривые Эрмита являются трудными для моделирования – должны быть определены точки и производные. n Более интуитивным является только определение точек. n Pierre Bézier (Безье) определил 2 конечных точки и 2 дополнительные контрольные точки, чтобы определить производные в конечных точках. n Может быть получен из матрицы Эрмита: n Две контрольные точки определяют тангенс 30

Кривые Безье Метод Безье, который использует аппроксимацию многочленами Бернштейна. Пусть задана совокупность из (n+1) точек которую будем называть ломаной Безье. Кривая Безье, соответствующая этой ломаной, описывается в виде функции параметра t следующим полиномом: где - радиус-вектор точек на кривой, а Jni(t) - аппроксимирующие многочлены Бернштейна, равные n Здесь 0 t 1 и, кроме того, предполагается, что ti=1 при i=0 и t=0. n Ломаная Безье однозначно определяет форму кривой Безье. Изменяя положения вершин ломаной, можно управлять формой соответствующей кривой Безье 31

Матрица Безье n Кубическая форма является самой популярной X(t) = t. TMBq (MB – матрица Безье) n При n=4 и r=0, 1, 2, 3 мы получаем: n Аналогично для Y(t) и Z(t) 32

Стыковочные функции Безье n каждая точка на кривой - линейная комбинация контрольных точек n веса комбинации все q 0 q 3 положительны n сумма весов 1 q 1 q 2 n поэтому, кривая - выпуклая комбинация контрольных точек 33

n Если необходима более гибкая кривая Безье, увеличивается количество пределяющих точек и степень полинома. Для каждой точки на кривой Безье с n определяющими вершинами многоугольника B 0, . . . , Вn та же самая точка на новой кривой Безье с n + 1 определяющими вершинами B 0*, . . . , Вп+1* задается в виде Кубическая кривая Безье для n=4 задается в виде P(t) = (1 - t)3 B 0 + 3 t(l – t)2 B 1 + 3*t 2 (1 - t)B 2 + t 3 B 3, 0

Пример кривых Безье 35

Пример кривых Безье n Когда мы имеем несколько кусочков кривой Безье, то для стыковки надо соблюсти следующее условие: т. е точки 3 и 5 должны лежать на одной прямой (для данного случая). Это обеспечивает одинаковую касательную в точке стыковки. 36

Пример кривых Безье 37

n Элементарные кубические кривые Безье, порожденные набором из четырех точек, которые различаются нумерацией 3 1 2 1 4 1 4 2 2 38

39

Построение кривой Bezier n шаг 1: найдите середины линий, присоединяющихся к контрольным вершинам. назовите их M 01, M 12, M 23 P 1 M 12 P 2 M 01 M 23 P 0 P 3 40

Построение кривой Bezier n Шаг 2: найдите середины линий, соединяющие вершины M 01, M 12 и M 12, M 23. Назовите их M 012, M 123 P 1 M 12 P 2 M 012 M 123 M 01 M 23 P 0 P 3 41

Построение кривой Bezier n Шаг 3: найдите середину линии, соединяющие вершины M 012, M 123. Назовите ее M 0123 P 1 M 12 P 2 M 0123 M 123 M 01 M 23 P 0 P 3 42

Построение кривой Bezier n Продолжите процесс до построения гладкой кривой P 1 P 2 P 0 P 3 43

Сравнение - Эрмит Безье 44

n Свойства кривых Безье 1. Гладкая кривая 2. Лежит в выпуклой оболочке 3. Ассиметрично сохраняет форму при перемене порядка вершин в массиве вершин. 4. Аффинно – инвариантна 5. Повторяет опорную ломаную 6. Если точки лежат на одной прямой (горизонтальной| вертикальной), то кривая совпадает с ломаной. 7. Степень функционального многочлена напрямую связана с количеством вершин (на 1 больше) и растет при его увеличении 8. При добавлении хотя бы одной вершины возникает необходимость пересчета параметрического уравнения кривой. 9. Изменение 1 й вершины приводит к заметному изменению кривой Безье. 10. Т. к. поведение кривой Безье определяется нетолько набором вершин, но и параметрическими коэфициентами, их называют весовыми коэффициентами ( параметры формы) 11. Формой кривой Безье можно управлять изменяя весовые коэффициэнты| параметрические формы. 45

Кривая B-Spline n начните с последовательности контрольных точек n выберите четыре из середины последовательности (pi-2, pi-1, pi+1) (Bezier и Hermite проходят между pi-2 and pi+1) n B-Spline не интерполирует (трогает) любую из них, но аппроксимирует прохождение между pi-1 и pi P 1 P 2 P 6 P 3 P 0 P 4 P 5 46

Матрица B-сплайна 47

Кривая B-Spline n Кривая: n n - общее количество контрольных точек n d - порядок кривых, 2 d n+1 n Bk, d - однородные стыковочные функции B-сплайна степени d-1 n Pk - контрольные точки n Каждая Bk, d только отличны от нуля для маленького диапазона значений t, таким образом кривая имеет локальный контроль 48

Кривая B-Spline Однородные стыковочные функции B-сплайна степени d-1 B 0, 4 B 1, 4 B 2, 4 B 3, 4 B 4, 4 B 5, 4 B 6, 4 49

Кривая B-Spline Кривая не может начаться, пока нет 4 активных базисных функций 50

B-Spline n безусловно самый популярный используемый сплайн n C 0, C 1, и C 2 непрерывность 51

Непрерывность • Параметрическая непрерывность (C): – Непрерывность координационных функций • Геометрическая непрерывность (G): – Непрерывность кривой непосредственно • Никакая форма непрерывности не гарантирует другой: – Может быть C 1, но не G 1, когда p (t) приходит в остановку – Может быть G 1, но не C 1, когда вектор тангенса изменяет резко длину 52

n Пример непрерывности B-сплайна P 0 P 2 Первый узел, показанный с 4 контрольными точками, и их выпуклой оболочкой. P 1 P 3 53

n Пример непрерывности B-сплайна P 0 P 2 P 4 Два первых сегмента кривой показанны с их соответствующими выпуклыми оболочками. Центральный узел должен лежать на пересечении 2 выпуклых оболочек. P 1 P 3 54

n Повторение контрольной точки. P 0 P 3 Сначала два сегмента кривой, показанны с их соответствующими выпуклыми оболочками. Узел вынужден лечь на линии, которая присоединяется к 2 выпуклым оболочкам. Кривая - только C 1 непрерывна P 1=P 2 P 4 55

Строенная контрольная Сначала два сегмента кривой, показанны с их точка соответствующими выпуклыми P 0 оболочками. P 4 Обе выпуклые оболочки преобразуются к прямым линиям – вся кривая должен лечь на этих линиях. Кривая - только C 0 непрерывна (Любопытно это - фактически непрерывность C 2, потому что векторная величина тангенса P 1=P 2=P 3 падает к нолю в точке соединении). 56

Cubic B-spline basis 57

Переход от B-сплайна к Безье кривых 58

Пример B-сплайна и Безье кривых Безье В - сплайны 59

Свойства B-сплайна 1) гладкая 2) не проходит ни через 1 точку массива 3) лежит в выпуклой оболочке порождаемой этим массивом 4) повторяет опорную ломаную 5) если опорные точки находятся на прямой, то В – сплайн лежит на этой прямой. 6) если опорные точки лежат в одной плоскости ( компланарные), то составная (В- сплайновая) кривая лежит в этой плоскости. 7) изменение одной из вершин приводит только к изменению части кривой 8) При добавлении 1 вершины возникает необходимость пересчета 1 -х элементов кривых (параметрическое уравнение) 9) Аффинно - инвариантна 10) проективно инвариантна ( проективные преобразования не влияют на форму нашей кривой) 11) существуют весовые коэффициенты 60

Выводы n Каждое из этих представлений оказывается полезным в разных ситуациях. Форма Эрмита пригодна при аппроксимации уже имеющихся поверхностей, когда необходимо добиться как соответствия точек, так и соответствия касательных векторов, в то время как представление в виде В-сплайнов удобно для аппроксимации точек и достижения С(2) –непрерывности. n Формы Безье и В-сплайнов пригодна для работы в интерактивном режиме, так как их геометрические векторы состоят только из точек. Обе эти формы обладают свойством выпуклости оболочки, которое оказывается полезным при изображении кривых. Кривую, первоначально заданную в одной форме, можно преобразовать в другую форму, если записать геометрический вектор первой формы в терминах второй 61