数学建模 —从自然走向理性之路
第 5讲 非线性规划和多目标模型 【主要内容】 介绍非线性规划模型和多目标规划模型的 主要特点和求解。 【主要目的】 了解非线性规划问题和多目标规划问题的 建模与求解，重点在模型的建立与结果的分析 2/43
` 第 5讲 非线性规划和多目标模型 非线性规划模型 (Nonlinear Programming) 建立模型 非线性规划问题：目标函数或约束条件组中有一个 或一个以上是变量的非线性函数。 非线性规划问题的一般描述为： 3/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 非线性规划问题求解 l 非线性规划问题的最优值不一定在可行域的边界达到； l 一般求的是局部最优解，但局部最优解并不一定是全局 最优解 l 迭代法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可 行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。 l 一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划 法等, 或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算 法，蚁群算法等。 4/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 在建模过程中，应该尽量建立线性规划模型而避免 非线性规划模型。 如对于问题 作变换 显然 5/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 且 相应的原非线性规划问题变换为： 6/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 例1 飞行管理问题（CUMCM 95 A) 在高空中一个边长为 160公里的正方形区域内，经 常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和 速度均由计算机记录其数据。当一架欲进入该区域的飞 机到达区域边缘时，要立即计算并判断其是否会与区域 内的飞机碰撞。如果会碰撞，则要计算如何调整各架（ 包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假 定条件如下： l 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； l 每架飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； l 所有飞机飞行速度均为 800公里/小时； 7/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 l 欲进入飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应 在 60公里以上； l 最多需考虑 6架飞机； l 不必考虑飞机离开此区域后 的状况。 请你建立数学模型，对以下数据进 行计算（方向角误差不超过0. 01度），要求飞机飞行方向 角调整的幅度尽量小。 8/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 飞行管理视频 1. wmv 9/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 模型建立与求解 模型一：设第 i 架飞机在调整时的 方向角 为θi , 调整角度为Δ θi （ i ＝ 1，2，…，6）。任意两架 飞机在区域内的t时刻最短距离为dij(θi , θj , t)，那么问题 的非线性规划模型为 目标函数也可以定义为 10/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 我们来简单看一下其复杂程度 （1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi ’= θi + Δ θi （2）计算任意飞机在t时刻两者的距离： 11/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 整理后，距离可写成： 其中： 这样不碰撞约束条件就变为： 12/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 为转化成线性问题，换一个角度看不相撞条件： 13/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 原非线性规划问题转化为 上述模型相比原非线性规划模型，约束条件 进行了极大简化，但仍然难以直接做到线性化。 14/43
![第 5讲 非线性规划和多目标模型 此变量可直接计算得到。由于上述公式中 的取值为 [-π， π]，为了将上述值变换到[0 2π]之间，取 进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成： 15/43](https://present5.com/presentation/dbbe59bd1a27cac7070d7a5cd8d4139d/image-15.jpg "第 5讲 非线性规划和多目标模型 此变量可直接计算得到。由于上述公式中 的取值为 [-π， π]，为了将上述值变换到[0 2π]之间，取 进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成： 15/43")
第 5讲 非线性规划和多目标模型 此变量可直接计算得到。由于上述公式中 的取值为 [-π， π]，为了将上述值变换到[0 2π]之间，取 进一步考虑到角度的周期性，不碰撞的约束条件可写成： 15/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 最终，原非线性规划问题转化为 引入 即 则原问题可转化为线性规划问题。 16/43 16
第 5讲 非线性规划和多目标模型 飞行管理视频 2. wmv 17/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 例2 钢管订购与运输（2000 B） 30 290 S 4 S 3 70 690 520 720 202 1100 20 195 306 5 600 450 3 104 A 1 10 194 80 2 A 2 301 750 A 3 70 42 12 A 4 606 A 5 30 A 15 110 500 62 10 480 S 5 220 300 A 11 420 10 210 A 14 A 13 A 12 S 1~S 7 钢管厂 201 A 8 10 铁路 A 7 火车站 A 6 205 公路 由钢管厂订购钢管，经铁路、公 管道 路运输，铺设一条钢管管道 （沿管道建有公路） 31 680 1150 88 462 S 1 S 6 170 20 20 70 160 690 1200 160 320 S 2 S 7 A 9 18/43 A 10
![第 5讲 非线性规划和多目标模型 问：如何制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小 假设已知每个钢厂Si的订购范围为[500, si] 单位，单位销售价格为pi，并且已知铁路单位 运价为u，公路单位运价为v。并且铺设管道的 每一段长度lj也已知。 进一步假设已经计算得到每个钢厂Si运送 到每个钢管铺设节点Aj的最小费用cij（最短路 算法），当然知道了最小费用也就知道了运送 路线 19/43](https://present5.com/presentation/dbbe59bd1a27cac7070d7a5cd8d4139d/image-19.jpg "第 5讲 非线性规划和多目标模型 问：如何制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小 假设已知每个钢厂Si的订购范围为[500, si] 单位，单位销售价格为pi，并且已知铁路单位 运价为u，公路单位运价为v。并且铺设管道的 每一段长度lj也已知。 进一步假设已经计算得到每个钢厂Si运送 到每个钢管铺设节点Aj的最小费用cij（最短路 算法），当然知道了最小费用也就知道了运送 路线 19/43")
第 5讲 非线性规划和多目标模型 问：如何制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小 假设已知每个钢厂Si的订购范围为[500, si] 单位，单位销售价格为pi，并且已知铁路单位 运价为u，公路单位运价为v。并且铺设管道的 每一段长度lj也已知。 进一步假设已经计算得到每个钢厂Si运送 到每个钢管铺设节点Aj的最小费用cij（最短路 算法），当然知道了最小费用也就知道了运送 路线 19/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 模型建立 设钢厂Si运送到钢管铺设节点Aj的钢管运量为xij，对于每个 钢管铺设节点Aj，其向左向右分别铺设量为yj和zj ，则从Aj向左 向右铺设的公路运输距离分别为 1+ … +yj= yj( yj+1)/2和1+ … +zj= zj( zj+1)/2 二次规划 20/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 引入 0 -1变量 设wi表示钢厂Si是否进入到钢管采购厂商中， 则上述模型可变为 21/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 注记： （1）非线性规划中非线性部分的处理是体现创新的 源头也是问题求解最关键的部分； （2）巧妙的决策变量的设计或充分挖掘问题中隐藏 的约束和条件往往能起到四两拨千斤的作用； （3）充分利用模型特点，制定有针对性的求解方法 能有效缓解非线性所带来的困扰。 22/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 多目标规划问题：存在多个目标函数的带约 束规划问题。往往需要对多个目标进行权衡处理。 多目标规划问题的一般描述为： 23/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 多目标规划问题求解 l 多目标规划问题中多个目标可能存在以下特点： （1）存在优先级； （2）存在冲突和矛盾 （3）量纲不一样 （4）数量级不一样 l 求解多目标规划问题的主要思路是转化为单目标规划问 题。 24/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 多目标转化为单目标方法 （1）评价函数法； （2）功效系数法； （3）约束法； （4）分层序列法； （5）极小极大法。 25/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 评价函数法 基本思想：构造一个关于所有目标F(X)的评价函数， 以此作为目标函数构造单目标规划模型。 （1）线性权和法 （2）均方加权法 其中 为 的下界。 26/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 乘除法：目标函数中存在最大、最小值情况下： 设 为求最小值，而 为求最大值 ，且 设： 定义单目标函数 注意问题：数量级、量纲 27/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 功效系数法 基本思想：对每个目标构造一个功效函数反映逼近 其最优目标的程度以此构造单目标。 设 构造功效函数 定义单目标： 28/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 约束法 基本思想：对多个目标选定一个主要目标，而对其 它目标设定期望值，在要求结果不比期望值小的情况下， 求主要目标的最优值。 29/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 分层序列法 基本思想：将多个目标按重要度排序，逐级构造每 个目标在上级目标达到最优条件下的单目标规划问题序 列，以此直到获得最后一个目标的最优值。 30/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 极小极大法 基本思想：采用悲观主义决策，在最不利的情况下 找出最有利的策略。 定义目标函数： 此方法也存在数量级的问题。 31/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 例3 投资的收益与风险（CUMCM 98 A) 市场上有n种资产（如股票、债券、…） Si(i=1, 2, …, n)供投资者选择。某公司有数额为M的一笔相 当大的资金可用作一个时期内的投资。公司财务分析人员对 这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均 收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投 资越分散，总的风险越小，公司确定：当用这笔资金购买若 干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的风险来度量。 设购买Si所付交易费费率为pi，并且当购买额不超过给 定值ui时，交易费按购买ui计算。另外假定同期银行存款利 率为r 0=5%，且既无交易费又无风险。 32/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 请设计一种投资组合方案（用给定的资金购买若干 种资产或存银行生息），使得净收益尽可能大，而总体 风险尽可能小。 当n=4时 Si S 1 S 2 S 3 S 4 r(%) 28 21 23 25 q(%) 2. 5 1. 5 5. 5 2. 6 33/43 p(%) 1 2 4. 5 6. 5 u(元) 103 198 52 40
第 5讲 非线性规划和多目标模型 模型建立与求解 设购买Si的投资比例为xi，所需的交易费为c(xi) 当然，若存银行的资金比例为x 0，则c 0(x 0)=0，投资净收益 目标为 34/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 由题意，投资风险目标为： 相应的约束为投资所需总资金: 问题为双目标优化 设投资额大于ui，则约束条件可变为: 35/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 目标函数则变为： 模型求解 （1）线性权和法：min: Q(x)+λR(x) λ 0 0. 1 0. 2 >=0. 3 S 1 0 0. 2376 0. 3689 0. 99 S 2 0 0. 3959 0. 6149 0 36/43 S 3 0 0. 1079 0 0 S 4 0 0. 2284 0 0 Bank 1 0 0 0
第 5讲 非线性规划和多目标模型 （2）约束法: 固定风险水平，优化收益 k 0. 005 0. 01 0. 02 >=0. 3 S 1 0. 1999 0. 4 0. 8 0. 99 S 2 0. 333 0. 584 0. 1882 0 37/43 S 3 0. 09 0 0 0 S 4 0. 1923 0 0 0 Bank 0. 1581 0 0 0
第 5讲 非线性规划和多目标模型 （2）约束法: 固定收益水平，最小化风险 k 0. 05 0. 1 0. 2 >0. 3 S 1 0 0. 0783 0. 2350 - S 2 0 0. 1306 0. 3917 38/43 S 3 0 0. 0356 0. 1068 - S 4 0 0. 0753 0. 2259 - Bank 1 0. 6702 0. 0107 -
第 5讲 非线性规划和多目标模型 （3）分层序列法: 目标优先原则 l风险-利润: 不考虑利润，最小风险为 0 l风险-利润：不考虑利润，最小风险控制在 0 -0. 05 l利润-风险：不考虑风险，最大利润 0. 2673267 l利润-风险：不考虑风险，最大利润控制在 0. 2 -0. 27 优先 风险优先2 利润优 先 利润优先2 S 1 0 1 1 0. 23 S 2 0 0. 39 39/43 S 3 0 0. 11 S 4 0 0. 22 Bank 1 0 0 0. 01
第 5讲 非线性规划和多目标模型 （4）功效系数法 l风险最小风险为 0, 最大为 0. 053 l利润最小为 0. 05，最大为 0. 267 构造目标函数: S 1 0. 37 S 2 0. 62 S 3 0 40/43 S 4 0 Bank 0
第 5讲 非线性规划和多目标模型 作业题 5. 1 ： 某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A, B, C。 三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产 1台 A, B, C型号的笔记本电脑分别需要5, 8, 12小时。公司装 配线正常的生产时间是每月1700小时。公司营业部门 估计A, B, C三种笔记本电脑的利润分别是每台 1000, 1440, 2520元，而公司预测这个月生产的笔记本 电脑能够全部售出。 公司经理考虑以下目标与约束： 第一：充分利用正常的生产能力，避免开 不足； 41/43
第 5讲 非线性规划和多目标模型 第二：优先满足老客户的需求，A, B, C三种型号的电脑 50, 80台，同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因 子； 第三：限制装配线加班时间，不允许超过200小时； 第四：满足各种型号电脑的销售目标, A, B, C型号分别为 100, 120, 100台, 再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因 子； 第五：装配线的加班时间尽可能少。 请列出相应的目标规划模型并求解。 42/43
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