《 数学实验》4 符号变量与符号表达式 微积分基本运算 级数求和与泰勒展开式 常微分方程符号解
符号变量的定义 syms 符号变量 1 符号变量 2 … 例1. 将函数f= ye – x和 y =sin (x) 进行复合, 并指定t 为新的自变量. syms x y t; f=y*exp(-x); g=sin(x); compose(f, g, y, x, t) ans=sin(t)*exp(-t) 例2. 转换数值变量为符号变量 B = A=[1/3, 1/4; 1/5, 1/7] [ 1/3, 1/4] B=sym(A) [ 1/5, 1/7] 2/22
符号表达式的创建 ①f=sym('表达式'） 例如： f=sym('a*x^2+b*x+c') ②syms 符号变量 1 符号变量 2 … f=表达式 例3：求f=1/sin(x)的反函数. f=sym(‘ 1/sin(x)’); finverse(f) ans= asin(1/x) h 1=3*x^2+4*x-12 例4. 符号多项式运算 h 2 = 2*x^4+5*x^3 syms x 16*x^2 -26*x+35 f=2*x^2+3*x-5; g=x^2+x-7; ans =(x-1)*(2*x+5)* h 1 = f+g, h 2 = expand(f*g ) 3/22 (x^2+x-7)
符号表达式中变量替换 A 1=subs(A, ‘old’, ‘new’)修改表达式 用‘new’置换符号表达式A中的’old’ 得到新的 符号表达式A 1。 例5. 求符号多项式的值 syms a x f 1 = f=a*x^2+3*x+4； 2*x^2+3*x+4 ans = 69 f 1=subs(f, a, 2) subs(f 1, x, 5) 4/22
![将符号矩阵转化为数值矩阵 调用格式：double(A) numeric(A) 例6. A=sym([1/3, 2/5; 10/7, 2/5]) numeric(A) A= [ 1/3, 2/5] [](https://present5.com/presentation/85814fc3c730c64054a9d8419b39386a/image-5.jpg "将符号矩阵转化为数值矩阵 调用格式：double(A) numeric(A) 例6. A=sym([1/3, 2/5; 10/7, 2/5]) numeric(A) A= [ 1/3, 2/5] [")
将符号矩阵转化为数值矩阵 调用格式：double(A) numeric(A) 例6. A=sym([1/3, 2/5; 10/7, 2/5]) numeric(A) A= [ 1/3, 2/5] [ 10/7, 2/5] ans = 0. 3333 2. 5000 1. 4286 0. 4000 5/22
复杂表达式的化简 syms x y z a b c f=(x+y)*(a+b^c)^z/(x+a)^2 pretty(f) 常用化简命令: 1. 降幂排列: collect(P, x); 2. 展开: expand(P); 3. 重叠: horner(P); 4. 因式分解: factor(P); 5. 化简: simplify(P) 6/22
微积分基本运算 Ølimit(f, x, a) —求f表达式在x->a时的极限 Ølimit(f, x, a, ’right(left)’) —求单侧极限 Ødiff(f) — 对缺省变量求微分 Ødiff(f, v) — 对指定变量v求微分, 适用对多元 函数求偏导数 Ødiff(f, v, n) —对指定变量v求n阶微分 7/22
Øint(f) — 对f表达式的缺省变量求积分 Øint(f, v) — 对f表达式的v变量求积分 Øint(f, v, a, b) — 对f表达式的v变量在（a, b)区间求 定积分 Øquad(f, v, a, b) — 对f表达式的v变量在（a, b)区间 求数值积分 例7. 求极限 syms x; ans=1/4 limit((x-2)/(x^2 -4), 2) 8/22
![例8. 验证 对k=1, 2, 3, 4成立 [diff(sin(x), 1), sin(x+pi/2)] ans =[ cos(x), cos(x)] [diff(sin(x),](https://present5.com/presentation/85814fc3c730c64054a9d8419b39386a/image-9.jpg "例8. 验证 对k=1, 2, 3, 4成立 [diff(sin(x), 1), sin(x+pi/2)] ans =[ cos(x), cos(x)] [diff(sin(x),")
例8. 验证 对k=1, 2, 3, 4成立 [diff(sin(x), 1), sin(x+pi/2)] ans =[ cos(x), cos(x)] [diff(sin(x), 2), sin(x+pi)] ans =[ -sin(x), -sin(x)] [diff(sin(x), 3), sin(x+3*pi/2)] ans = [ -cos(x), -cos(x)] [diff(sin(x), 4), sin(x+2*pi)] ans =[ sin(x), sin(x)] 9/22
例9. 计算 f = 1/(5+4 cos(x)) 关于x的导数 syms x f=1/(5+4*cos(x)) ezplot(f) f 1=diff(f, x, 1) ezplot(f 1) int(f 1) ans = 1/(5+4*cos(x)) 10/22
例10. 计算不定积分 syms x int('exp(a*x)*sin(b*x)') g=simplify(ans) g= exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x))/(a^2+b^2) diff(g) f=simplify(ans) f = exp(a*x)*sin(b*x) 11/22
![例11. 绘函数 (a = 1, b = 3 )在 [0, 3. 2]上的图形. 并计算 syms](https://present5.com/presentation/85814fc3c730c64054a9d8419b39386a/image-12.jpg "例11. 绘函数 (a = 1, b = 3 )在 [0, 3. 2]上的图形. 并计算 syms")
例11. 绘函数 (a = 1, b = 3 )在 [0, 3. 2]上的图形. 并计算 syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x) f 1=subs(f, a, 1), f 1=subs(f 1, b, 3) ezplot(f 1, 0, 3. 22) F 1=simplify(int(f 1, 1, 2)) double( F 1 ) ans = -3. 1806 12/22
例12. 计算定积分: f=inline('exp(x). *sin(3*x)') quad(f, 1, 2) ans = -3. 1806 13/22
![例13. 求函数 的渐近线、 极值、拐点，并作图. syms x n=3*x^2+6*x-1； d=x^2+x-3; f=n/d; limit(f, inf) ans=3 roots=solve(d) roots=[-1/2+1/2*13^(1/2)]](https://present5.com/presentation/85814fc3c730c64054a9d8419b39386a/image-14.jpg "例13. 求函数 的渐近线、 极值、拐点，并作图. syms x n=3*x^2+6*x-1； d=x^2+x-3; f=n/d; limit(f, inf) ans=3 roots=solve(d) roots=[-1/2+1/2*13^(1/2)]")
例13. 求函数 的渐近线、 极值、拐点，并作图. syms x n=3*x^2+6*x-1； d=x^2+x-3; f=n/d; limit(f, inf) ans=3 roots=solve(d) roots=[-1/2+1/2*13^(1/2)] [-1/2*13^(1/2)] 14/22
![ezplot(f) hold on plot([-2*pi], [3 3], ’g’) plot(double(roots(1))*[1 1], [-5 10], ’r’) plot(double(roots(2))*[1 1],](https://present5.com/presentation/85814fc3c730c64054a9d8419b39386a/image-15.jpg "ezplot(f) hold on plot([-2*pi], [3 3], ’g’) plot(double(roots(1))*[1 1], [-5 10], ’r’) plot(double(roots(2))*[1 1],")
ezplot(f) hold on plot([-2*pi], [3 3], ’g’) plot(double(roots(1))*[1 1], [-5 10], ’r’) plot(double(roots(2))*[1 1], [-5 10], ’r’) title(‘水平渐近线和垂直渐近线’) hold off 15/22
![f 1=diff(f); c=solve(f 1) ans= [-8/3 -1/3*13^(1/2)] [-8/3+1/3*13^(1/2)] ezplot(f) hold on plot(double(c), double(subs(f, c)),](https://present5.com/presentation/85814fc3c730c64054a9d8419b39386a/image-16.jpg "f 1=diff(f); c=solve(f 1) ans= [-8/3 -1/3*13^(1/2)] [-8/3+1/3*13^(1/2)] ezplot(f) hold on plot(double(c), double(subs(f, c)),")
f 1=diff(f); c=solve(f 1) ans= [-8/3 -1/3*13^(1/2)] [-8/3+1/3*13^(1/2)] ezplot(f) hold on plot(double(c), double(subs(f, c)), ’ro’) title(‘函数的极大值和极小值’) text(-5. 5, 3. 2, ’局部极小值’) text(-2. 5, 2, ’局部极大值’) hold off 16/22
f 2=diff(f 1); q=solve(f 2); double(q) ans=-5. 2635 -1. 3682 -0. 8511 i -1. 3682+0. 8511 i q=q(1); ezplot(f, [-9 6]) hold on plot(double(q), double(subs(f, q)), ’ro’) title(‘函数的拐点’) text(-7, 2, ’拐点’) hold off 17/22
级数求和运算 S=symsum(f，n，a，b) 例14. 计算级数 syms k n S=symsum(k, k, 1, n)；S 1=simple(S) S 1 =1/2*n*(n+1) S=symsum(k^2, k, 1, n); S 2=simple(S) S 2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1) 18/22
泰勒级数展开 taylor(f, n, x) —将函数f在原点展开为自变量x的 n-1次麦克劳林多项式. taylor(f, n, x, a) —将函数f在a点展开为自变量x 的n-1次泰勒多项式. 其结果为 : 19/22
例15. 将函数 展开为 7次麦克劳林多 项式. syms x f=1/(5+4*cos(x)) T=taylor(f, 8) ans= 1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6 20/22
微分方程符号解 命令格式：dsolve(‘eq 1’, ···, ’con 1’, ···, ’x’) y的一阶导数—— Dy, y的二阶导数—— D 2 y y = dsolve('Dy=1/(1+x^2)-2*y^2', 'y(0) = 0', 'x') y= 2*x/(2*x^2+2) 符号解： y(x)= x / (1 + x 2) 21/22
例16 P’ =0. 02 P ( 1 – P/500 ) 初始条件: P(0)=76 syms P t P=dsolve('DP=0. 02*P*(1 -P/500)', 'P(0)=76') P = 500/(1+106/19*exp(-1/50*t)) ezplot(P, 0, 200), pretty(P) 500 ----------106 1 + --- exp(- 1/50 t) 19 22/22
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