ωС УПЧ См ωПР ωГ Гет ФНЧ ЧД

ωС УПЧ См ωПР ωГ Гет ФНЧ ЧД Радиоавтоматика Курс лекций x(t) ± К β 2/16/2018 Специальность - 2010302 (2007) Лектор - к. т. н. , доцент, “Радиотехника” Юминов О. Б. 1

Список литературы Литература 1. Г. Ф Коновалов, “Радиоавтоматика” , М. , Выcш. шк. , 2002 г. 2. В. С. Первачёв, “Радиоавтоматика” , М. , Радио и связь, 1982 г. 3. Радиоавтоматика/ Под ред. В. А Бессекерского -М. : ВШ, 1985 г. 4. Е. П. Попов “ Теория линейных систем автоматического регулирования и управления” М. , Наука 1987 г. 5. Теория автоматического управления: Учебник. В 2 -х частях / Под ред. А. А. Воронова. -М. : Высш. шк. , 1986. -Ч. 1. - 367 с. 6. Теория автоматического управления / Под ред. Нетушила А. В. , Часть 1. -М. : Высш. шк. , 1968. 7. Филлипс, Р. Харбор. “Системы управления с обратной связью”, -М. : Лаборатория базовых знаний, 2001, - 367 с. ------------1. Сборник задач по теории авторегулирования и управления / Под ред. В. А Бессекерского -М. : Наука, 1978 г. 2. Топчев Ю. И. , Цыпляков А. Н. “Задачник по теории автоматического 2 регулирования”, -М. : Наука, 1987.

Список литературы § Основные определения. Управление - относится к математической теории управления движением (работой) технических, организационно-экономических и социальных систем. Создать такое управление не очень сложно и это можно сделать интуитивно. Однако создать оптимальное управление чрезвычайно сложно. Теория оптимизации - это наука о наилучших алгоритмах (управления) созданных по некоторому критерию качества. Критерий качества - создание некоторой функции риска ( может даже абстрактной), которая должна быть в процессе оптимизации минимизирована. Управление бывает: Оптимальное - на бумаге (расчетное); Квазиоптимальное - реальное, стремится к идеальному. Автоматика - наука изучающая теорию анализа и синтеза систем управления (корректировка движения, оптимизация переходных процессов и т. д. ) и создание оптимального управления. Радиоавтоматика - наука, изучающая вопросы управления 3 движением (работой) радиотехнических систем.

Основные определения Управление - прежде всего процесс воздействия управляющего органа (регулятора) на объект управления. Чтобы управляющее воздействия u(t) могло направлять поведение объекта на достижение поставленной цели, оно должно соответствовать 3 основным требованиям. Эти требования отражают основные свойства систем управления: 1. Оперативность – способность своевременно исправлять или направлять ход воздействия; 2. Обоснованность – способность находить нужное (правильное) воздействие, выбор которого подтверждается фактами или серьезными доводами; 3. Категоричность – способность передавать воздействие на ОУ в ясной, не допускающей иных толкований форме. К системам управления предъявляются также дополнительные (не менее важные) требования: 4. Простота и удобство использования. Подразумевается простота общения с системой управления и ориентация системы на пользователя с тем, что бы минимизировать сроки обучения пользованию; 4

Основные определения, требования 5. Возможность модернизации. Отсутствие этой возможности делает систему консервативной и экономически непригодной к эксплуатации в условиях постоянно меняющейся обстановке; 6. Живучесть – предусматривает работоспособность системы (может быть с несколько худшим качеством управления) при внешних аварийных воздействиях на систему. Это требование шире чем понятие “надежность” системы. Поскольку кроме высокой надежности в системе должно быть предусмотрена возможность быстрого диагностирования места повреждения и быстрой замены поврежденного узла. 7. Экономичность системы. 5

Методы анализа и синтеза § Методы анализа и синтеза. Первоначально системы РА начали применяться в начале 30 -х годов прошлого столетия в системах АРУ в приемниках. Дальнейшее развитие РТУ, непрерывное усложнение решаемых задач привело к их функциональному усложнению. Поэтому сейчас широко используются не только аналоговые системы РА, но и цифровые, построенные на базе современной микропроцессорной техники. Существует 2 группы методов анализа и проектирования современных систем РА: 1. Методы использующие преобразования Лапласа, Фурье и Z преобразования (как непрерывное, так и дискретное); 2. Методы использующие понятие пространства состояния. Применение методов второй группы требует большого объема сложных вычислений, поэтому, в настоящее время, большую роль играют методы моделирования. 6

Методы анализа и синтеза регулятор (РЕГ) x(t) e ± УУ u(t) z(t) ОУ g(t) у(t) Д у. ИЗМ(t) Рис. 1 Типовая схема системы управл-я. Измеритель рассогласования Задающее воздействие [или входное воздействие х(t)] воздействие на систему, определяющее требуемый закон изменения регулируемой величины y(t). Управляющее воздействие [u(t)] - воздействие управляющего устройства (регулятора) на объект управления. Возмущающее воздействие [z(t)] - воздействие, стремящееся нарушить требуемую функциональную связь между задающим воздействием и регулируемой величиной. ОУ работает в условиях изменения параметров окружающей среды (Т 0 С, давление, изменение UПИТАНИЯ , и т. д. ). Этот факт учитывается введением случайного сигнала z(t). Ошибка управления [ е(t) = х(t) – у(t)] - разность между предписанным [х(t)] и действительным [у(t)] значениями регулируемой 7 величины.

Методы анализа и синтеза Устройство управления (УУ) - комплекс устройств обеспечивающих автоматическое поддержание заданного значения регулируемой величины y(t) или автоматическое изменение её по определенному закону. Объект управления (ОУ) - некоторая динамическая система, которая описывается линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями высокого порядка. Примеры ОУ. 1. В системах ФАПЧ, ОУ является генератор, частота колебаний которого [это вых. cигнал y(t)] автоматически поддерживается на определенном значении. 2. В системах сопровождения цели РЛС, ОУ является электромеханическое устройство поворота антенны. Датчик (Д) – измеряет выходной сигнал y(t). Измерения всегда связаны с ошибками (погрешностями) измерения g(t). Различают два принципа формирования сигнала управления u(t): - разомкнутый, где u(t)=F(x) – зависит только от входного сигнала х(t); - замкнутый, где u(t)=F(x, y). 8 Функция F называется алгоритмом или законом управления.

Система АРУ В современных радиотехнических устройствах (РТУ) различного применения и системах радиоуправления широко используются системы радиоавтоматики (РА). 1. 2. 3. 4. 5. К их числу относятся: Устройства автоматической регулировки усиления (АРУ); Устройства фазовой и частотной автоподстройки (ФПЧ, АПЧ); Системы измерения координат движущихся целей; Измерители дальности; Различные следящие фильтры. § Система АРУ. UВХ(t) UВЫХ(t) УР Детек UY UД UФ ФНЧ УПТ UС а - UЗ Рис. 2 Структурная схема системы АРУ. UЗ – напряжение задержки. UC – суммарное напряжение. UУ – управляющее напряжение. УР – усилитель с регулируемым коэфф. усиления. + Варианты в - y(t)=а-в исполнения сумматороввычитателей. 9

Система АРУ предназначена для стабилизации уровня сигнала на выходе усилителей при большом диапазоне изменения входного сигнала (UВХ изменяется в диапазоне 0 ÷ 100 дб). UВЫХ(t) реальная идеальная UЗ Рис. 3 Регулировочные характеристики. UВХ(t) I. Зависимость КУ от управляющего напряжения UУ называется регулировочной характеристикой. К(UУ)= К 0 - α ∙ UУ где, (1) α – крутизна регулировочной характеристики, К 0 - КУ при UУ=0. Эффект стабилизации достигается за счет того, что с ↑ уровня сигнала UВЫХ(t), увеличивается и UУ , под действием которого в соответствии с (1) происходит ↓ КУ основного усилителя УР. 10

Система АРУ II. Для того, чтобы не снижать КУ при слабых UВХ сигналах вводят UЗ. В результате UУ появится только тогда, когда UД > UЗ. UФ=(UВЫХ ∙ КД – UЗ) , если UД =UВЫХ(t) ∙ КД > UЗ UФ = 0 , если UД < U З где, (2) КД - коэфф. передачи детектора. III. UУ на выходе ФНЧ определяется T ∙ U’У +UУ =UФ (3) --------------------------------------Вывод (3) на примере RC-цепи (ФНЧ). UВХ R UВЫХ J С -------------------------------------Напряжение на выходе АРУ определяется UВЫХ = К(UУ) ∙ UВХ= (К 0 - α ∙ UУ) ∙ UВХ (4) 11

Система АРУ Если в уравнениях (2)-(4) заменить соответствующие блоки на коэфф. передачи , то уравнениям соответствует структурная схема. UВЫХ(t) K 0 UВХ(t) КД α Усилитель УР уравнение (4) UУ КФНЧ UФ КУПТ UС КНЗ UД UЗ Нелинейное звено НЗ определяется зависимостью UД – UЗ = UД - UЗ , если UД > UЗ 0 , если UД < UЗ Отсюда, в установившемся режиме UВЫХ = 12

Система АРУ Усилитель УР с коэфф. передачи К(UУ) можно реализовать схемой на рис. 4. С ростом UУ , напряжение на базе согласно рис. 5 R 1 ↓. ток JK ↑, КУ -EК RК β 80 UВХ UВЫХ UУ RЭ 40 10 20 30 40 СЭ Рис. 4 RC- усилитель с регулируемым КУ. x(t) ↑, ± К β JЭ (m. A) Рис. 5 Зависимости β от JЭ. y(t) Рис. 6 Схема УС с ОС. 13

Система АПЧ § Система АПЧ. UС ωС СМ УПЧ КУПЧ U Г ωГ КГ Гет UПР ωПР ЧД КЧД ФНЧ КФНЧ UЧД=КЧД ∙ ωПР Рис. 6 Система АПЧ. ЧД – частотный дискриминатор. Гет – гетеродин, управляемый генератор. СМ – смеситель. УПЧ – усилитель промежут. частоты. UЧД=КЧД ∙ ΔωПР На выходе ЧД возникает напряжение, величина и знак которого зависят от знака отклонения промежуточной частоты ωПР от частоты входного сигнала ωС. ΔωПР = ΔωС - ΔωГ ωПР = ωС - ωГ , Основные соотношения для АПЧ. (5) ωС = ωС 0 + ΔωС – частота входного сигнала. ωГ = ωГ 0 + ΔωГ – частота гетеродина. 14

Система АПЧ Зависимость UЧД = F ( ΔωПР) называется дискриминационной хар-кой. При малых ΔωПР харак-ка F прямолинейна и UЧД = КЧД ∙ ΔωПР (6) Пусть КФНЧ=1 для простоты расчетов, тогда (7) С другой стороны, (6) Из (5) Отсюда (7) ΔωГ = КГ ∙ UЧД. ΔωГ = КГ ∙ КЧД ∙ ΔωПР (8) ΔωГ = ΔωС - ΔωПР (9) ΔωС - ΔωПР = КГ ∙ КЧД ∙ ΔωПР и Коэффициент передачи является одной из основных характеристик системы АПЧ. Его знание во многом определяет точность стабилизации промежуточной частоты. Зная допустимую ошибку ΔωПР и максимальной отклонение ΔωС можно определить необходимый коэфф. передачи системы АПЧ. 15

Система АПЧ ΔωС ΔωПР δωПР - Помехи- флуктационная составляющая F(Δω) ФНЧ ЧД нестабильность частоты гетеродина Гет ΔωГ Рис. 7 Тр ωПР а Структура система АПЧ через отклонения частот. UЧД=U 1 -U 2 б U 1 U 2 Рис. 8 U 1 + + - ωС - ωГ U 2 ω0 ωПР ωС+ ωГ Схема ЧД и его дискриминационная хар-ка UЧД (ΔωПР). а – избирательная линейная цепь (параллельный LC-контур); б – амплитудный детектор. 16

Фундаментальные принципы управления § Фундаментальные принципы управления. Зная, статические и динамические свойства системы автоматического управления (САУ), можно построить математическую модель системы и найти такой алгоритм управления (АУ), который бы обеспечивал заданный алгоритм функционирования (АФ) при известных (заданных) воздействиях. Однако модель всегда приближенно выражает свойства оригинала, а возмущающие воздействия могут изменяться неизвестным заранее образом. Поэтому и при найденном АУ фактическое поведение системы будет отличаться от желаемого, определяемого АФ. Чтобы приблизить желаемое поведение к реальному, АУ системой нужно увязать не только со свойствами системы и идеальным АФ, но и с фактическим функционированием системы. В основе построения всех САУ лежат общие фундаментальные принципы управления, определяющие, каким образом осуществляется увязка АФ и АУ с причинами, вызывающими отклонение функционирования от заданного. В настоящее время известно и используют 3 фундаментальных принципа: - принципы разомкнутого управления; - принцип компенсации (управления по возмущению); 17 - принцип обратной связи. (регулирование по отклонению).

Принцип разомкнутого управления § Принцип разомкнутого управления. Рис. 1 Z Х 0 2 U Х 3 Структурная схема принципа разомкнутого управления. 1 – задатчик программы. 2 – управляющее устройство. 3 – объект управления. Сущность принципа состоит в том, что АУ (U) вырабатывается только на основе заданного АФ (Х 0) и не контролируется другими факторами – возмущениями (Z) или выходным сигналом (Х). Блок схема имеет вид разомкнутой цепочки, в которой основное воздействие Х 0 передаётся так, как показано стрелками. Это и дало основу для названия принципа. Близость Х к Х 0 в разомкнутых системах обеспечивается только конструкцией и подбором физических закономерностей, действующих во всех элементах. Несмотря на очевидные недостатки (не высокая точность), этот принцип используют очень широко. Элементы, представляемые разомкнутой цепью, входят в состав любой системы, поэтому принцип представляется настолько простым, что его не всегда выделяют, как один из фундаментальных принципов. 18

Принцип разомкнутого управления Примеры на принцип разомкнутого управления. 1. Операции включения, отключения и переключения, которые выполняют с помощью различных логических элементов (элементами «и» , «не» , «или» и др. , а также выключателями и реле). Причем каждый из которых может представлять собой элемент с управлением по разомкнутой цепи. 2. Различные устройства приводимые в движение двигателем с профилированным кулачковым механизм ( например: музыкальная шкатулка или станок, где осуществляется перемещение рабочего инструмента по заданному контуру ). 3. Линейные преобразователи. – преобразователи осуществляющие пропорциональное преобразование одной физической величины в другую; – преобразователи имеющие на входе и на выходе одну и ту же физическую величину, но с различными значениями её количественных показателей (например- усилители). – нелинейные функциональные преобразователи. 4. Счётно-решающие элементы, выполняющие операции дифференцирования, интегрирования и т. д. 19

Принцип компенсации § Принцип компенсации, управление по возмущению. Z 4 1 Х 0 U 2 2 U 1 U Рис. 2 Х 3 Структурная схема принципа компенсации. 1, 2, 3 – аналогично рис. 1. 4 – измерительное (для возмущения) устройство. X=F(U, Z) – выходной сигнал. Сущность принципа. Если возмущающее воздействие Z настолько велико, что разомкнутая цепь не обеспечивает требуемой точности выполнения АФ, то для её повышения иногда возможно, измерив возмущение, ввести коррективы в АУ, которые бы компенсировали действия возмущения. Примеры на принцип компенсации. 1. Из физики. коэффициентами обеспечивающая температуры. Биметаллическая система стержней с разными теплового расширения в маятнике хронометра, постоянство длины маятника при колебаниях 20

Принцип компенсации 2. Генератор постоянного тока (ЕГ – const при изменениях JН). Если э. д. с. генератора ЕГ=k. ФВ линейно зависит от потока возбуждения ФВ, т. е. пропорционально JН, то для поддержания ЕГ – const надо изменять э. д. с. генератора в функции тока нагрузки по закону ЕГ=k∙JН∙RН+U 0. Такое изменение осуществляют с помощью дополнительной компаундной обмотки (КО), по которой проходит ток JН, равный или пропорциональный току якоря. С помощью КО, выбирая коэффициент пропорциональности k при JН, можно: - ↓ статизм характеристики ( ↓ ΔЕГ при - сделать статизм =0 (ЕГ – const при ↑ ↑ JН); - изменить знак статизма (статизм характеристики при ↑ ↑, при этом ЕГ JН – т. н. перекомпенсация). ФВ Рис. 3 Ген ОВ ЕГ JН Генератор с КО. КО – компаундная обмотка. ОВ – обмотка возбуждения генератора. КО 21 ↑

Принцип обратной связи Плюсы принципа – повышенная точность. Минусы –компенсация достигается только по измеряемым параметрам (или где это технически или экономически целесообразно). Например - на рис. 3, не компенсируется влияние Т 0 С, скорости приводного двигателя и ряда других факторов вследствие чего ошибку нельзя свести к нулю даже при идеальном компаундировании. § Принцип обратной связи, регулирование по отклонению. Сущность принципа. Систему можно построить и так, чтобы точность выполнения АФ обеспечивалась и без измерения возмущений. На рис. 4, показана схема, в которой коррективы в АУ вносятся по отклонениям ΔX=Х 0 -Х. Для этого в конструкцию схемы вводят дополнительную связь 4, в которую могут входить элементы для измерения, преобразования и для выработки корректирующих воздействий на управляющее устройство. Рис. 4 Z 1 Х 0 ΔХ 2 4 U 3 Х Структурная схема принципа ОС. 1, 2, 3 – аналогично рис. 1. 4 – измерительное устройство. ΔX=Х 0 -Х – ошибка управления (отклонение). Х 0 – определяется АФ. 22

Принцип обратной связи Алгоритмы получения управляющего воздействия U. Функция F должна быть неубывающей функцией ΔХ и одного с ней знака. Управление в функции отклонения ΔХ при упомянутых требованиях к функции F называют регулированием. Объект управления ОУ и регулятор РЕГ (рис. 1) образуют замкнутую систему, называемую системой автоматического регулирования (САР или САУ). Обратную связь, образуемую РЕГ, называют главной обратной связью. Кроме неё внутри регулятора могут быть и другие местные обратные связи. Пример использования принципа ОС показан на рис. 5. Принцип работы. С ДН снимается напряжение k∙ЕГ, пропорциональное выходному (регулируемому) напряжению ЕГ. ФВ РЕО ОВ ДВ ДН Ген ЕГ k ∙ ЕГ Ус Е 0 ΔХ=E 0 -k. ЕГ Рис. 5 ДВ – Ус – ДН E 0 - Генератор с ДН. двигатель для регулировки ФВ. усилитель двигателя. делитель выходного напряжения. опора, задатчик АФ = Х 0. РЕО - реостат. 23

Принцип обратной связи Оно сравнивается с напряжением Е 0 эталонной батареи. Разность ΔХ = Е 0 – k. ЕГ подается на вход усилителя Ус, к выходу которого подключен двигатель. ДВ приводит в движение регулирующий орган – реостат, включенный в цепь обмотки возбуждения генератора. При увеличении ЕГ сверх заданной величины ДВ переместит ползунок РЕО так, чтобы сопротивление РЕО увеличилось и напряжение, подводимое к ОВ, уменьшилось. Следствием будет уменьшение ЕГ. Если мощность сигнала ΔХ недостаточно для непосредственного управления ДВ, то используется усилитель УС. Такие системы называют системами непрямого регулирования. В маломощных системах можно применить прямое регулирование, управляя исполнительным органом непосредственно от сигнала ошибки. В ряде случаев эффективно применение комбинационного регулирования по возмущению и отклонению (рис. 5. 1). Z 4 1 Х 0 U 2 ΔХ 2 5 U 1 U Х 3 Рис. 5. 1 Структурная схема комбинированного метода. X=F(ΔХ, Z). 24

Стабилизация § Основные алгоритмы функционирования. На первом этапе развития САУ использовался практически лишь один алгоритм функционирования – регулируемая величина- const. Долгое время под САУ понимался именно этот вид. Впоследствии число видов алгоритмов увеличилось до основных шести видов. В будущем возможные виды будут расширены. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Стабилизация. Программное управление. Следящие системы. Системы с поиском экстремума показателя качества. Оптимальные системы. Адаптивные системы. Стабилизация. Системами стабилизации называют системы поддержания постоянства управляемой величины. АФ в них имеет вид Х 0(t) = const. Пример системы автоматической стабилизации напряжения генератора приведен на рис. 5 (используется принцип ОС). Если в этой схеме изъять цепочку: ДН – Ус – ДВ, то получим систему стабилизации, действующую по разомкнутому принципу. В ряде случаев где не требуется высокой точности стабилизации, 25 такие разомкнутые схемы используются достаточно широко.

Стабилизация Важная особенность систем регулирования по отклонению: если в них использовать РЕГ, состоящий только из элементов, осуществляющих обычные аналитические преобразования, то регулирование по отклонению может уменьшить, но не устранить ошибку. Для схемы (рис. 4) с простейшими линейными преобразовательными звеньями уравнения статики имеют вид: где k 0, k. P, k. Z – коэфф. передачи соответственно ОУ, РЕГ, нагрузки. Откуда Т. е. значение регулируемой величины Х зависит от нагрузки Z, уменьшаясь с ее ростом. Регулирование, в котором величина установившейся ошибки при постоянном заданном значении Х 0 зависит от величины нагрузки Z, называют статическим. Установившаяся статическая ошибка ΔХ в этом случае имеет вид 26

Стабилизация Выражение (1) громоздко и для оценки степени зависимости ΔХ от нагрузки Z переходят к уравнениям, связывающим относительные безразмерные отклонения. Х а) ХMAX ХMIN Х б) ZНОМ Z В (2) ΔХ и ΔZ отнесены к базовым значениям, соответствующим номинальной нагрузке Z. • Статизм δ равен относительной крутизне регулировочной характеристики. • Статизм – это величина относительной статической ошибки при изменении нагрузки от холост. хода до номинальной. Рис. 6 Регулировочные характеристики. а – статический РЕГ. б – идеальный астатический РЕГ. Х 0 ZНОМ Z 27

Стабилизация • В системах , где статическая ошибка нежелательна, переходят к астатическому регулированию, в котором она (ошибка) в силу структуры системы равна нулю. • Регулировочная характеристика идеального астатического РЕГ представляет собой прямую линию, параллельную оси нагрузки (рис. 6 в). Вследствие неточности РЕГ регулируемая величина Х может принимать любое значение внутри некоторой зоны (на рис. 6 заштрихована), но ошибка при этом не будет зависеть от нагрузки. • Для получения астатического регулирования в РЕГ нужно устранить жесткую зависимость между положением регулирующего органа и значением регулируемой величины, с тем чтобы одно и то же значение Х можно было поддерживать при любой нагрузке Z. • Для этого в цепь регулирования вводят астатическое звено. Примерами астатических звеньев являются интегрирующие и дифференцирующие звенья. Двигатель ДВ (рис. 5) перемещающий ползунок РЕО, - также является астатическим звеном, а изображенная система есть система 28 астатического регулирования.

Программное управление 2. Программное управление. При программном управлении АФ задан. Т. о. все схемы где есть Х 0(t) и звено 1, представляющий собой датчик программы, относятся к системам программного управления. Программное управление может быть осуществлено по любому из 3 -х фундаментальных принципов или с помощью их комбинаций. В практике используют два вида систем программного управления: 1) системы с временной программой; 2) системы с пространственной программой. • В системах первого вида звено 1 вырабатывает непосредственно функцию Х 0(t). Примерами могут служить устройства, в которых движение исполнительных механизмов осуществляется на основе функциональных преобразователей [профилированные кулачки, реостаты и т. п. – это всё Х 0(t) ]. К таким устройствам относят устройства для изменения Т 0 С закалочных печей, заводные игрушки, магнитофоны и т. д. • Системы второго вида используют в программном управлении станками ЧПУ. В них движение исполнительного инструмента осуществляется по заданной в пространстве траектории, закон же движения по траектории во времени мало существенен и может быть 29 произвольным.

Следящие системы Пример системы с программным управлением второго вида показан на рис. 7. Подача по оси Х происходит равномерно, подача по оси У задается профилем шаблона. Инструмент Ф повторяет движение копировального пальца П. Рис. 7 Копировальный станок П – копировальный палец. Ф – исполнительный инструмент. 1 – задатчик программы Х 0(t)- шаблон. 2 – система управления копиром. 3 – ОУ- копировальный станок. 3. Следящие системы. В следящих системах АФ заранее неизвестен. Обычно регулируемая величина в таких системах должна воспроизводить изменение некоторого внешнего фактора, следить за ним. Так , автоматически управляемое зенитное орудие должно 30 поворачиваться, следя за полетом цели.

Следящие системы Следящая система может быть выполнена в соответствии с любым фундаментальным принципом управления, и будет отличаться от соответствующей системы программного управления тем, что вместо датчика программы Х 0(t) в ней будет помещено устройство слежения за изменением внешнего фактора. Пример следящей системы на рис. 8 - упрощенная схема обработки угла. Регулируемой величиной является угол поворота ВЫХ управляемого объекта ОУ. Входное воздействие подается на сельсиндатчик (СД) в виде угла поворота ВХ его ротора. ОУ ВЫХ УС СД ДВ СП ВХ ΔХ= ВЫХ- ВХ Рис. 8 Схема отработки угла поворота. Соединенные по трансформаторной схеме СД и сельсин -приемник (СП), механически связанный с нагрузкой, вырабатывают напряжение пропор-ное рассогласованию ВХ - ВЫХ между входным и выходным валами следящей системы. Напряжение ошибки ΔХ усиливается усилителем УС и поступает на якорь исполнительного ДВ, вращающего одновременно ОУ и ротор СП до тех пор, пока рассогласование ΔХ не станет равным нулю. 31

Системы с поиском экстремума показателя качества 4. Системы с поиском экстремума показателя качества. • В ряде случаев показатель качества управления можно считать оптимальным, если оно обеспечивает поддержание этого показателя в точке max или min. Примером служит настройка радиоприемника на частоту передающей станции по наибольшей громкости приема или наибольшей яркости свечения индикаторной лампочки или по мин. искажений. • Такое управление обладает одним недостатком: когда точка настройки под воздействием различных возмущений окажется смещенной от экстремума, неизвестно в каком направлении следует воздействовать на регулирующий орган, чтобы вернуть ее к экстремуму. Поэтому экстремальное управление начинают с поиска по шагам: 1. Сначала выполняют небольшие пробные движения в каком-то выбранном направлении; 2. Затем анализируют реакцию системы на эти пробы; 3. По результатам анализа вырабатывают управляющее воздействие приближающее систему к экстремуму. 32

Системы с поиском экстремума показателя качества U РЕГ Х ОУ V ВУ УПВ ЛУ J ИПЭ Рис. 9 Схема экстремального управления с поиском. J=F(Х) – показатель качества. V – пробные воздействия. U – управляющие воздействия. Принцип действия. Измерительно-преобразующий элемент ИПЭ, измеряющий выходной сигнал Х и вычисляющий показатель качества J=F(X), подключен к выходу 0 У. Устройство пробных воздействий УПВ вырабатывает пробные воздействия V на РЕГ. Логическое устройство ЛУ, получая информацию как о введенных V, так и об изменении J под их влиянием, анализирует полученные данные. Результат передается вычислительному устройству ВУ, которое вырабатывает управляющие воздействия U, под действием которых система должна прийти в экстремум. Для поиска экстремума необходим элемент, обнаруживающий экстремум. Один из способов обнаружения экстремума функции одной переменной y = f(x) состоит в измерении частной производной дy/дx. 33

Системы с поиском экстремума показателя качества Условия экстремума выражены соотношениями: для максимума для минимума дy / дx = 0 2 y / дx 2 < 0 д д 2 y / дx 2 > 0 Вместо трудно реализуемого технического измерения второй производной чаще всего делают проверку знака величины Δy в окрестности предполагаемого экстремума. Однако одиночной проверкой можно пользоваться лишь в том случае, если известно, 1) что экстремум существует, 2) что он единственный и 3) что в рабочей области нет точек перегиба функции. Если одно из этих условий не выполняется, поиск усложняется. Так, если отсутствие точек перегиба не гарантировано, то в случае функции одной переменной надо проверить значения Δy по обе стороны предполагаемого экстремума. В случае функции многих переменных используют итерационные методы решения экстремальных задач: метод Гаусса – Зайделя, градиента, наискорейшего спуска и т. п. Поскольку в системах экстремального управления измеряется значение управляемой (выходной) величины, они относятся к классу 34 систем управления по замкнутому контуру.

Оптимальные системы 5. Оптимальные системы. Принцип оптимального управления применяется как в технических системах для повышения эффективности производственных процессов, так и в системах организационного управления для совершенствования деятельности предприятий, организаций, отраслей народ-го хозяйства. В организационных системах обычно интересуются конечным, установившемся результатом команды, не исследуя эффективность во время перех. процесса между отдачей команды и получением окончательного результата. Объясняется это тем, что обычно в этих системах потери в перех. процессе достаточно малы и несущественно влияют на общую величину выигрыша, поскольку сам установившийся режим значительно более длителен, чем переходный процесс. Динамика в не исследуется из-за математических трудностей. Методам оптимизации конечных состояний в организационных и экономических системах посвящены методы оптимизации и исследования операций. В управлении техническими системами оптимизация часто существенна именно для перех. процессов. Поскольку в них показатель эффективности зависит не только от текущих значений координат (как в экстремальном управлении), но также от характера их изменения в 35 прошлом, настоящем и будущем.

Оптимальные системы Пример. Бег спортсмена на длинную дистанцию. Т. к. запас энергии ограничен физиологическими факторами, а расходование запаса зависит от характера бега, спортсмен уже не может в каждый момент бежать с max скоростью (это будет экстремальной управление). Чтобы не израсходовать свой запас преждевременно, спортсмен искать оптимальный для своих особенностей режим бега. U Х ОУ Z N ВУ Рис. 10 Оптимальное управление. J – критерий оптимальности. N – начальные условия. U – управляющие воздействия. J – критерий опт. Z - возмущающие воздействия. Х(0) гранич. Х(∞) условия Принцип действия. На вход вычислительного устройства ВУ поступает информация о текущих значениях Х, об управлениях U , о внешних воздействиях Z, а также различные условия: критерий оптимальности J, граничные и начальные условия и т. п. ВУ вычисляет оптимальное управление U. Нахождение оптимального U требует решения сложной математ. задачи методами вариационного исчисления или математ. программирования в зависимости от вида математического описания (матем. модели) системы. 36

Адаптивные системы 6. Адаптивные системы. В реальных условиях внешние возмущения Z приводят не только к количественным ошибкам, но зачастую и к полной потери ее работоспособности. Если потери качества не возможно устранить, находясь в рамках первоначально фундаментального принципа управления, то это делают путем изменения параметров. Системы, автоматически изменяющие значения своих параметров или структуру при непредвиденных изменениях Z на основании анализа состояния системы так, чтобы сохранилось заданное качество ее работы, называют адаптивными системами (АДС). Z контур адаптации Замкнутая или разомкнутая АДС 5 Рис. 11 Структурная схема АДС 6 Х 0 1 ΔХ 2 4 U 3 Х 1, 2, 3, 4 – аналогично рис. 4. 5 –измерительно вычислит-ное устройство (ИВУ). 6 - блок настройки параметров (БПН). 37

Адаптивные системы АДС с изменением значений параметров самонастраивающимися, с изменением структуры и управления – самоорганизующимися. называют алгоритма Обычно АДС содержит в качестве «ядра» схему, реализующую один из фундаментальных принципов управления, а контур адаптации (КА) пристраивают к ней как вторичный, осуществляющий коррекцию параметров. КА обычно состоит из ИВУ+БНП. КА может быть разомкнут, если на его вход подается только возмущающее воздействие Z, или замкнут если он реагирует также и на выход системы X. КА измеряет возмущения и воздействует на БНП, который может быть включен не только последовательно, как показано на рис. 11, но и любым другим способом, например в цепь обратной связи. 38

Законы управления § Основные законы управления. Законом управления называют математическую зависимость, в соответствии с которой управляющий сигнал на объект управления вырабатывалось бы безинерционным управляющим устройством. В технике много различных законов управления. Рассмотрим только простейшие в которых управляющее воздействие U линейно зависит от отклонения ΔX, его интеграла и первой производной по времени. При описании законов для удобства вводят безразмерные относительные переменные ε = ΔХ/Х 0, μ = U/U 0, где X 0 и U 0 – базовые значения (например, соответствующие номинальному режиму объекта). 1. Пропорциональный закон (П): μ = k. Рε. Постоянную k. Р называют коэффициентом передачи (усиления) регулятора, обратную величину – статизмом регулятора. С возрастанием статизма регулятора возрастает и статизм регулирования. 2. Интегральный закон (И): или dμ/dt = ε/T. T - постоянная времени интегрирования. Интегральный регулятор – астатический регулятор , с его помощью осуществляются простейшие схемы астатического регулирования (см. раздел стабилизация). 39

Законы управления 3. Пропорционально–интегральный закон (ПИ): Регулятор ПИ также обеспечивает астатическое регулирование. Его иногда называют пропорциональным законом с интегральной коррекцией. T - постоянная времени интегрирования. Интегральный регулятор – астатический регулятор , с его помощью осуществляются простейшие схемы астатического регулирования (см. раздел стабилизация). 4. Пропорционально - интегрально - дифференциальный закон (ПИД): ТИ и ТD - соответственно постоянные времени интегрирования и дифференцирования. Регулятор ПИД также обеспечивает астатическое регулирование. Производную dε/dt вводят в закон регулирования для повышения качества регулирования. 40

Преобразование Лапласа § Преобразование Лапласа и его свойства Преобразование Лапласа называют соотношение которая ставит функции х(t) вещественного переменного в соответствие функцию Х(s) комплексного переменного s (s=a+jω). При этом х(t) называют оригиналом, а Х(s) - изображением или изображением по Лапласу. Выражение (2) называют обратным преобразованием Лапласа Используется символическая запись выражений (1) и (2) х(t) X(s), X(s) x(t), или L{x(t)}=X(s), где L - оператор Лапласа. x(t)=L-1 [X(s)], 41

Свойства преобразование Лапласа Для того, чтобы от функции х(t) взять преобразование Лапласа, она должна обладать следующими свойствами: 1. х(t) определена и кусочно-дифференцируема положительной числовой полуоси [0; ∞]; 2. х(t) = 0, при t <0; 3. Существуют такие положительные числа М и с, что на всей Функцию x(t), обладающую указанными 3 -мя свойствами, часто называют функцией – оригиналом. § Свойства преобразования Лапласа. 1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β 2. Дифференцирование оригинала. Если производная x’(t) – является функцией – оригиналом, то 42

Свойства преобразование Лапласа В общем виде, если n – я производная, т. е. является функцией – оригиналом, то При нулевых начальных условиях выражение (3) принимает вид: Т. о. , при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s. 3. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s. Эта формула справедлива только при нулевых начал. условиях (4). 43

Свойства преобразование Лапласа 4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ x(t) t x(t- τ) τ t 5. Теорема о предельных значениях. (5) 44

Передаточные функции § Передаточные функции Линейное дифференциальное уравнение обычно имеет следующий вид записи Введем для операции дифференцирования обозначение , т. е. Используя их, уравнение (11) можно записать в виде 45

Передаточные функции Это позволяет записать ПФ в форме изображений Лапласа в виде F(s)=0 U(s)=0 ПФ в форме изображений Лапласа можно получит из ПФ в операторном виде подстановкой s p. Это следует из того, что дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на оператор s, при нулевых НУ. Сходство (14) и (15) чисто внешнее и оно имеет место только для стационарных систем. С учетом (15) уравнения системы (11) можно записать Y(s)=W 1(s)U(s)+ W 2(s)F(s) - уравнение системы в форме изображений Лапласа. 46

Частотные характеристики § Частотные характеристики Важную роль при описании линейных стационарных систем (звеньев) играют частотные характеристики. Они получаются при рассмотрении вынужденных движений системы (звена) при подаче на ее вход гармонического воздействия. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом (а 0 р2 + а 1 р + а 2) ∙ y = ( b 0 р + b 1) ∙ u. Q(p) R 1(p) 47

Частотные характеристики W(jω)=U(ω) + j∙V(ω) = A(ω) ∙ e jφ(ω) - ЧПФ=АФЧХ. L(ω)=20 lg. A(ω) - LАЧХ Зависимость φ(ω) от логарифма частоты lg(ω) - LФЧХ. а) V б) U(ω) ω=0 ω=∞ φ(ω) L(ω) U φ(ω) V(ω) А(ω) W(jω) – годограф - истинная LАЧХ - асимптотическая LАЧХ 1 10 100 lg(ω) π/4 π/2 Рис. 2 Частотные характеристики. а) – АФЧХ. 6) – LАЧХ, LФЧХ. 48

Частотные характеристики Особенности построения LАЧХ и LФЧХ. • При построении ЛЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. На отметке, соответствующей значению lgω пишут само значение , а не значение lgω. По оси ординат – L(ω) в дб. • Единицей измерения L(ω) является дб (по оси ординат), а единицей измерения логарифма частоты (lgω, по оси абцисс ) – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду. • ЛФЧХ и ЛАЧХ строят под общей осью ординат. Причем ось ординат при построении проводят через произвольную точку, а не через точку ω=0, поскольку ω=0 соответствует бесконечно удаленная точка [lg(0)=-∞]. 49

Временные характеристики § Временные характеристики Существуют две временные характеристики - переходная и импульсная функции. Их используют при описании как стационарных, так и нестационарных линейных систем. Переходная функция - реакция системы на входное единичное ступенчатое воздействие [1(t)] при нулевых НУ. Переходную функцию обозначают h(t). 1(t)= 1 при t≥ 0 0 при t<0 L{1(t)}=1/s , [1(t)]’ = δ(t) – дельта функция. Импульсная переходная, или весовая функция - реакция системы на в единичное импульсное воздействие [δ(t)] при нулевых НУ. Переходную функцию обозначают ω(t). Физически единичный импульс [ δ(t)] представляется как очень узкий импульс, имеющий единичную площадь. При решении каких – либо практических задач, как правило, δ(t) и её производные встречаются только на промежуточных этапах. В окончательном результате они или отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла. 50

Временные характеристики Дельта – функция есть функция, которая обладает следующими свойствами: Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение системы постоянными коэффициентами в общем виде. (а 0 рn + а 1 рn-1 + …+ аn) ∙ y = ( b 0 рm + b 1 pm-1 + …+bm) ∙ u Уравнение (16) в изображении Лапласа Y(s)=W(s) ∙ U(s). с (16) 51

Временные характеристики ПФ в общем виде Уравнение (16) справедливо и при u(t)=1(t) и при u(t)=δ(t). 1. В соответствии с определением весовой функции при u(t)=δ(t) выходная переменная y(t)=ω(t). А т. к. L{δ(t)}=1, то при этом (16) можно записать L{ω(t)}=W(s) ∙ U(s)= W(s) ∙ L{δ(t)}= W(s) Взяв обратное преобразование Лапласа получим ω(t)=L-1[W(s)] (18) 2. Тоже самое при u(t)=1(t). В этом случае y(t)=h(t). А т. к. L{1(t)}=1/s, то при этом (16) можно записать L{h(t)}=W(s) ∙ U(s)= W(s) /s Взяв обратное преобразование Лапласа получим h’(t)= L-1[W(s)] (19) Сравнив (18) с (19) получаем ω(t)=h’(t) - связь импульсной и переходной характеристик. 52

Элементарные звенья § Элементарные звенья и их характеристики Звеном называют математическую модель элемента, соединения элементов или любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями довольно высокого порядка и в общем случае их передаточные функции могут быть записаны (17). ПФ (17) практически всегда можно представить как соединение типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго. Звенья, ПФ которых имеют вид простых множителей (20), называют типовыми или элементарными звеньями. -------------------------Правило модулей и аргументов комплексного числа. 53

Элементарные звенья Разновидности элементарных звеньев: 1. Пропорциональное; 4. Апериодическое; 2. Интегрирующее; 5. Форсирующее; 3. Дифференцирующее 6. Звено 2 -го порядка. 1. Пропорциональное звено (ПЗ). u W(p) y Пропорциональным звеном называют звено, которое описывается уравнением у(t)=k ∙ u(t) Оно имеет следующие частотные и временные характеристики. 1. W(s)=k 2. - ПФ в форме изображений Лапласа. W(p)=k - ПФ в операторном виде. Заменив p (jω) получим, 3. W(jω)=U(ω) + j∙V(ω) = A(ω) ∙ e jφ(ω) где, U(ω) = Re W(jω)=k, V(ω) = Im W(jω)=0. - ЧПФ = АФЧХ 54

Элементарные звенья 6. L(ω) = 20∙lg. A(ω)= 20∙lgk - LАЧХ 7. h(t) = k ∙ 1(t) 8. ω(t) = h’(t)=δ(t) – импульсная характеристика. - переходная характеристика. L(ω) V h(t) k 20 lgk k lg(ω) U а) б) t в) Рис. 3 Частотные характеристики ПЗ. а) – АФЧХ. 6) – LАЧХ. в) – Перех. х-ка Примеры ПЗ. Местные, механические и гидравлические системы, преобразователи, усилители и т. д. 55

Интегрирующее звено 2. Интегрирующее звено (ИЗ). у(t)=∫k∙u(t)∙∂t, y’(t)= k∙u(t), py=ku – уравнения ИЗ. 1. W(s)=k/s - ПФ в форме изображений Лапласа. 2. - ПФ в операторном виде. W(p)=k/p 3. W(jω)=k/(jω) - АФЧХ U(ω) = Re W(jω) = 0, V(ω) = Im W(jω) = - k/ω. 4. A(ω)= k/ω - АЧХ , 5. φ(ω)= - π/2. 6. L(ω) = 20 ∙ lg. A(ω)= 20∙lgk - 20 lgω 7. h(t) = k ∙ t 8. - ФЧХ. - LАЧХ ω(t) = h’(t)=k – импульсная характеристика. - переходная характеристика. 56

Интегрирующее звено L(ω) V h(t) - 20 дб/дек 20 lg k ω=∞ U 1 φ(ω) lg(ω) ω 0 а) t lg(ω) 1 -π/4 -π/2 arctg k б) в) Рис. 4 Частотные хар-ки ИЗ. АФЧХ ИЗ (рис. 4 а) совпадает с отрицательной мнимой полуосью. LФЧХ (рис. 4 б) параллельна оси частот и проходит на уровне φ=-π/2, сдвиг фазы φ(ω) не зависит от частоты. LАЧХ (рис. 4 б) – наклонная прямая, проходящая через точку с координатами ω=1 и L(ω)=20 lgk. Как видно из уравнения для L(ω), при увеличении частоты на 1 декаду ордината уменьшается на 20 д. Б. Поэтому наклон LАЧХ = – 20 д. Б/дек. C Пример ИЗ. Интегратор на идеальном ОУ. R u(t) - + y(t) 57

Дифференцирующее звено 3. Дифференцирующее звено (ДЗ). y(t)= k∙u’(t), y=k ∙ pu – уравнения ДЗ. 1. W(s)=k∙s - ПФ в форме изображений Лапласа. 2. - ПФ в операторном виде. W(p)=k∙p 3. W(jω)=jkω - АФЧХ U(ω) = Re W(jω) = 0, V(ω) = Im W(jω) = k∙ω. 4. A(ω)= k∙ω - АЧХ , 5. φ(ω)= + π/2. 6. L(ω) = 20 ∙ lg. A(ω)= 20∙lgk + 20 lgω 7. h(t) = k ∙ δ(t) = δ(t) - переходная характеристика. 8. - ФЧХ. - LАЧХ ω(t) = h’(t) = δ’ (t) – импульсная характеристика. 58

Дифференцирующее звено L(ω) V ∞ 1 ω ω=0 + 20 дб/дек 20 lg k U lg(ω) φ(ω) + π/2 lg(ω) 1 а) Рис. 5 Частотные хар-ки ДЗ. б) АФЧХ ДЗ (рис. 5 а) совпадает с положительной мнимой полуосью. LФЧХ (рис. 5 б) параллельна оси частот и проходит на уровне φ=+π/2. LАЧХ (рис. 5 б) – прямая, проходящая через точку с ω=1 и L(ω)=20 lgk. Наклон LАЧХ = + 20 д. Б/дек. Пример ДЗ. Тахогенератор и дифференциатор на идеальном ОУ. R C u(t) - + y(t) 59

Апериодическое звено 4. Апериодическое звено (АЗ). Ty’+y= k∙u, Tpy+y= k∙u, (Tp+1)y= k∙u Q(p) – уравнения АЗ. (22) R(p) 1. W(p)=R/Q = k /(Tp+1) - ПФ в операторном виде. 2. W(jω)= k /(T∙jω +1) - АФЧХ U(ω) = k / [ (T∙ω)2 +1] , V(ω) = -(k T∙ω) / [ (T∙ω)2 +1]. 6. Решив диффер. уравнение (22) при u(t)=1(t) и нулевых НУ y(0)=0 получим h(t)= k ∙(1 -e -t/T) и ω(t) = h’(t) = (k/T)∙ e -t/T. 60

Апериодическое звено а) L(ω) V k при ω=0 ω=∞ б) - асимптотическая LАЧХ - 20 дб/дек U ω1=1/T φ(ω) k h(t) - π/4 h(t)= k ∙(1 -e -t/T) T - истинная LАЧХ 20 lg k ω=1/T в) Δ=3 дб t lg(ω) ω1=1/T lg(ω) - π/2 Рис. 6 Частотные хар-ки АЗ. АФЧХ АЗ (рис. 6 а) – полуокружность с радиусом =k/2. Обычно пользуются асимптотической LАЧХ. Только в критических случаях, когда небольшая погрешность может повлиять на результаты, рассматривают точную ЛАЧХ. MАХ отличие между ними наблюдается на сопрягающей частоте ω1=1/T и равно Δmax=3 дб. 61

Апериодическое звено Уравнение асимптотической LАЧХ определяется зависимостью L(ω) = 20∙lg k – 20∙lg. Tω , при ω < ω1 , при ω ≥ ω1 (24) получаетcя из (23) по правилу : - если мы рассматриваем область частот меньше, чем сопрягающая частота, то под корнем остается только “единица”; - если мы рассматриваем область больше, чем сопрягающая частота, то под корнем остается только член с наибольшей степенью частоты. Согласно (24) асимптотическую ЛАЧХ можно построить следующим способом: - на уровне L(ω) = 20∙lg k до частоты ω= ω1 провести прямую, параллельно оси частот; - далее, через точку с координатами ω=ω1 и L(ω) = 20∙lg k – прямую под наклоном - 20 д. Б /дек. По АФЧХ или ЛАЧХ легко определить параметры T и k апериодического звена (рис. 6). 62

Апериодическое звено ЛФЧХ всех АЗ имеют одинаковую форму и могут быть получены по какой – либо одной характеристике параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от постоянной времени. Поэтому для построения ЛФЧХ АЗ пользуются шаблоном или номограммой. Переходная характеристика апериодического звена (рис. 6 в) представляет собой экспоненциальную кривую. По ней также можно определить параметры: - k (коэфф. передачи звена), равный установившемуся значению h(∞); - T (постоянную времени), соответствующей точке пересечения касательной к h(t) в начале координат с ее асимптотой. Пример АЗ. 1. Электродвигатель, если u(t) –управляющее напряжение, а y(t) – угловая скорость ротора. 2. RC - цепочка. 63

Форсирующее звено 5. Форсирующее звено (ФЗ). у = k∙(Tu’+u), y=k∙(Tp+1)∙u Q(p) – уравнения ФЗ. (26) R(p) 1. W(p)=R/Q = k∙(Tp+1) - ПФ в операторном виде. 2. W(jω)= k ∙(T∙jω +1) - АФЧХ U(ω) = k, V(ω) = k T∙ω. 6. Решив диффер. уравнение (26) при u(t)=1(t) и нулевых НУ y(0)=0 получим h(t)= k ∙[Tδ(t)+1(t)] и ω(t) = h’(t) = k ∙[Tδ’(t)+ δ(t)] 64

ω а) V ∞ Форсирующее звено L(ω) Δ=3 дб б) U 20 lg k +20 дб/дек k при ω=0 ω1=1/T lg(ω) φ(ω) + π/2 + π/4 Рис. 7 Частотные хар-ки ФЗ. ω1=1/T lg(ω) Уравнение асимптотической LАЧХ определяется зависимостью L(ω) = 20∙lg k + 20∙lg. Tω , при ω < ω1 , при ω ≥ ω1 (28) При построении (28) используется прежнее правило. 65

Звено второго порядка ЛФЧХ ФЗ можно получить зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ АЗ и для ее построения можно воспользоваться теми же шаблоном и номограммой. ФЧХ ФЗ и АЗ похожи друг на друга и они получаются путём сдвига по частоте (в одну или другую сторону) ФЧХ любого ФЗ и АЗ. Пример ФЗ. - дифф. цепь ( RC цепочка). 6. Звено второго порядка (ЗВП). Различают звенья второго порядка - колебательное, консервативное и апериодическое. Звено, которое можно описать уравнением T 02 y’’+T 1 y’+y= k∙u, либо (T 02 p 2+T 1 p+1)y= k∙u, – уравнения ЗВП. (29) (T 2 p 2+2ξTp+1)y= k∙u, где T=T 0 , ξ = T 1/2 T – коэфф. демпфирования. Если 0 < ξ < 1 - ЗВП называется колебательным; ξ = 0 - ЗВП называется консервативным; ξ ≥ 1 - ЗВП называется апериодическим. 66

Звено второго порядка 4. φ(ω) = 67

Звено второго порядка 5. 6. Уравнение асимптотической LАЧХ определяется зависимостью L(ω) = 20∙lg k - 40∙lg. Tω , при ω < ω1=1/T , при ω ≥ ω1= 1/T (30) При построении (30) используется прежнее правило. 7. Решив диф. уравнение (29) при u(t)=1(t) и нулевых НУ y(0)=0 получим где (31) 68

а) Звено второго порядка - истинная LАЧХ V k при ω=0 ω=∞ б) L(ω) - 40 дб/дек U ω1=1/T ω=1/T А 1 в) - асимптотическая LАЧХ h(t) φ(ω) А 2 - π/2 -π h(∞)=k TK t lg(ω) ω1=1/T lg(ω) Рис. 8 Частотные хар-ки ЗВП. По виду ПХ (рис. 8 в) можно определить параметры звена: - коэффициент передачи звена k определяется по установившемуся значению h(∞) переходной функции; - постоянную времени Т и коэффициент демпфирования ξ можно найти из уравнения (31), где TK - период колебаний, A 1 и A 2 амплитуды двух соседних колебаний 69 относительно установившегося значения h(∞)=k.

Звено второго порядка При малых значениях ξ асимптотическая ЛАЧХ довольно сильно отличается от реальной ЛАЧХ (рис. 9). Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись номограммами. ξ =0. 2 L(ω) lg(ω) ω1=1/T ξ =1 Hm L(ω) ωm ω1 lg(ω) ξ =0. 8 Рис. 9 Поведение реальной ЛАЧХ при различных ξ. При ξ < 0. 5 реальная ЛАЧХ не только имеет выброс, но и он смещен влево. Формулы для расчета следующие. 70

Звено второго порядка Примеры ЗВП. 1. Последовательный контур RLC-цепь (резонанс напряжений). R ЕГ KC=UВЫХ / ЕГ L J А(ω)=JВЫХ / JГ С UC=UВЫХ ω0 ω ω0 = 1/LC – резонансная частота. КС – коэф. передачи по напряжению на конденсаторе. А(ω) – резонансная кривая последовательного контура. 2. Из механики. Поршень с демпфером. пружина грузик поршень в цилиндре 71

Структурные схемы § Структурные схемы (Э 2). Структурной схемой называют графическое изображение математической модели автоматической системы управления в виде соединений звеньев. Звено на структурной схеме условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входных и выходных величин, а также ПФ внутри него. U(s) W(s) Y(s) u(t) W(p) y(t) u(t) y’+y=u y(t) Правило обозначения. 1. Входные и выходные величины записывают в виде изображений, если ПФ задают в форме изображений. 2. Если ПФ задают в операторной форме или звенья описывают дифференциальными уравнениями, то входные и выходные переменные записывают в виде оригинала. 3. Иногда вместо ПФ указывают уравнение или характеристику. 72

Структурные схемы Э 2 широко используют при исследовании и проектировании САУ, т. к. она дает наглядное представление о связях между звеньями, о прохождении и преобразовании сигналов в системе. Э 2 обычно составляют на основании блок–схемы. И дальнейшие преобразования, необходимые для получения уравнений и ПФ всей системы, проще и нагляднее производить по структурной схеме. Звено на Э 2 не обязательно изображает модель какого–либо отдельного элемента. Оно может быть моделью элемента, соединения элементов или вообще любой части системы. Основные правила преобразования структурных схем. 1. Последовательное соединение звеньев. y 1 u W 1 y 2 W 2 . . . y. N WN u y. N W 73

Правила преобразования 2. Параллельное соединение звеньев. y 1 W 1 y 2 u u . . . W 2 y. N WN 3. Звено охваченное ОС. u е y 1 y WП WОС y = WП ∙ е y 1=WОС ∙ y е=u - y 1 исключив е и y 1 из системы получим (1+WП∙WОС)∙y = WП∙u или Определение. ПФ замкнутой цепи с ОС равна ПФ прямой цепи, деленной на единицу плюс минус ПФ разомкнутой цепи WP = 1+WП∙WОС. 74

Правила преобразования 4. Перенос сумматора. f неэквивалентные участки схемы u W 1 y 1 Рис. 1 f e 1 y 2 W 2 y 1 u W 1 W 2 y 2 Перенос сумматора по ходу движения сигнала. y 2 = ( W 1∙u+f )∙W 2 = W 1∙W 2 ∙ u + f ∙ W 2 – вых. сигнал в исходной схеме. y 2 = W 1∙W 2 ∙ u + f ∙ W 2 - вых. сигнал в преобразованной схеме. Вых. сигналы в обеих схемах равны, значит преобразование эквивалентно. Производить съём сигнала на неэквивалентных участках нельзя. Определение. - При переносе сумматора по ходу сигнала необходимо добавить звено с ПФ, равной ПФ звена, через которое переносится сумматор (рис. 1). - Если сумматор переносится против хода сигнала, то необходимо добавить звено с ПФ, равной обратной передаточной функции звена, 75 через которое переносится сумматор (рис. 2).

Правила преобразования -1 u W 1 y 1 Рис. 2 f W 1 e 1 y 2 W 2 f y 1 u W 1 W 2 y 2 Перенос сумматора против хода движения сигнала. y 2 = ( W 1∙u+f )∙W 2 = W 1∙W 2 ∙ u + f ∙ W 2 – вых. сигнал в исходной схеме. y 2 =(W 1 -1∙f + u)∙W 1 W 2 = W 1∙W 2∙u + f∙W 2 - вых. сигнал в преоб-ой схеме Вых. сигналы равны, значит преобразование эквивалентно. 76

Правила преобразования 5. Перенос узла. y 1 а) u W 1 в) y 1 W 2 W 1 y 2 y 1 u W 2 -1 б) y 2 y 1 u W 1 W 2 y 1 y 2 Рис. 3 Перенос узла: а) исходная схема; б) по ходу движения сигнала; в) против хода сигнала. Для рис. 3 б. y 1 = W 1∙u – вых. сигнал в исходной схеме. y 2 = W 1∙W 2 ∙ u ∙ W 2 -1 = W 1∙u - вых. сигнал в преобразованной схеме. Определение: - При переносе узла по ходу сигнала необходимо добавить звено с ПФ, равной обратной ПФ звена, через который переносится узел (рис. 3 а); - Если узел переносится против хода сигнала, то необходимо добавить 77 звено с ПФ, равной ПФ звена, через которое переносится узел (рис. 3 б).

Правила преобразования 6. Перестановка узлов и сумматоров. а) б) (1) (2) y 1 (2) Рис. 4 f 1 y 2 (1) f 2 (2) f 1 (2) y 1 y f 2 (1) y Перестановка узлов и сумматоров. Определение: узлы и сумматоры можно переставлять не меняя схему. 7. Перенос узлов и сумматоров. а) y 1 f 1 y (1) б) y 1 f 1 y 1 (2) y f 1 y y 1 y (2) (1) y 1 = (f 1 +y 1) - f 1=y 1 y = f 1 +y 1 (1) f 1 y = f 1 +y 1 y (1) (2) 78

ПФ одноконтурной системы § Вычисление ПФ одноконтурной системы. Замкнутую систему (структурную схему) называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой-либо точке получается цепочка и последовательно соединенных звеньев, не содержащая параллельных и обратных связей. Участок по ходу сигнала от точки приложения входного воздействия до точки съема выход-го сигнала называется прямой цепью (рис. 5, а). Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур (рис. 5 б), – разомкнутой цепью. Правило вычисление ПФ одноконтурной системы аналогично правилу 3 [преобразование структурных схем, уравнение (1)]: ПФ одноконтурной системы с отрицательной (положительной) обратной связью равна ПФ прямой цепи, деленной на единицу плюс (минус) ПФ разомкнутой цепи: Прямая цепь а) u е W 0 Разомкнутая цепь б) y W 1 WОС W 2 W 1 W 2 WОС Рис. 5 Одноконтурная система. 79

ПФ многоконтурной системы § Вычисление ПФ многоконтурной системы (МКС). 1. Замкнутую систему (структурную схему) называют многоконтурной, если при ее размыкании получается цепь, содержащая параллельные или обратные связи. 2. Замкнутую систему называют многоконтурной, если она помимо главной обратной связи, содержит местные обратные или параллельные связи. МКС имеет перекрещивающиеся связи, если контур обратной связи или параллельной связи охватывает участок цепи, содержащей только начало или конец другой цепи обратной или парал-ной связи (рис. 6). а) W 2 б) W 0 y W 1 W 3 WОС Рис. 6 Примеры перекрещивающихся связей. 80

ПФ многоконтурной системы Для вычисления ПФ МКС необходимо: 1) перестановкой и переносом узлов и сумматоров освободиться от перекрещивающихся связей; 2) используя первые три правила преобразования структурных схем, преобразовать ее в одноконтурную систему, ПФ которой вычисляется согласно (2). 3) следует иметь в виду, что при преобразовании структурной схемы нельзя переносить сумматор через точку съема выходного сигнала, так как при этом точка съема оказывается на неэквивалентном участке линии связи. Пример. Найти ПФ по входам g и f и выходам y и e, т. е. Wyg, Wyf, Weg, Wef. W 3 g (1) е W 1 y 3 Рис. 7 Пример вычисления ПФ МКС. f y 1 (2) W 2 (3) y 4 y 2 y (4) W 4 81

ПФ многоконтурной системы Вычисление ПФ МКС по шагам: 1) Переставляем сумматоры (2) и (3) местами. Согласно правила № 6 схема не изменяется; 2) Переносим сумматор (4) против хода сигнала через звено W 2. Согласно правила № 4 в схеме проявляется новое звено с W 2 -1. Затем сумматор (4) переносим через сумматор (2). Результат преобразований по шагам 1, 2 на рис. 8. f W 3 g (1) е W 1 y 3 W 2 -1 y 1 W 2 (3) (4) (2) y 4 W 4 y Рис. 8 Шаг 1, 2. 3) Объединяем звенья W 1 и W 3, а также W 2 и W 4. Новые звенья имеют следующие ПФ W 13=W 1+W 2 , W 24=W 2/(1 -W 2∙W 4). Результат преобразований по шагу 3 на рис. 9. 82

ПФ многоконтурной системы f W 2 -1 g е W 13 (1) W 24 (4) y Рис. 9 Шаг 3. 4) При вычислении ПФ по входу g, входное воздействие f полагаем =0 (принцип суперпозиции). g е W 13 W 24 y (1) g (1) е y W 24 W 13 83

ПФ многоконтурной системы f W 2 -1 g е W 13 W 24 (1) (4) y Повтор Рис. 9 Шаг 3. 5) При вычислении ПФ по входу f , входное воздействие g полагаем =0 (принцип суперпозиции). Инвертирующий сумматор (1) убираем и берем ПФ W 13 со знаком минус, а выход е=-y. f W 2 -1 y W 24 (4) y 4 - W 13 -1 е 84

Правила построения асимптотической LАЧХ. § Правила построения асимптотической LАЧХ. При исследовании САУ обычно используют АФЧХ и ЛЧХ - частотные характеристики разомкнутых систем. ПФ разомкнутых одноконтурных, а иногда и многоконтурных систем легко могут быть преобразованы к виду. Правило № 1. Правило построения асимптотич-ких ЛАЧХ следует из (3). Строят LАЧХ отдельных звеньев а затем складывают их графически. Правило № 2: - разбивают ПФ сложной системы на ПФ элементарных звеньев; - находят сопрягающие частоты звеньев; - записывают LАЧХ в порядке возрастания сопрягающих частот; - LАЧХ всей системы строят из отдельных асимптот, которые получаются путем упрощения общей LАЧХ для отдельных участков 85 сопрягающих частот.

Правила построения асимптотической LАЧХ. Рассмотрим правило № 2 на примере. Запишем ПФ элементарных звеньев и найдем их сопрягающие частоты. W 1=100 – пропорциональное звено, W 2=1/pν - ν интегрирующих звеньев, W 3=1/(10 p+1) – апериодическое звено. W 4=(p+1) – форсирующее звено, W 5= 1/(0, 01 p 2+0, 1 p+1) – ЗВП. (колебательное звено второго порядка) ω1 - нет сопрягающ. частоты. ω2 - нет сопрягающ. частоты. ω3=1/10=0, 1 ω4=1 ω5=1/0, 1=10, T=0. 1, 2ξT=0. 1 , ξ=0. 5 LАЧХ всей системы в порядке возрастания сопрягающих частот имеет вид. пропор. интег. ЗВП. апериод. форсир. 86

Правила построения асимптотической LАЧХ. Рассмотрим четыре области сопрягающих частот. I II 0, 1 III 1 IV 10 ω При построении асимптот ЛАЧХ элементарных звеньев (т. е. для упрощения всей LАЧХ) пользуются правилом: - при рассмотрении области частот, меньше чем сопрягающая частота, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают); -на частотах, больших сопрягающей частоты оставляют только член с наивысшей степенью частоты. Допустим ν=1 – разность между числом интегр-х и диффер-их звеньев. Область № I. ω < 0. 1, Область № II. 0. 1<ω<1, 87

Правила построения асимптотической LАЧХ. Область № III. 1<ω<10, Область № IV. ω>10, L(ω) - 20 дб/дек 60 дб - 40 дб/дек 40 дб - 20 дб/дек 20 дб -20 дб 0, 1 1 10 - 20 дб/дек 20 дб lg(ω) - 60 дб/дек -20 дб 0, 1 1 10 lg(ω) - 40 дб/дек Рис. 10 Асимптотические LАЧХ. а) при ν =1. 6) при ν =0. 88

Правила построения асимптотической LАЧХ. Правило № 3: 1. Вычисляют сопрягающие частоты и значение 20 lgk, где k – коэффициент передачи системы, равный произведению передаточных коэффициентов всех элементарных звеньев. 2. Строят первую асимптоту, которую проводят до первой сопрягающей частоты через точку с координатами ω=1 и 20 lgk, с наклоном ν∙ 20 дб/дек. 3. Проводят вторую асимптоту от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты. Ее наклон изменяется относительно предыдущей асимптоты на +20, – 20, +40 или – 40 д. Б/дек в зависимости от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена она является ( форсирующего, апериодического, форсирующего ЗВП или колебательного ЗВП соответственно). 4. Строят каждую последующую асимптоту аналогично второй. Изменение наклона (i+1)-й асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена она является. Если какая-либо сопрягающая частота является кратной т. е. имеется m одинаковых элементарных звеньев, то изменение наклона при этой частоте в m раз больше, чем при соответствующей простой частоте. 5. Для звеньев с малым коэффициентом демпфирования (ξ<0, 5) асимптотическая ЛАЧХ должна быть скорректирована в окрестности 89 сопрягающей частоты.

Правила построения асимптотической LАЧХ. Пример построения LAЧХ по правилу № 3 1. Первую асимптоту проводим через точку ω=1 и 20 lgk= 20 lg 100=40 дб , до первой сопрягающей частоты с наклоном -ν∙ 20 дб/дек= (при ν=1)=- 20 дб/дек. 2. ω=0, 1 является сопрягающей частотой апериодического звена, значит наклон второй асимптоты равен -20 дб/дек= - 40 дб/дек. 3. ω=1 является сопрягающей частотой форсирующего звена, значит наклон третьей асимптоты равен - 40 дб/дек +20 дб/дек=- 20 дб/дек. 4. и т. д. L(ω) - 20 дб/дек 60 дб - 40 дб/дек 40 дб - 20 дб/дек 20 дб -20 дб 0, 1 1 10 lg(ω) - 60 дб/дек Рис. 11 Построение асимптотические LАЧХ по 3 способу при ν =1. 90

Многомерные стационарные линейные системы. § Многомерные стационарные линейные системы Многомерными системами (ММС) называют САУ, в которых имеется несколько (больше одной) управляемых величин. Многомерные системы еще определяют как САУ с многомерным (векторным) выходом. Примерами многомерных объектов могут быть: - самолет, у которого управляемыми величинами являются курс, углы тангажа и крена, высота, скорость; - паровой котел, в котором регулируется температура, давление пара и другие величины. Многомерные системы называют линейными и стационарными, если они описываются системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения многомерных стационарных линейных систем. f 1 u L 1 1 M K y y 1…y. K - выходные величины. u 1…u. M – задающие воздействия. f 1, …f. L – возмущающие воздействия. 91

Многомерные стационарные линейные системы. Уравнения ММС в общем виде можно записать в виде системы урав-й: (4) Для ММС удобна матричная форма записи уравнений (2 формы). где А(p), В(p), C(p), y, u, f - матрицы следующего вида. матрицы В(p), C(p), u, f - по аналогии, из коэфф. уравнения (4) где А(s), В(s), C(s), Y(s), U(s), F(s) - матрицы составленные из 92 изображений Лапласа соответствующих элементов (4).

Многомерные стационарные линейные системы. Пример на составление матриц ММС в виде системы диффер. уравнений. Уравнения ММС в операторном виде. 93

ПФ ММС. Передаточные функции ММС. Передаточной функцией (в изображениях Лапласа) по j-му входу и i-му выходу называют отношение изображения Лапласа выходной величины yi к изображению входной величины uj при нулевых НУ. 1. Первый способ определения ПФ ММС. По определению. (7) Эта ПФ вычисляется следующим образом. В системе уравнений (6) приравниваем к нулю изображения всех возмущающих воздействий и всех параметров управления (входов), кроме Uj. Из полученной системы уравнений находим решение Yi(s), делим его на Uj, получаем искомую ПФ (7). Аналогично определяем ПФ по j-му возмущающему воздействию и iму выходу. (8) В случае ММС для её полного описания необходимо иметь K∙M ПФ по управлению и K∙L ПФ по возмущению. 94

ПФ ММС. Эти ПФ записывают в виде матриц: - передаточная матрица (ПМ) по управлению (9) - передаточная матрица (ПМ) по возмущению (10) С помощью ПМ уравнения ММС (6) в изображениях Лапласа можно Записать в виде (11) 2. Второй способ определения ПФ ММС. Умножим слева обе части уравнения (6) на обратную матрицу А-1(s). 95

ПФ ММС. Сравнивая (11) с (12) получаем, что ПМ ММС равны: - ПМ по управлению и по возмущению. 2 -ой способ. (13) Обратная матрица А-1(s). равна – A 11(s) - алгебраические дополнения. Пример. Пусть ММС задается системой диф. уравнений. 1. Перейдем к изображениям Лапласа. 96

ПФ ММС. 2. В матричном виде ММС имеет вид: где 3. Найдем обратную матрицу A-1(s). Определитель | A-1(s)| = (s 2+s) ∙ s – (s+1) = (s 2 -1) ∙ (s+1). Алгебраические дополнения А 11=s, А 12=-(s+1), А 21=-1, А 22=s 2+s, 97