§ 21. Исследование функций с помощью

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 1. Признак постоянства функции Теорема 1. Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке [ a ; b ] и дифференцируема в каждой точке интервала (a; b). для x (a; b). y a b x

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 2. Признаки возрастания и убывания функции Теорема 2. Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке [a; b] и дифференцируема в каждой точке интервала (a; b). y=f(x) y y=f(x) x 0 а b 0 а b

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 2. Признаки возрастания и убывания функции Пример. Определить интервалы монотонности функции Решение: у _ + _ у -1 1 Функция y(x) убывает при и возрастает при

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 3. Экстремумы функции Пусть задана функция y=f(x) на интервале (a, b). Определение 1. Значение f(x 0) в точке x 0 (a, b) называется максимумом функции f(x), если существует такая проколотая окрестность, что выполняется условие y y f(х0) f(х) y=f(x) f(х) f(х0) x 0 х о 0 х о Определение 2. Значение f(x 0) в точке x 0 (a, b) называется минимумом функции f(x), если существует такая проколотая окрестность, что выполняется условие

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 3. Экстремумы функции Максимум или минимум функции называется одним словом: экстремум.

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 3. Экстремумы функции Теорема (необходимое условие существование экстремума функции). Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке x 0 принадлежащей интервалу (x 0 - ; x 0+ ) и имеет в этой точке экстремум, то обязательно Замечание 1. Условие теоремы не является достаточным. Замечание 2. Касательная к графику дифференцируемой функции в точке экстремума параллельна оси Ox. Замечание 3. Экстремум может также реализоваться в точке, в которой производная не существует. Говорят, что в этих точках функция имеет острый экстремум. y y=x 3 y y=x 2/3 y y=x 2+2 0 x 0 x

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 3. Экстремумы функции Введём термины, которые описывают точки, в которых может реализоваться экстремум функции y=f(x). Определение. Точка x 0 области определения функции y=f(x) называется критической точкой первого рода (или точками, подозрительными на экстремум) этой функции, если: 1. в окрестности этой точки функция непрерывна; 2. в проколотой окрестности - дифференцируема; 3. в самой точке x 0 производная функции равна нулю, бесконечности или не существует. В критических точках первого рода у функции может быть экстремум, острый экстремум, отсутствовать экстремум. Определение. Критическая точка первого рода функции y=f(x), в которой производная равна нулю, называется стационарной точкой этой функции. В стационарных точках у функции либо есть, либо нет экстремума.

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 4. Первый достаточный признак экстремума Теорема. Если функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 и производная f (x) обращается в нуль в точке x 0, то: если прохождении через точку x 0 производная меняет знак “плюс” на “минус”, то в точке x 0 функция имеет максимум; если прохождении через точку x 0 производная меняет знак “минус” на “плюс”, то в точке x 0 функция имеет минимум. y=f(x) Знак производной + _ + x 0 х о х 1 Точка максимума минимума

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 3. Экстремумы функции Пример. Найти экстремумы функции , интервалы возрастания и убывания функции и сделать ее рисунок. Решение. Имеем две критические точки _ + _ -1 х min max y xmin xmax x

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Допустим, что некоторая функция f ( x ) непрерывна на промежутке a ; b ]. Тогда на этом промежутке она (по теореме Вейерштрассе) имеет наибольшее и наименьшее значения. Для нахождения наибольшее и наименьшего значения функция f (x), непрерывной на промежутке a; b], необходимо: 1) найти все критические точки функции на интервале a; b], 2) вычислить значения функции во все указанных критических точках, 3) вычислить значения функции на концах интервала, 4) из полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции На интервале [-5; 4] у y = f (x ) 1 На интервале [-3; 3] 0 1 х

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1; 4]. Решение. Производная определена всюду. Две стационарные точки: точка нас не интересует. Сравниваем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка:

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Пример 2. Из листа жести размером 27 см т ребуется изготовить открытый сверху бак с квадратным дном. При каких размерах бака его объем будет наибольшим?

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Решение. Требуется, чтобы объем бака был наибольшим. Обозначим сторону основания через х и выразим объем бака. 27 c а = b = x – длина стороны основания бака; x x – высота коробки. Критические точки х1 = 0 и х2 = 18. у + _ у 0 18 27 max

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Изопериметрические задачи (от изо. . . (греч. ) - постоянный и периметр) – класс задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения (например, площади) по заданной величине (например, периметру). Принцесса Дидона – дочь финикийского царя и жена жреца Геракла Акербаса. Задача Дидоны заключается в том, чтобы от прямой линии берега отгородить верёвкой данной длины участок земли наибольшей площади.

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Последняя теорема Архимеда: Из всех шаровых сегментов с равновеликой поверхностью полушар имеет наибольший объем. Архиме д( 287 до н. э. — 212 до н. э. ) древнегреческий математик, физик, механик и инженер из Сиракуз.

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Эванджели ста Торриче лли 1608 — 1647 итальянский математик и физик, ученик Галилея. Известен как автор концепции атмосферного давления и продолжатель дела Галилея в области разработки новой механики. Задача Торричелли Внутри треугольника найти точку, расстояние от которой до вершин было бы минимальным.

§ 21. Исследование функций с помощью первой производной 21. 5. Наибольшее и наименьшее значение функции Внутри любого треугольника такая точка существует: она называется точкой Торричелли. Оказывается, из точки Торричелли все стороны видны под углом 120 градусов. Если все углы треугольника меньше 120°, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов больше или равен 120°, то такой точкой является вершина этого угла. Задача имеет большое применение в решении различных технико- экономических задачах. Например, рассмотрим такую задачу: в местах А, В, С добывается некоторые материалы, потребляемые на центральной станции Т. Где следует построить Т, чтобы стоимость доставки грузов из А, В, С в пункт Т была наименьшей? Ответ: Т — точка Торричелли для треугольника АВС.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 1. Второй достаточный признак экстремума. Теорема. Если в окрестности точки x 0 функция f(x) непрерывна и дважды дифференцируема, причем в этой окрестности f (x) непрерывна, а в точке x 0 первая производная обращается в нуль, то:

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 2. Выпуклость и вогнутость кривых Определение 1. Непрерывная кривая на промежутке a ; b ] выпукла вверх , или просто выпукла , если график располагается ниже касательной к графику функции, проведенной через любую точку графика. у A 2 A 1 2 1 1 2 х 0 Определение 2. Непрерывная кривая на промежутке a ; b ] выпукла вниз, или вогнута, если ее график располагается выше касательной к графику функции, проведенной через любую точку графика.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 2. Выпуклость и вогнутость кривых Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке a; b] тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает). у A 2 A 1 2 1 1 2 х 0 График выпуклый График вогнутый - убывает tg - убывает - возрастает tg - возрастает f `(x) – убывает f ``(x) < 0 f `(x) – возрастает f ``(x) > 0

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 2. Выпуклость и вогнутость кривых Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема на промежутке a; b]. Если на этом промежутке f (x)<0, то на a; b] график функции выпуклый, а если f (x)>0, то на промежутке a; b] график функции вогнутый. Правило дождя вогнутость выпуклость +

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 2. Выпуклость и вогнутость кривых Пример. Найти интервалы выпуклости графика функции Решение. У у + х у 0 Х Очевидно, что при x<0 кривая вогнута, а при x>0 - выпукла.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 3. Точки перегиба Определение. Точка на графике функции f (x), отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба. у у=f (x) x В точке перегиба касательная разделяет график функции: он лежит по разные стороны касательной. Из определения также следует, что при прохождении через точку перегиба вторая производная меняет знак. Определение. Критическими точками второго рода (или подозрительными на перегиб точками) называются точки x 0, в которых вторая производная либо равна нулю, или бесконечна, или не существует.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 3. Точки перегиба Пример 1. Найти точки перегиба функции Решение. x 1=0 и x 2=2 - точки, подозрительные на перегиб. + – + 0 2 х п вогнута п выпукла е р е г и б

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 3. Точки перегиба Пример 2. Найти точку перегиба функции Решение. x=0 - критическая точка второго рода. y у х у 0 y=x 2/3 Критическая точка второго рода x=0 не является точкой перегиба, т. к. вторая 0 x производная в ней не меняет знак. В этом случае говорят о точке возврата графика функции.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 4. Асимптоты кривых Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции y = f ( x ), если расстояние между текущей точкой графика и этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки от начала координат. у а) у b) х c) a) вертикальная асимптота x=Const. b) горизонтальная асимптота y=Const. c) Наклонная асимптота y=kx+b (k ).

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 4. Асимптоты кривых Пусть график функции имеет наклонную асимптоту y=kx+b (k ). y y=kx+b y=f(x) при х . x Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при х - и при х + ).

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 4. Асимптоты кривых Пример. Найти асимптоты графика функции Решение. x = 2 - точка разрыва функции 2 рода. у Прямая x = 2 - вертикальная асимптота. у=0, 5 х+1 2 х Прямая у = 0, 5 х+1 является наклонной асимптотой при x → .

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 4. Асимптоты кривых Пример. Найти асимптоты графика функции Решение. у х=1 Прямые x = 1 и х=1 - 1 вертикальные асимптоты. у=1 -1 0 1 х Прямая у = 1 - горизонтальная х=-1 асимптота при x → .

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции Проведем полное исследование функции, используя следующую схему: 1. 1) найти область определения функции; 1. 2) исследовать на четность и нечетность функцию; 1. 3) найти точки разрыва функции; 1. 4) найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции; 5) найти точки пересечения графика функции с координатными осями; 1. 6) исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум; 1. 7) определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба; 8) при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках; 1. 9) построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1 -8.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции Пример. Провести полное исследование функцию Решение. 1) D(f )= R{-2; 2} = (- ; -2) (-2; 2) (2; + ). Область значения функции - y R. График функции симметричен относительно начала координат. 3) Прямые x = 2 являются вертикальными асимптотами, т. к. Найдем наклонную асимптоту: то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2 x.

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции y х=-2 y = 2 x -2 2 x х=2

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции 4) Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную: В промежутке [0, ) функция обращается в нуль в точках х1=0, и обращается в бесконечность в точке x = 2. + – – – + -2 0 2 x max min

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции y х=-2 y = 2 x х=2

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции 5) Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную:

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. п е р е г – + и б – + x -2 0 2 выпукла вогнута выпукла вогнута yпер(0) = 0

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции y 2 x 3 y= 2 х=-2 x -4 y = 2 x -2 2 x х=2

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции Пример. Провести полное исследование функции Решение. 1) Область определения функции D(f ) =R. 2) Функция ни чётная, ни нечётная. Очевидно также, что она не периодична. 3) График пересекает ось Ox в точках 4) Функция положительна при x>0 и отрицательна при x<0. 5) Асимптот нет, т. к. у -1 0 х

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции 6) Для определения участков монотонности найдём производную: Критические точки первого рода: а) стационарная точка х1=-3/5; б) точка х2=-1, в которой производная обращается в бесконечность. + – + -1 0 х остр min max

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции у -1 -3/5 0 х -0, 3

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции 7). Для нахождения участков выпуклости – вогнутости найдём вторую производную: Критические точки второго рода две: – + -6/5 -1 х выпукла п вогнута е р е г и б

§ 22. Исследование функций с помощью второй производной 22. 5. Общая схема исследования функции у f ( x) = x Ч ( x + 1) 2 3 -1 0 х