§ 2. ОТНОШЕНИЯ 1. Кортежи и декартово произведение

§ 2. ОТНОШЕНИЯ 1. Кортежи и декартово произведение множеств. 2. Бинарные отношения. Основные понятия и определения. 3. Способы задания бинарных отношений. Матрица бинарного отношения. 4. Свойства отношений. 5. Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности и порядка.

Вопрос 1. Кортежи и декартово произведение множеств Пусть даны множества А 1, А 2, …, Аn. О. 1. 1. Упорядоченная последовательность из n элементов х1, х2, …, хn, где называется упорядоченным набором длины n, кортежем длины n или просто n-кой. Обозначение: (х1, х2, …, хn) или < х1, х2, …, хn >.

Элемент хi называется i-й координатой (i-й компонентой) кортежа (х1, х2, …, хn). Два кортежа (х1, х2, …, хn) и (у1, у2, …, уm) равны, если n = m и хi = уi для всех О. 1. 2. Кортеж, не содержащий ни одной координаты, т. е. кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества 1. Во множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны даже в том случае, если они имеют одинаковый состав. 2. Во множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться. Пример 1. Кортежи (пары) (1, 2) и (2, 1) не совпадают, хотя множества 1, 2 и 2, 1 равны.

О. 1. 3. Декартовым (прямым) произведением множеств А 1, А 2, …, Аn называется множество кортежей вида (х1, х2, …, хn), где х1 А 1, х2 А 2, …, хn Аn. Обозначение: А 1 А 2 … Аn. По определению: А 1 А 2 … Аn = (х1, х2, …, хn)| х1 А 1, х2 А 2, …, хn Аn. Если А 1 = А 2 = … = Аn = А, то множество называется n-й декартовой степенью множества А. Обозначение: Аn.

По определению: . Пример 2. Пусть А = 1, 2 , В = 3, 4. Тогда: 1. А В = (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4). 2. В А = (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2). 3. А 2 = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Пример 3. Пусть А = 0; 1. Тогда множество А 2 = (х, у) | 0 х 1, 0 у 1 - множество точек плоскости, имеющих неотрицательные координаты, не превосходящие 1.

Вопрос 2. Бинарные отношения. Основные понятия и определения Пусть А и В – два множества. Тогда А В = (х, у) | х А, у В. О. 2. 1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество Р их декартова произведения А В: Р А В. Говорят так же, что Р является отношением из А в В.

Если элемент х А находится в отношении Р с элементом у В, то это означает, что (х, у) Р. Инфиксная форма записи: х. Ру. Пример 4. Примеры записи отношений: х у, х > у, х = у, х | у (х делит у), х || у (х параллельна у), х у (х перпендикулярна у) и т. п. Если элемент х А не находится в отношении Р с элементом у В, то пара (х, у) Р. Инфиксная форма записи:

О. 2. 2. Если А = В, то отношение Р А 2 называется бинарным отношением на множестве А. Для любого множества А определим: тождественное отношение (диагональ): IA = (x, x) | x A ; универсальное (полное) отношение: UА = А 2 = А А = (х, у) | х А, у А. Пусть Р – бинарное отношение.

О. 2. 3. Множество всех первых (вторых) элементов пар из Р называется областью определения (областью значений) отношения Р. Обозначение: Р ( Р). Область определения отношения Р: Р = х | существует такое у, что (х, у) Р. Область значений отношения Р: Р = у | существует такое х, что (х, у) Р.

О. 2. 4. Обратным отношением для бинарного отношения Р называется множество Р 1 = (х, у) | (у, х) Р. О. 2. 5. Множество называется дополнением бинарного отношения Р А В.

Пример 5. Пусть А = 0, 1, 2 , В = а, с , Р = (0, а), (0, с), (2, а), (2, с). 1. Область определения отношения Р: Р = 0, 2. 2. Область значений отношения Р: Р = а, с. 3. Обратное отношение для Р: Р 1 = (а, 0), (с, 0), (а, 2), (с, 2). 4. А В = (0, а), (0, с), (1, а), (1, с), (2, а), (2, с). Дополнение отношения Р:

О. 2. 6. Произведением (композицией) бинарных отношений Р 1 А В и Р 2 В С называется множество Р 1 ◦ Р 2 А С такое, что Р 1 ◦ Р 2 = (х, у) | х А, у С, существует элемент z В такой, что (х, z) Р 1 и (z, у) Р 2. Пример 6. Пусть A = a, b, c , B = 1, 2, 3, 4 , C = f, g, h. Рассмотрим отношения: P 1 = (a, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 3) , т. е. Р 1 А В; Р 2 = (2, f), (2, g), (4, f), (4, g), (4, h) , т. е. Р 2 В С. Найдем композицию отношений Р 1 ◦ Р 2: Р 1 ◦ Р 2 = (a, f), (a, g), (b, f), (b, g).

Т. 2. 1. Для любых бинарных отношений Р, Q, R выполняются свойства: 1. (Р 1) 1 = Р. 2. (Р ◦ Q) 1 = Q 1 ◦ Р 1. 3. (Р ◦ Q) ◦R = Р ◦ (Q ◦ R).

Вопрос 3. Способы задания бинарных отношений. Матрица бинарного отношения Пусть Р А В – бинарное отношение. Способы задания бинарных отношений 1. Если множества А и В конечны, то отношение Р можно задать, перечислив все пары (х, у) Р. 2. Отношение Р можно задать, указав характеристическое свойство всех пар (х, у) Р.

3. Если А и В – числовые множества, то отношение Р может быть задано с помощью графика на координатной плоскости Оху, который представляет собой совокупность точек с координатами (х, у), такими, что (х, у) Р. 4. Если А и В – конечные множества, то отношение Р может быть задано в виде ориентированного графа (элементы х А, у В изображаются точками, а пары (х, у) Р соединяются стрелками).

Пример 7. Пусть между элементами множеств А = 3, 5, 7, 9 и В = 4, 6 задано отношение Р = (х, у) | х А, у В, х > у. 1. Отношение Р представляет собой множество пар Р = (5, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6). 2. График отношения Р имеет вид:

3. Граф отношения Р имеет вид:

Матрица бинарного отношения Отношение Р А В может быть задано с помощью матрицы. О. 3. 1. Пусть Р – бинарное отношение между элементами множеств А = а 1, а 2, …аm и В = b 1, b 2, …, bn. Матрица Р = (pij)m, n, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей отношения Р, если ее элементы удовлетворяют условию

Замечание Любая матрица, состоящая из 0 и 1, является матрицей некоторого бинарного отношения. Пример 8. Для отношения Р = (5, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6) из примера 7 матрица имеет вид:

Пример 9. Матрица бинарного отношения Р А 2, где А = 1, 2, 3 , заданного с помощью графа, имеет вид:

Основные свойства матриц бинарных отношений Свойство 1. Если Р, Q А В, Р = (pij), Q = (qij), то Р Q = Р + Q = (pij + qij), Р Q = (pij qij), где сложение осуществляется по правилам 0 + 0 = 0, 1 + 1 = 1, 0 +1 = 1 + 0 =1, а умножение – обычным образом (почленно).

Пример 10. Пусть матрицы отношений Р и Q соответственно. Тогда

Свойства 2. Если Р А В и Q В С, то Р ◦ Q = Р Q , где умножение матриц Р и Q производится по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов при перемножении матриц находится по правилам из свойства 1. Пример 11. Если

то Свойства 3. Матрица обратного отношения Р 1 равна транспонированной матрице отношения Р, т. е. Р 1 = Р Т. Свойство 4. Если Р Q, Р = (pij), Q = (qij), то pij qij.

Свойство 5. Матрица тождественного отношения IА единична:

Вопрос 4. Свойства отношений Пусть Р – бинарное отношение на множестве А. О. 4. 1. Отношение Р называется: 1) рефлексивным, если для любого х А: (х, х) Р. 2) антирефлексивным, если для любого х А: (х, х) Р. 3) симметричным, если для любых х, у А: из (х, у) Р следует, что (у, х) Р. 4) антисимметричным, если для любых х, у А: из (х, у) Р и х у следует, что (у, х) Р. 5) транзитивным, если для любых х, у, z А: из (х, у) Р и (у, z) Р следует, что (х, z) Р.

Т. 4. 1. Пусть Р – бинарное отношение на множестве А. Тогда: 1) Р – рефлексивно IА Р. 2) Р – антирефлексивно Р IА = . 3) Р – симметрично Р 1 = Р. 4) Р – антисимметрично Р Р 1 IА. 5) Р – транзитивно Р ◦ Р Р.

Т. 4. 2. Пусть Р – бинарное отношение на множестве А и Р матрица отношения Р. Тогда: 1) Р – рефлексивно на главной диагонали матрицы Р стоят все 1. 2) Р – антирефлексивно на главной диагонали матрицы Р стоят все 0. 3) Р – симметрично Р = Р Т, т. е. Р симметричная матрица. 4) Р – антисимметрично в матрице Р Р 1 = Р Р Т все элементы вне главной диагонали равны 0. 5) Р – транзитивно Р ◦ Р = Р.

Пример 12. Пусть отношение Р задано матрицей Рассмотрим свойства отношения Р. 1. Так как на главной диагонали матрицы Р стоят все 1, то отношение Р – рефлексивно. 2. Матрица Р несимметрична, значит отношение Р не является симметричным.

3. Проверим, является ли отношение Р антисимметричным. Так как в полученной матрице не все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, то отношение Р не является антисимметричным.

4. Проверим, является ли отношение Р транзитивным. Так как Р ◦ Р Р , то отношение Р не является транзитивным.

Вопрос 5. Специальные бинарные отношения. Отношения эквивалентности и порядка Отношение эквивалентности О. 5. 1. Бинарное отношение Р на множестве А называется отношением эквивалентности (эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обозначение: Е, , ~

Пример 13. 1. Отношение равенства является эквивалентностью на любом множестве А, так как оно рефлексивно (х = х), симметрично (х = у у = х) и транзитивно (х = у и у = z х = z). 2. Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности. 3. Отношение принадлежности к одной студенческой группе на множестве студентов СКФУ - отношение эквивалентности.

Пусть Е – отношение эквивалентности на множестве А. О. 5. 2. Классом эквивалентности элемента х А называется множество Е(х) = у (х, у) Е. О. 5. 3. Если Е отношение эквивалентности на множестве А, то множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством множества А по эквивалентности Е. Обозначение: А/Е. По определению: А/Е = Е(х) х А.

Пример 14. Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы. Фактор-множество множества студентов СКФУ по этому отношению эквивалентности представляет собой множество студенческих групп СКФУ. Т. 5. 1. Фактор-множество А/Е является разбиением множества А. Верно и обратное: если R = Ai - некоторое разбиение множества А, то можно задать соответствующее ему отношение эквивалентности Е по правилу: (х, у) Е х, у Ai для некоторого i.

Отношение порядка Пусть на множестве А задано бинарное отношение Р. О. 5. 4. Отношение Р называется отношением порядка или порядком на А, если оно антисимметрично и транзитивно. О. 5. 5. Отношение порядка Р на множестве А называется нестрогим (строгим), если оно рефлексивно (антирефлексивно).

О. 5. 6. Отношение порядка Р на множестве А называется отношением полного или линейного порядка, если оно обладает свойством полноты (линейности): любые два элемента х, у А сравнимы: х у или у х. О. 5. 7. Отношение порядка Р на множестве А называется отношением частичного порядка, если оно не обладает свойством полноты (линейности).

Пример 15. 1. На системе подмножества А отношение включения задает нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения задает строгий частичный порядок. 2. Отношения и на множестве чисел являются отношениями нестрого линейного порядка, а отношения и отношениями строгого линейного порядка. О. 5. 8. Множество, на котором задано отношение частичного (линейного) порядка, называется частично (линейно) упорядоченным множеством.