§ 2. МЕТОДЫ

§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1. Непосредственное интегрирование. 2. Интегрирование методом подстановки. 3. Интегрирование по частям.

Вопрос 1. Непосредственное интегрирование О. 1. 1. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (подынтегрального выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.

Внесение под знак дифференциала 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10

Общая формула: Пример 2. Пример 3.

Вопрос 2. Интегрирование методом подстановки Метод интегрирования подстановкой или метод замены переменной заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).

Т. 2. 1. (замена переменной в неопределенном интеграле) Пусть функция x = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула (1) Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует вернуться от новой переменной t назад к старой переменной х. Пример 4.

Замечание Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = φ(x), тогда формула замены переменной примет вид где t = φ(x). Другими словами, формулу (1) можно применять справа налево.

Пример 5.

Пример 6.

Вопрос 3. Интегрирование по частям Т. 3. 1. (интегрирование по частям в неопределенном интеграле) Пусть функции u = u(x) и v = v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х. Если на этом промежутке существует интеграл v(x)u′(x)dx, то на нем существует и интеграл u(x)v′(x)dx, причем справедливо равенство (2) Формула (2) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Так как v′(x)dx = dv и u′(x)dx = du, то формулу (2) можно записать в виде (3) Формула (3) – формула интегрирования по частям – позволяет свести вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv; затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям (3). Иногда эту формулу приходиться использовать несколько раз.

Правила применения формулы интегрирования по частям (3) 1. Подынтегральное выражение разбить на две части, одну из которых обозначить через u, а другую, содержащую дифференциал независимой переменной, через dv. 2. По функции u найти ее дифференциал du = u′dx, а по dv найти v = dv. 3. Результат интегрирования записать по правой части формулы (3).

Типы интегралов, интегрируемых по частям 1. Интегралы вида где Р(х) – многочлен, k – число. В этом случае удобно обозначить u = P(x), а за dv взять все остальные сомножители (соответственно: dv = ekxdx, dv = akxdx, dv = sinkxdx, dv = coskxdx).

Пример 7.

2. Интегралы вида В этом случае удобно обозначить dv = P(x)dx, а за u взять остальные сомножители (соответственно: u = arcsinkx, u = arccoskx, u = arctgkx, u = arcctgkx, u = lnkx, u = logakx).

Пример 8.

3. Интегралы вида где а и b – числа. В этом случае удобно обозначить u = eax, за dv взять все остальные сомножители (соответственно: dv = sinbxdx, dv = cosbxdx). Интегралы данного типа находятся двукратным интегрированием по частям.