§ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. 1. ОСНОВНЫЕ

Скачать презентацию § 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ  1. 1. ОСНОВНЫЕ Скачать презентацию § 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. 1. ОСНОВНЫЕ

ok-teoriya_mnoghestv.ppt

  • Размер: 1.4 Мб
  • Автор: Марина Смыкалова
  • Количество слайдов: 34

Описание презентации § 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. 1. ОСНОВНЫЕ по слайдам

§ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ  § 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

1. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. 1. 1. Множества, способы задания множеств 1. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. 1. 1. Множества, способы задания множеств

 Определение Кантора.  Под  множеством понимают  объединение в одно целое объектов, Определение Кантора. Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью. Ге рг К нтор (нем. Georg Ferdinand оо ао Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.

Множество  — это совокупность объектов любой природы,  рассматриваемая как единое целое. ОбычноМножество — это совокупность объектов любой природы, рассматриваемая как единое целое. Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами. Пример. Множество натуральных чисел. N 123, , , . . .

Объекты,  образующие  множество, называются  элементами множества  (обозначаются маленькими буквами). Объекты, образующие множество, называются элементами множества (обозначаются маленькими буквами). Если элемент a входит во множество A , то это обозначается так: Запись вида означает, что элемент не принадлежит множеству. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным (в противном случае – бесконечным ). a. A Aa Aa

Если множество  конечно,  то число его элементов называется мощностью множества  иЕсли множество конечно, то число его элементов называется мощностью множества и обозначается. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым.

Множество A  является подмножеством  множества B ,  если любой элемент AМножество A является подмножеством множества B , если любой элемент A принадлежит также множеству B.

Равенство множеств. Множества A  и B  равны  тогда и только тогда,Равенство множеств. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда их элементы совпадают. В этом случае пишут: Так как при равенстве множеств A и B во множестве A нет элементов, не принадлежащих B , а в B нет элементов не принадлежащих A , то признаком равенства множеств является одновременное выполнение двух условий: ABBAи

Если ,      то множество A  называется собственным подмножествомЕсли , то множество A называется собственным подмножеством множества B. A B B A и.

Диаграмма Венна  (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всехДиаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Эйлер, Леонард (1707— 1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик. Джон Венн английский логик и философ. Он известен тем, что ввёл диаграммы Эйлера — Венна, которые используются во многих областях, таких как теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика и информатика.

Пример.  Диаграмма Венна которая демонстрирует пересечение заглавных букв русского,  латинского и греческогоПример. Диаграмма Венна которая демонстрирует пересечение заглавных букв русского, латинского и греческого алфавитов.

Пример кругов Эйлера.  Буквами обозначены,  например,  свойства:  B  —Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь

Одним из частных случаев является ситуация,  когда элементами некоторого множества являются другие множества.Одним из частных случаев является ситуация, когда элементами некоторого множества являются другие множества. Пример 1. Пусть – множество футболистов команды «Спартак» , – множество команд высшей лиги. Пример 2. Пусть A = {1, 3, 5, 7} , D={2, 4, 6, 8}. B={A, B}={{1, 3, 5, 7}, {2, 4, 6, 8}} Вопрос. 1. Равны ли множества Ø и {Ø} ? 2. Является ли множеством следующая совокупность элементов {1, 2, 3, 1, 7, 5} ? 3. Равны ли множества A={1, 2, 3} и B={3, 2, 1} ?

Если в рамках некоторого класса задач рассматриваются различные множества,  то полная совокупность всехЕсли в рамках некоторого класса задач рассматриваются различные множества, то полная совокупность всех элементов, из которых могут формироваться все множества и подмножества, образует универсальное множество – “Универсум” или полное пространство. Обозначается универсальное множество символом U ( генеральная совокупность ).

Способы задания множеств:  1. Перечислением всех его элементов.  Пример.  A={a, b,Способы задания множеств: 1. Перечислением всех его элементов. Пример. A={a, b, c, d} ; B={0, 1, 3, 8, 9} 2. Порождающей процедурой. Порождающая процедура представляет собой правило получения элементов множества на основе уже имеющихся элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые получены с помощью этой процедуры. Пример. В= {b | b= π /2±k π , k — принадлежит множеству натуральных чисел } или C={x | H(x)}

3.  Описанием характеристик и свойств,  которыми обладают все элементы множества.  Например,3. Описанием характеристик и свойств, которыми обладают все элементы множества. Например, Axx. Nx,

1. 2. 1. Основные операции над множествами и их свойства 1. 2. 1. Основные операции над множествами и их свойства

Основные операции над множествами: – объединение множеств; – пересечение множеств; – разность множеств; –Основные операции над множествами: – объединение множеств; – пересечение множеств; – разность множеств; – симметричная разность; – дополнение.

1.  Объединение множеств   –  это множество,  состоящее из тех1. Объединение множеств – это множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств: Диаграмма Венна: ABxx. Ax. Bили Aabc. Bbcdm. ABabcdm, , , Пример :

2.  Пересечение множеств      – это  множество тех2. Пересечение множеств – это множество тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A , и множеству B : Диаграмма Венна: AB ABxx. Ax. Bи. Пример: Aabc. Bbcdm. ABbc, , , , ,

3.  Разность множеств  (A / B) – это множество,  состоящее из3. Разность множеств (A / B) – это множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A , которые не содержатся во множестве B. Если Диаграмма Венна: A BABxx. Ax. B\и BAто. BA, \

4.  Симметричная разность   – это множество элементов,  принадлежащих множествам A4. Симметричная разность – это множество элементов, принадлежащих множествам A или B за исключением их общих элементов Диаграмма Венна: AB ABxx. Ax. Bx. Aиилии

5.  Дополнением  множества  A  до множества  U  (обозначается5. Дополнением множества A до множества U (обозначается ) называется множество всех элементов U , не принадлежащих множеству A. Пример. Если A – это множество студентов кафедры ПОВТ, U – множество всех студентов ЮРГПУ (НПИ), то дополнением A будет множество всех студентов университета, кроме студентов кафедры ПОВТ Диаграмма Венна: A U

Основные свойства операций над множествами.  Для всех множеств  A, B, С Основные свойства операций над множествами. Для всех множеств A, B, С и универсального множества U справедливы следующие равенства:

A A A AA A AUU AUA A A A AA A AUU AU

CACBBAA

AA U UAAU AA AA U UAAU

BABA

1. 2 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ 1. 2 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Вектором (кортежем)  называется упорядоченный набор элементов.  Элементы,  образующие вектор,  называютсяВектором (кортежем) называется упорядоченный набор элементов. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Обозначение вектора: ( a, b, c) , где a, b, c – координаты вектора. Два вектора равны , если они имеют одинаковую длину и равны их соответствующие координаты.

Прямым  или  декартовым произведением  множеств  A  и  BПрямым или декартовым произведением множеств A и B (обозначается ), называется множество всех упорядоченных пар (a, b ) таких, что AB a. Ab. Bи ABaba. Ab. B, ;

Пример. Пример.

Пусть имеется множество A ,  элементы которого являются символами (буквы,  цифры, Пусть имеется множество A , элементы которого являются символами (буквы, цифры, знаки). Такое множество называется алфавитом. Элементы множества – слова. Множество – это множество точек (пар координат) плоскости (здесь R – множество всех действительных чисел). Декартово произведение. Теорема 1. 1. Пусть – конечные множества и их мощности известны: Тогда Частный случай: . A n RRR 2 n 21 A. . . AA, , , Am. Amnn 1122, , . . . , AAAmmmnn 1212. . . AA nn

Проекцией вектора     на ось  i  (обозначается  Проекцией вектора на ось i (обозначается ) называется его компонента a i. Проекцией вектора на оси называется вектор длины k. Если – множество векторов одинаковой длины, то проекцией на i-ю ось называется множество проекций всех на эту ось : Aaaan 12, , . . . , прi. A ii. Aki 1. . . пр aaaiiik 12, , . . . , VAj V Aj прпрiijj. VAAV