§ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. 1. ОСНОВНЫЕ
ok-teoriya_mnoghestv.ppt
- Размер: 1.4 Мб
- Автор: Марина Смыкалова
- Количество слайдов: 34
Описание презентации § 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. 1. ОСНОВНЫЕ по слайдам
§ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. 1. 1. Множества, способы задания множеств
Определение Кантора. Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью. Ге рг К нтор (нем. Georg Ferdinand оо ао Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.
Множество — это совокупность объектов любой природы, рассматриваемая как единое целое. Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами. Пример. Множество натуральных чисел. N 123, , , . . .
Объекты, образующие множество, называются элементами множества (обозначаются маленькими буквами). Если элемент a входит во множество A , то это обозначается так: Запись вида означает, что элемент не принадлежит множеству. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным (в противном случае – бесконечным ). a. A Aa Aa
Если множество конечно, то число его элементов называется мощностью множества и обозначается. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым.
Множество A является подмножеством множества B , если любой элемент A принадлежит также множеству B.
Равенство множеств. Множества A и B равны тогда и только тогда, когда их элементы совпадают. В этом случае пишут: Так как при равенстве множеств A и B во множестве A нет элементов, не принадлежащих B , а в B нет элементов не принадлежащих A , то признаком равенства множеств является одновременное выполнение двух условий: ABBAи
Если , то множество A называется собственным подмножеством множества B. A B B A и.
Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Эйлер, Леонард (1707— 1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик. Джон Венн английский логик и философ. Он известен тем, что ввёл диаграммы Эйлера — Венна, которые используются во многих областях, таких как теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика и информатика.
Пример. Диаграмма Венна которая демонстрирует пересечение заглавных букв русского, латинского и греческого алфавитов.
Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B — живое существо, A — человек, C — неживая вещь
Одним из частных случаев является ситуация, когда элементами некоторого множества являются другие множества. Пример 1. Пусть – множество футболистов команды «Спартак» , – множество команд высшей лиги. Пример 2. Пусть A = {1, 3, 5, 7} , D={2, 4, 6, 8}. B={A, B}={{1, 3, 5, 7}, {2, 4, 6, 8}} Вопрос. 1. Равны ли множества Ø и {Ø} ? 2. Является ли множеством следующая совокупность элементов {1, 2, 3, 1, 7, 5} ? 3. Равны ли множества A={1, 2, 3} и B={3, 2, 1} ?
Если в рамках некоторого класса задач рассматриваются различные множества, то полная совокупность всех элементов, из которых могут формироваться все множества и подмножества, образует универсальное множество – “Универсум” или полное пространство. Обозначается универсальное множество символом U ( генеральная совокупность ).
Способы задания множеств: 1. Перечислением всех его элементов. Пример. A={a, b, c, d} ; B={0, 1, 3, 8, 9} 2. Порождающей процедурой. Порождающая процедура представляет собой правило получения элементов множества на основе уже имеющихся элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые получены с помощью этой процедуры. Пример. В= {b | b= π /2±k π , k — принадлежит множеству натуральных чисел } или C={x | H(x)}
3. Описанием характеристик и свойств, которыми обладают все элементы множества. Например, Axx. Nx,
1. 2. 1. Основные операции над множествами и их свойства
Основные операции над множествами: – объединение множеств; – пересечение множеств; – разность множеств; – симметричная разность; – дополнение.
1. Объединение множеств – это множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств: Диаграмма Венна: ABxx. Ax. Bили Aabc. Bbcdm. ABabcdm, , , Пример :
2. Пересечение множеств – это множество тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A , и множеству B : Диаграмма Венна: AB ABxx. Ax. Bи. Пример: Aabc. Bbcdm. ABbc, , , , ,
3. Разность множеств (A / B) – это множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A , которые не содержатся во множестве B. Если Диаграмма Венна: A BABxx. Ax. B\и BAто. BA, \
4. Симметричная разность – это множество элементов, принадлежащих множествам A или B за исключением их общих элементов Диаграмма Венна: AB ABxx. Ax. Bx. Aиилии
5. Дополнением множества A до множества U (обозначается ) называется множество всех элементов U , не принадлежащих множеству A. Пример. Если A – это множество студентов кафедры ПОВТ, U – множество всех студентов ЮРГПУ (НПИ), то дополнением A будет множество всех студентов университета, кроме студентов кафедры ПОВТ Диаграмма Венна: A U
Основные свойства операций над множествами. Для всех множеств A, B, С и универсального множества U справедливы следующие равенства:
A A A AA A AUU AU
AA U UAAU
1. 2 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Вектором (кортежем) называется упорядоченный набор элементов. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Обозначение вектора: ( a, b, c) , где a, b, c – координаты вектора. Два вектора равны , если они имеют одинаковую длину и равны их соответствующие координаты.
Прямым или декартовым произведением множеств A и B (обозначается ), называется множество всех упорядоченных пар (a, b ) таких, что AB a. Ab. Bи ABaba. Ab. B, ;
Пример.
Пусть имеется множество A , элементы которого являются символами (буквы, цифры, знаки). Такое множество называется алфавитом. Элементы множества – слова. Множество – это множество точек (пар координат) плоскости (здесь R – множество всех действительных чисел). Декартово произведение. Теорема 1. 1. Пусть – конечные множества и их мощности известны: Тогда Частный случай: . A n RRR 2 n 21 A. . . AA, , , Am. Amnn 1122, , . . . , AAAmmmnn 1212. . . AA nn
Проекцией вектора на ось i (обозначается ) называется его компонента a i. Проекцией вектора на оси называется вектор длины k. Если – множество векторов одинаковой длины, то проекцией на i-ю ось называется множество проекций всех на эту ось : Aaaan 12, , . . . , прi. A ii. Aki 1. . . пр aaaiiik 12, , . . . , VAj V Aj прпрiijj. VAAV