ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ В

ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул. Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами.

Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе. А=А

ЗАКОН ТОЖДЕСТВА: Всякая мысль тождественна самой себе. Данный закон означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

Закон непротиворечия: Одновременно не могут быть истинными суждение и его отрицание. А&Ā=0

Закон исключения третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано. А+Ā=1

ЗАКОН ИСКЛЮЧЕНИЯ ТРЕТЬЕГО: Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Примеры выполнения закона исключения третьего: 1. Число 2598 либо чётное, либо нечётное. 2. Эта жидкость является или не является кислотой.

Закон исключённого третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жёстко ситуацией: «либо – либо» , «истина – ложь» . Там же, где встречается неопределённость (например, в рассуждениях о будущем), закон исключённого третьего часто не может быть применён. Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нём утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключённого третьего. Парадокс (с греч. paradoxos – неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя.

Закон двойного отрицания: если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. А =А

Свойства констант: отрицание лжи есть истина. 0=1 отрицание истины есть ложь. 1=0 Аv 0=А А&0=0 Аv 1=1 А&1=A

Закон идемпотентности: Аv. А=А А&А=A Например, сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен…. значение высказывания не изменится.

Законы коммутативности (сочетательные законы): операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами. Аv. В=Вv. А А&В=В&А

Законы ассоциативности (распределительные законы): если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять. А v (В v C) = (А v В) v C А & (В & C) = (А & В) & C

Законы дистрибутивности: А v (В & C) = (А v В) & (А v C) А & (В v C) = (А & В) v (А & C)

ВНИМАНИЕ: Закон ассоциативности аналогичен закону алгебры чисел, а закон дистрибутивности справедлив только в алгебре логики.

Законы поглощения: А & (В v B) = А или А & (А v В) = А или (А v B) & B = А & B А v В & B = А или А v (А & В) = А или (А & B) v B = А v B

Законы де Моргана: отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний. А v В = А & В или Аv. B=А&B А & В = А v В или А&B=Аv. B

Правило замены операции импликации: А В =Аv. В

Правило замены операции эквивалентности: А В =В А А В = (А v В) & (А v B) А В = (А & В) v (А & B) А В = (А В) & (B A)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ построить таблицу истинности для правой и левой частей равенства; выполнить эквивалентные преобразования над правой и левой частями равенства для приведения их к одному виду; с помощью диаграмм Эйлера - Венна; путем правильных логических рассуждений.

УПРОЩЕНИЕ СЛОЖНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Пример 1 Требуется упростить: А & B v A & B По закону дистрибутивности вынесем А за скобки: А & B v A & B = А & (B v B) = А & 1 = A

Пример 2 Требуется упростить: (А v B) & (A v B) Способ 1. Применим закон дистрибутивности: (А v B) & (A v B) = А v (B & B) = А v 0 = A Способ 2. Перемножим скобки на основании того же закона дистрибутивности: (А v B) & (A v B) = А & А v А & B v B & А v B & B = = А v А & (B v B) v 0 = А v A & 1 = А v А = A

Пример 6 Требуется упростить: А & C v B & C v А & B Добавим к последнему слагаемому С. Это делается стандартным способом: умножим А & B на 1, а 1 распишем как С v С: A&Cv. B&Cv. A&B=A&Cv. B&Cv. A&B&1=A&Cv v B & C v А & B & (C v C) = A & C v B & C v A & &B&C=A&Cv. A&B&Cv. A&B&C= = A & C & (1 v B) v B & C & (1 v А) = A & C v B & C

Пример 7 Требуется упростить: X v Y Применим закон де Моргана: X v Y=X&Y