Закон изменения и сохранения полного импульса системы материальных

Закон изменения и сохранения полного импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из N тел, которые можно считать материальными точками

Пусть эти точки взаимодействуют меж собой и подвержены воздействию извне

Запишем закон изменения импульса каждой материальной точки, используя II закон Ньютона в виде:

На первую материальную точку действует вторая, третья, четвертая и. т. д. вплоть до N-ой, а также внешняя сила F 1 н

Аналогичным образом выглядят выражения для остальных материальных точек

В результате мы получим систему уравнений:

…………………………………………………………….

Просуммируем по отдельности левую и правую части этой системы уравнений

Где Полный импульс системы материальных точек

Можно представить в виде: Индексы i и N в математическом символе суммирования указывают на то, что оно начинается от 1 -ого значения импульса до N -ого

В правой части проведем по раздельности суммирование сил попарного взаимодействия и внешних сил

Знак двойного суммирования означает, что при фиксированном значении одного из индексов (например i) другой пробегает значения от 1 до N. При этом индекс i принимает поочередно значения от 1 до N. Из процесса суммирования исключаются силы с одинаковыми индексами: i = k

Для определения суммы сил внутреннего попарного взаимодействия выражение представим в виде

Разбиение выражения для суммы сил попарного взаимодействия на две одинаковых суммы позволяет легко определить их общую сумму, используя III закон Ньютона:

Таким образом силы внутреннего попарного взаимодействия не могут изменить суммарный импульс системы материальных точек.

Изменение суммарного импульса системы материальных точек обусловлено только результирующим внешним воздействием

Закон изменения полного или суммарного импульса системы материальных точек

Замкнутой системой материальных точек называется система, которая не испытывает внешнего воздействия

В этом случае изменение полного импульса системы материальных точек равно нулю

Формулировка закона сохранения полного импульса системы материальных точек: В замкнутой системе материальных точек полный импульс остается неизменным P. S. Это утверждение остается в силе, когда силы внешнего воздействия компенсируют друга, т. е.

импульс и центр масс системы материальных точек понятие о центре масс рассмотрим совокупность материальных точек различной массы в декартовой системе координат

зададим положение каждой материальной точки с помощью радиуса-вектора ri

По теореме о среднем положение центра масс совокупности материальных точек определяется соотношением:

Взаимодействие тел друг с другом и внешнее воздействие приводят к изменению импульса отдельных материальных точек

Возьмем производную от радиусавектора центра масс замкнутой системы материальных точек по времени

Формулировка закона сохранения: Центр масс замкнутой системы материальных точек находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно

Этот закон существенно упрощает решение задачи о движении тел под действием сил гравитационного или кулоновского взаимодействия

Примеры

Пример№ 1 Движение точечных зарядов одинаковой массы в поле силы кулоновского взаимодействия.

Пример№ 2 Движение тел, обусловленное силой гравитационного взаимодействия.

В системе m и М имеет место только внутреннее гравитационное взаимодействие. В данном примере тела движутся по окружностям. Центр масс неподвижен – через него проходит ось вращения. Положение центра масс определяется соотношением: mr 1=Mr 2. Отношение линейных скоростей движения тел: V 1: V 2=r 1: r 2=M: m

Закон сохранения импульса определяет движение тел при абсолютно неупругом cоударении (после абсолютно неупругого соударения тела движутся как единое целое)