Задачи на условный экстремум с неголономными связями. Задача

Задачи на условный экстремум с неголономными связями. Задача Больца.

Формулы на семинар. 1. Функционалы зависящие от нескольких зависимых переменных. Составить уравнение Эйлера для каждой переменной, и решить полученную систему уравнений. 2. Функционалы зависящие он нескольких независимых переменных.

1. Задачи с неголонмными связями. (1) (2) Связи вида (2) называются неголонмные. Рассмотрим более общий случай: (3)

Экстремум достигается на кривых, на которых реализуется безусловный экстремум функционала: Докажем, что кривые на которых достигается экстремум, при соответствующем выборе являются экстремалями. Разрешим уравнение (3) относительно получим

Т.о. функции произвольные с фиксированными граничными значениями и следовательно их вариации произвольные. Варьируем уравнения связей . разложим в ряд Тейлора, получим Умножим на и проинтегрируем, в полученном выражении проинтегрируем каждое слагаемое второго интеграла по частям, получим: (4)

Из основного необходимого условия экстремума имеем: (5) Сложив почленно (4) и (5) и обозначив получим: (6) Не для всех вариация произвольная. Произвольная она станет, при выборе соответствующих значений , с использованием связей. После этого можем воспользоваться основной леммой вариационного исчисления.