Задача оптимизации Подготовили преподаватель математики Савкина О П

Задача оптимизации Подготовили: преподаватель математики Савкина О. П. и студентка группы 3 Б 1 Малютина О.

Предприятие «Энерготрейд» производит следующие виды работ:

Работы 1 Работы 2

При этом на материалы для первого вида работ предприятие тратит 5 тыс. руб. , на материалы второго вида – 12 тыс. руб. ; работа монтёров по второму виду превышает работу монтёров по первому не более, чем в два раза; необходимые услуги ИТР на первый вид работ 3 ч, на второй вид работ – 1 ч. Известно, что предприятие располагает материалами на сумму 201 тыс. руб. , затраты ИТР не должны превышать 40 чел/час. Если предприятие будет производить менее 10 работ обоих видов, то оно обанкротится. Прибыль от производства первого вида работ составляет 3 тыс. руб. , а от производства второго вида работ – 5 тыс. руб. . Составить оптимальный план выполнения работ, чтобы прибыль предприятия была наибольшей.

Такого вида задачи называют задачами оптимизации и рассматриваются в разделе математики «Линейное программирование» . Линейное программирование – это область математического программирования, в котором изучаются методы исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены некоторые ограничения. Такая линейная функция называется целевой, а набор количественных соотношений между переменными, выражающих определённые требования экономической задачи в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений.

Для того, чтобы разобраться с условием задачи, составим следующую таблицу: Виды работ Установка Монтаж сигнализации домофонов Материалы Работа монтёров Услуги ИТР 5 тыс. руб. Общий ресурс 12 тыс. руб. 201 тыс. руб. Не более, чем в 2 раза 3 чел/час 1 чел/час 40 чел/час

Составим математическую модель данной задачи, для этого обозначим х1 – количество производимых в месяц работ первого вида, х2 – количество работ второго вида. Система ограничений: Материалы: 5 тыс. руб. / 12 тыс. руб. / 201 тыс. руб. Работа монтёров: на второй вид не более, чем в 2 раза Услуги ИТР: 3 чел/час/ 1 чел/час/ 40 чел/час Не менее 10 работ обоих видов Естественные ограничения Целевая функция

Наша цель – показать, как задача оптимизации решается в среде Exсel. С помощью надстройки «Поиск решения» задача решается следующим образом:

Ячейки А 1, А 2 оставляем за переменными х1 и х2. В ячейках В 1, В 2, В 3, В 4 – левые части неравенств из системы ограничений.

В ячейку С 1 введём целевую функцию. Нули в ячейках означают, что данные функции равны 0 при переменных равных 0.

В меню сервис откроем надстройку «Поиск решения» .

В окне Поиск решения устанавливаем целевую ячейку, экстремальное значение которой надо найти; изменяя ячейки, в которых находятся переменные.

В ограничениях указываем все условия системы ограничений: Первые два условия показывают естественные ограничения

После команды «Выполнить» получаем в ячейке С 1 наибольшее значение целевой функции, а в ячейках А 1 и А 2 значения переменных, при которых оно достигается. Ответ: наибольшую прибыль 92 тыс. руб. фирма получит, если установит 9 систем сигнализации и 13 индивидуальных домофонов.

Если рассмотреть отчёт, то мы увидим, что все указанные нами ограничения оказываются выполненными.

Рассмотрим ещё один способ решения задачи оптимизации – графический. Сначала выразим х2 через х1 из равенств, соответствующим первым четырём неравенствам системы ограничений

Для построения графиков полученных функций сделаем следующее: 1) В ячейке А 1 поставим значение переменной равное 0; в ячейке А 2 зададим шаг построения графика - 0, 5. Обведём ячейки А 1 и А 2 и 2) протянем значения переменных вниз, например до 15.

В ячейки В 1, С 1, D 1, Е 1 введём функции х2= fi (x 1).

Объединим ячейки В 1, С 1, D 1, Е 1 и протянем значения соответствующих функций до значения аргумента, равного 15.

Воспользуемся услугами «Мастера диаграмм»

Назовём каждый ряд данных соответствующей формулой х2= fi (x 1).

Зададим название диаграммы и названия осей.

Укажем вид линий сетки.

Размещаем диаграмму – график на имеющимся листе и завершаем построение – «Готово» .

Получаем следующие графики заданных функций.

Можно уточнить формат оси ОХ и

и оси ОУ.

Получили следующий рисунок.

Графики данных функций ограничивают фигуру, называемую многоугольником решений.

Назовём его АВСDE, его вершины имеют координаты: А(9; 13) В(7; 14) С(3, 5; 6, 5) D(10; 0) Е(13, 5; 0)

Найдём значение целевой функции в каждой вершине многоугольника АВСDE. А(9; 13) В(7; 14) С(3, 5; 6, 5) D(10; 0) Е(13, 5; 0) L(A) = 3· 9 + 5· 13 = 92 наибольшее L(B) = 3· 7 + 5· 14 = 91 L(C) = 3· 3, 5 + 5· 6, 5 = 43 L(D) = 3· 10 + 5· 0 = 30 L(E) = 3· 13, 5 + 5· 0 = 40, 5 Выберем из полученных значений целевой функции наибольшее.

Таким образом наибольшее значение целевой функции, равное 92, достигается при х1=9 и х2=13. Ответ: наибольшую прибыль 92 тыс. руб. фирма получит, если установит 9 систем сигнализации и 13 индивидуальных домофонов.