Задача Для производства сыра двух видов Чеддер

Задача. Для производства сыра двух видов – «Чеддер» и «Грюйер» завод закупает бактериальные препараты. Эти препараты используются для приготовления заквасок. Закваски влияют на скорость созревания сыра. Чем быстрее созревает сыр, тем быстрее происходит товарооборот завода, что увеличивает количество прибыли. Полученную закваску вносили по технологии в молоко. Затем исследовали скорость созревания сыра. Одним из показателей созревания является повышение кислотности первоначального продукта от 25 о Т (Тернера) до 150 о Т в готовом сыре. Выбор стоит между приобретением двух видов бактериальных препаратов, содержащих разный набор штаммов молочно-кислых бактерий и производством двух видов сыра. Перед технологом ставится задача: сделать анализ процессов приготовления сыров. № сосуда 1 2 3 4 5 6 7 8 Для сыра «Чеддер» делается закваска З-I в 8 -и сосудах. Через 35 мин фиксируется количество Количество бактерий, 14 12 15 14 14 млрд/см 3 выращенных бактерий. Результаты опытов: Для сыра «Грюйер» делается закваска З-II. Экспериментальные данные: Решение № сосуда 1 2 3 4 5 6 7 8 Количество бактерий, млрд/см 3 24 20 21 22 24 21 23 21 1. Среднее значение случайной величины U – количества бактерий в закваске З-I: 2. Среднее значение случайной величины V – количества бактерий в закваске З-II: млрд/см 3. Кислотность, о. Т 3. Данные наблюдений за уровнем кислотности при созревании сыра «Чеддер» : Задана случайная функция X 1(t). При каждом фиксированном t, дней 5 10 15 20 25 30 35 значении t получена совокупность случайных величин, 1 опыт 58 70 79 86 94 105 110 зависящих от t. Методом наименьших квадратов студенты 2 опыт 55 67 82 89 96 107 находят тренд , где U – случайная величина – 3 опыт 57 69 80 90 94 103 109 количество бактерий в закваске. M(U)=14 млрд/см 3. 4 опыт 5 опыт Σ 56 54 285 66 73 353 81 73 410 88 87 460 93 98 500 101 94 540 111 103 575 Среднее значение 56 69 79 88 95 102 108 Аналогично студенты получают случайную функцию Ее математическое ожидание 4. Найдем математическое ожидание случайной функции – неслучайную функцию , которая выражает уровень кислотности сыра в зависимости от времени: , где V - случайная величина. M(V)=22. 16

Математическое ожидание случайных функций X 1(t) и X 2(t) 5. Спрогнозируем, через сколько дней от начала созревания сыра его кислотность достигнет значения 140 о. Т. Из уравнения находим: t=67. Из уравнения t=186. Т. о. , сыр «Чеддер» будет готов быстрее, чем сыр «Грюйер» . 6. Проанализируем, как влияет закваска на скорость созревания сыра. Найдем дисперсии случайных функций, предварительно вычислив дисперсии случайных величин: D(U)=0, 75; D(V)=2. Так как меньше. , то процесс созревания сыра «Чеддер» более стабильный – у него разброс от математического ожидания На основании проведенного исследования технолог делает выводы: 1) бактериальный препарат для закваски З-I более качественный; 2) заводу выгоднее выпускать сыр «Чеддер» , так как его созревание проходит быстрее. 17

Задача. Консервный завод наладил производство детского питания. В июне было выпущено 2380 тыс. банок. В июле запланировано выпустить не менее 2400 тыс. банок. Если план будет выполнен, то работники консервного завода получат премию. Следует ли планово-финансовому отделу консервного завода зарезервировать денежные средства для выплаты премий работникам производства? Примечание: двумерный закон распределения случайного процесса X(t), задающего количество выпущенной продукции по месяцам, нормальный (гауссовский) с характеристиками: mx(ti)=200 ti+2000 (тыс. банок продукции), где ti – месяцы, Решение. 1) Обозначим t 1=1(июнь), t 2 =2 (июль). Тогда по условию задачи X(t 1)=2380, X(t 2)=2400. 2) Найдем математическое ожидание при t 1=1 и t 2=2: mx(t 1)= (тыс. банок); mx(t 2)= (тыс. банок). 3) Найдем корреляционную функцию при t 1=1 и t 2 =2: 4) Найдем дисперсию Dx(t 1) и Dx(t 2), воспользовавшись тем, что Кx(t, t)=Dx(t): 5) Найдем среднеквадратические отклонения: 6) Найдем нормированную корреляционную функцию, воспользовавшись формулой 7) При фиксированном значении времени t случайная функция X(t) превращается в случайные величины X(t 1) и Х(t 2). Для нормального условного закона распределения системы двух случайных величин условное математическое ожидание значения X(t 2) при условии, что получено значение X(t 1): условная дисперсия: условное среднеквадратическое отклонение: 18

8) Из курса теории вероятностей известно, что для нормального распределения функция распределения F(x) =P (Z