x0 x f(x0) f(x) x Разностное отношение может

x0 x f(x0) f(x) x

Разностное отношение может иметь конечный предел в точке x0 только при условии, что y→0 при x→0 , т.е. в точке x0 функция y=y(x) непрерывна, но обратное утверждение в общем случае не выполняется.

В частности, это относится к случаям т.н. острых экстремумов

Правила дифференцирования

Таблица производных

Производная сложной функции и . Пример

Дифференциал функции Дифференциалом dy функции y=f(x) в точке x0 называется главная, линейная относительно x, часть приращения функции в этой точке. dy=f’(x)x=f’(x)dx y=dy+x, где  - бесконечно малая функция при x→0 x dy y

Пример. Вычислить . Приближенные вычисления.

Теорема Ферма Если функция y=f(x) дифференцируема в точке а, т.е. существует f’(a) , и всюду в некоторой окрестности этой точки f(x)f(a)) , т.е. f(a) является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то f’(a)=0

Теорема Ролля Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и f(a)=f(b), то в некоторой точке интервала c (a,b) ее производная равна нулю.

Теорема Лагранжа Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то найдется точка c(a,b) для которой f(b)-f(a)=(b–a)f'(c)

Теорема Коши Если функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b) и при этом g(x)≠0, то найдется точка c(a,b) для которой

Если 1. или 2.Существует конечный или бесконечный Тогда

Производные и дифференциалы высших порядков Если функция f(x), определенная в А, имеет производную во всех точках А, то эту производную можно рассматривать как новую функцию g(x)=f’(x), xA. К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование. Если g(x), определенная в А, имеет конечную производную g’(x) в точке xA, то значение этой производной является второй производной функции f(x). Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

План исследования функции и построения ее графика Найти область определения Исследовать на четность, нечетность, периодичность Найти точки разрыва функции и определить их классификацию Исследовать на наличие асимптот Определить интервалы знакопостоянства функции С помощью производной найти интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы С помощью производной второго порядка найти интервалы выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба Найти значения (или пределы) функции в граничных точках ее области определения Построить график функции

Исследовать функцию и построить график: Найти область определения Исследовать на четность, нечетность, периодичность Функция нечетна, непериодична Найти точки разрыва функции и определить их классификацию Точек разрыва нет

Исследовать функцию и построить график: Исследовать на наличие асимптот При x    y  0; x    y  0 - ось x - асимптота Определить интервалы знакопостоянства функции

Исследовать функцию и построить график: С помощью производной найти интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы x = 1 и x = –1 -- точки локальных экстремумов

Исследовать функцию и построить график: С помощью производной второго порядка найти интервалы выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба

Исследовать функцию и построить график:

Исследовать функцию и построить график:

Исследовать функцию и построить график: Найти область определения Исследовать на четность, нечетность, периодичность Найти точки разрыва функции и определить их классификацию Функция не является периодической, четной, нечетной.  точка разрыва (точка бесконечного скачка).

Исследовать функцию и построить график: Исследовать на наличие асимптот При x  0 y    ось y - асимптота Определить интервалы знакопостоянства функции является двусторонней наклонной асимптотой. прямая

Исследовать функцию и построить график: С помощью производной найти интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы x = 1 и x = –1 -- точки локальных экстремумов

Исследовать функцию и построить график: С помощью производной второго порядка найти интервалы выпуклости, вогнутости функции и точки перегиба

Исследовать функцию и построить график:

Исследовать функцию и построить график: