Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей.

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Позиционные задачи Лекция

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей • Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости • Прямая параллельна плоскости: общих точек нет • Прямая пересекает плоскость: одна общая точка • Плоскости параллельны : : общих прямых нет • Плоскости пересекаются: одна общая прямая Прямая и плоскость: Две плоскости:

Принадлежность прямой плоскости Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1) через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости (( nn m)m) m 2 n 12 m 1 111 а 2 а 1 2 21 2 1 (1(1 mm )) ; (2 nn )) аа ( 11 И 2 )) аа 22 (( nn m)m) m 1 m 2 2 1 n 1 n 2 b 1 b 2 1 1 (1(1 mm )) ; 1 bb bb n bb

Параллельность прямой и плоскости Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости . Для однозначного решения проведем в плоскости прямую n b n Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. А Признак параллельности: bb n bb

Параллельность прямой и плоскости Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f . Через точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f . Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости ( АВС ) b n С 2 А 2 В 2 С 1 В 1 А 1 D 2 D 1 f 2 f 1 Через точку D D провести фронталь, параллельную плоскости (( АВСАВС )) 1 2 1 1 f 2 Задача: bb n bb А

Параллельность прямой и плоскости (( 11 , , 22 ))x 1 2 х Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельнос-ти одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости n 1 n 2 а 1 аа n а x 1 хm 2 m 1 2 ПП 22 mm 22 m nn

Параллельность двух плоскостей Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей bb n n m b a аа m x П 2 П 1 1 2 х

Параллельность двух плоскостей 1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m и n , проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости. 2. У параллельных плоскостей и следы параллельныnn b b 1 a 1 mm a x 1 2 х 11 b 2 a 2 m 1 n 1 1 m 2 n 2 2 D 1 D 2 х 1 2 Через точку D D провести плоскость , параллельную плоскости (( aa b)b)Задача 1 : Построить плоскость ПП 11 Задача 2 :

x П 2 х П 1 1 2 Пересечение прямой с проецирующей плоскостью n n 1 1 1 n 21 2 1 хx 1 2 Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) находится на пересечении следа плоскости 1 с проек — цией прямой n 1 . Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной n 2 n

x. П 1 П 2 Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям 1 2 х 1 2 2 11 11 2 –– горизонтально проецирующая плоскость; ( ) – плоскость общего положения

В 2 В 1 1 x А 1 А 2 С 1 x П 1 П 2 Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью Горизонтально проецирующая плоскость проецируется на П 1 в виде следа, которому принадлежит проекция 1 1 2 1 искомой линии пересечения. Часть треугольника, находящаяся перед плоскостью , будет видима на П 2 . Линия 1 2 2 2 служит границей видимости 1 2 х

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m 1 2 K 1. Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . 2. Находят линию пересечения 1 -2 плоскостей: заданной и вспомога-тельной . 3. На полученной линии пресечения 1 -2 находят общую точку К с заданной прямой m . 4. Определяют видимость прямой m Алгоритм: 1. m 2. = = 1 -21 -2 3. 1 -2 mm = = KK 44. . Видимость mm

1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m 1 m 2 В качестве вспомогательной выбираем горизонтально проецирующую плоскость ( 1 ) , проходящую через заданную прямую m . Строим горизонтальную 1 1 2 1 , а затем фронтальную 1 2 2 2 проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с данным треугольником 2 12 2 1 11 2 1 1. 1. mm ; ПП 1 1 1 mm 11 2. (( )) == 1 -21 -2 ; ;

1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m 1 m 2 Находим фронтальную проекцию K 2 точки пересечения К линии 1 -2 и данной прямой m . Горизонтальная проекция К 1 искомой точки пересечения будет принадлежать горизонтальной проекции m 1 прямой m 2 12 2 1 11 2 1 K 2 K 1 3. 1 -2 mm = = KK ; ; KK 2 2 K K 11 1. 1. mm ; ПП 1 1 1 mm 11 2. (( )) == 1 -21 -2 ; ;

1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m 1 m 2 Видимость горизонтальной проекции прямой определяют по горизон-тально конкурирующим точками 3 и 2 (3 m ; 2 ). Видимость фронталь-ной проекции прямой определяют по фронтально конкурирующим точка-ми 4 и 5 (4 m ; 5 ). Видимость прямой m меняется в точке пересечения 2 12 2 1 11 2 1 K 2 K 1 4. 4. Видимость m m (( по конкурирующим точкам ))3 2 3 1 (2 1 )5 2 4 2 4 15 1( ) 3. 1 -2 mm = = KK ; ; KK 2 2 K K 11 1. 1. mm ; ПП 1 1 1 mm 11 2. (( )) == 1 -21 -2 ; ;