ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 6 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 6 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. 5. Выпуклые оболочки.

2. 5. Выпуклые оболочки. Сформулируем и докажем одно свойство выпуклых множеств, Определение 9. Пусть n m. Ruu, , 1 что 1 1. m i i Точка i m i iuu 1 называется выпуклой комбинацией Теорема 9 Множество n U R выпукло тогда и только тогда, Необходимость. Пусть множество U выпукло. Проведем индукцию по числу . m При 2 m справедливость утверждения теоремыточек 1, , . n mu u RL Предположим, что утверждение теоремы верно для любого 1, 2. k m m Рассмотрим произвольную выпуклую комбинацию и числа 0, , 01 m таковы, содержит все выпуклые комбинации когда онокоторое иногда непосредственно берется за определение выпуклого множества. любого конечного числа своих точек. из определения выпуклого множества. вытекает непосредственно

каких-либо m точек этого множества 1 1 0, , 0, 1 m m i i L 1 1 , , m i i m i u u U L Для определенности примем, что 1. m Тогда 1 1 1 0. m m j j Полагаем , 1, 1 j j m L 1 1 , 1, , 1. m n j j j v u R j m L Имеет место равенство }11 1 j m m j j 1 11 m m j j 1 1 1 m m j jm 64 7 48 1 тогда 1 1 m j j i v u является выпуклой комбинацией 1 1, , . mu u UL точек 1 m В силу предположения индукции . v U }}0, 1 1. m m m U U v u U Тогда из выпуклости множества U следует С другой стороны Требуется доказать, что. u U

Необходимость доказана. 1 1 m j j m m u u 1 1 m j j m m j u u 1. m i i iu u } 1 1 1 m j j i U m m m u v u 6 4 4 4 7 4 4 48 }1 1 j mm m j j m m j u u Таким образом. u U Достаточность. Если множество n RU содержит все выпуклые комбинации любого конечного числа своих точек, Достаточность доказана. комбинации то оно содержит, в частности, и любые выпуклые следовательно, оно выпукло. любых своих двух точек, Приведем одно простое свойство выпуклых комбинаций конечного числа точек из . n R Теорема 10. – фиксированные точки n m. Ruu, , 1 Пусть – их произвольные выпуклые комбинации. 1, , sv v. L и является выпуклой комбинацией точек 1, , . mu u. Lsvv, , 1 Тогда любая выпуклая комбинация точек Доказательство. Действительно, для любой из точек svv, , 1 справедливо представление

0, 1, , . jij s i m L L 1, m j ji i iv u 11, m ji i Тогда для любых 1 1 s j j имеет место 1 1 m s j ji i j i u } 1 1 m ji i i s j j j u w v 1 1 s m i ij j i j u Очевидно, что 1 0, 1, , . s i j ji j i m L 1 1 m s j ji i j 1 1 1 s m j ji j i 64 7 48} 1 1 s j j 10, , 0, s L } 1 1 s j ji j m i i 1 1 i m s j ji i i j u 64 7 48 1. m i i i u Кроме того 1 1 s m j ji j i и точка w будет выпуклой комбинацией точек 1, , mu u. L Теорема доказана. с коэффициентами , 1, , ii m. L Из доказанной теоремы легко выводится, например, что любая точка n мерного является выпуклой комбинацией своих вершин. куба Покажем это на примере двухмерного куба (квадрата).

A BC DE F MТе в свою очередь , A D и , C B соответственно. выпуклыми комбинациями вершин являются. На рисунке видно, что точка M является выпуклой E и. F комбинацией точек Упражнение. Доказать непосредственно, что точка является выпуклой комбинацией точек M. ABCD Решение. , E B B C Cu u u , F A A D Du u u 0, 0, 1. F E 0, 0, B C 1, B C 0, 0, A D 1, A D , M F F E Eu u u }}B B C CA A D D M F F E E u uu u u F A A D D E B B C Cu u }}}}31 2 4 F A A F D D E B B E C Cu u 1 1 A D B Cu u является куба Таким образом, M точка выпуклой комбинацией вершин , , , .

По аналогии с аффинной оболочкой множества введем понятие выпуклой оболочки множества. Определение 10. Пересечение всех выпуклых множеств, называется выпуклой оболочкой множества и. co. U Множество co. U Таким образом, выпуклую оболочку множества U содержащее . UВ тех случаях, когда рассматриваемое множество не выпукло содержится в любом выпуклом множестве, и онорасширить его до выпуклого множества. бывает полезно co. U U обозначается выпукло как пересечение выпуклых множеств, . U содержащим можно трактовать как минимальное выпуклое множество, , n U R содержащих множество и DFA CEBFE 1 1. F E 64 7 48 1 1 F A D E B C 64 7 48 Очевидно, что 0, 1, , 4 ii L }}}}

Доказательство. Пусть W множество всех выпуклых комбинаций Покажем, что . co U W так как в силу выпуклости множества Uco Для доказательства обратного вложения WUco достаточно установить выпуклость множества . W Выпуклая оболочка множества n RU. U co. U в частности, и точек из множествачисла точек из . U конечногосостоит из тех и только тех точек, Теорема 11. co. U U точек из конечного числа. U которые являются выпуклыми комбинациями Uco. W очевидно, Вложение оно будет содержать все выпуклые комбинации конечного числа своих точек, (теорема 9) в силу U W Действительно, пусть w комбинация конечного числа точек 1 , , . mw w W L выпуклая Каждая из точек i w W является выпуклой комбинацией конечного числа точек из . U Тогда по теореме 10 w точка будет выпуклой комбинацией конечного числа точек из. U Последнее означает, что. w W Таким образом, любая выпуклая комбинация любого числа точек множества. W ему принадлежит. Следовательно в силу теоремы 9 множество W выпукло. Теорема доказана.

В качестве примера заметим, что выпуклая оболочка двух точек на плоскости представляет собой отрезок прямой, их соединяющий; а в пространстве – выпуклый многогранник. является n мерный симплекс. Определение 11. Выпуклая оболочка множества точек 0 1, , n mu u u RL для которых набор векторов 001 , , uuuu m линейно независим , Точки muuu, , , 10 называются вершинами симплекса. прямой – трех точек, не лежащих на одной на плоскости, не лежащих на одной прямой, В общем случае выпуклая оболочка конечного числа точек Частным случаем выпуклой оболочки множества, состоящего из конечного числа точек, симплексом, натянутым на эти точки называется 0 1, , , . m. S u u u. L и обозначается символом A B C В частности, симплекс, натянутый на три точки CBA, , плоскости, не лежащие на одной прямой, треугольник с вершинами в этих точках. будеттреугольник. образует выпуклый многоугольник,

Согласно теореме 10 справедливо равенство 0 0 0, 1. m m i i i u u 0 1, , , m. S u u u. L Теорема 12 (Каратеодори). Пусть n. RU – произвольное непустое множество. Тогда любая точка Ucou Доказательство. По теореме 11 любая точка Ucou представима в виде 1 , m i i iu u 1 0, , 1, , , 1. 1 m i i u U i m L Покажем, что число слагаемых (ненулевых!) в этом выражении можно уменьшить, В пространстве 1 n R рассмотрим m векторов вида представима в виде выпуклой комбинации не более чем 1 n точки из . U 1 , 1, , 1. 1 i n i u u R i m n L 1. m n если Пусть1. m n Будем считать, что 0, 1, , , ii m L т. к. в (1) нас интересуют только ненулевые слагаемые.

Тогда существуют числа m, , 1 не все равные нулю, 1 0 1 m i i i u 1 1 0, 0. m i i i m i i u В силу (1) }}(1) 1 ( 1 2 0 1 ) m m i i t 1 m i i t u (1) 2 1 ( ) 0 1 m m i i i u t u 6 7 8 1 m i i it Поскольку не все числа m, , 1 равны нулю, Полагаем 1, , 0. i. I i m L Определим номер s и число t из условия } } 0 0 min 0. s i i Ii s t выполняться что будет а их сумма равна нулю, среди них найдутся строго положительные. постольку 1 1, 1 1 m m i i iu u 1 Rt справедливы равенства для всех , u 1. Число таких векторов 1, m n поэтому они линейно зависимы. 2 и (2)

Покажем, что для всех номеров mi, , 1 справедливо неравенство 0. i it Действительно, для 1, , 0 ii I i m L это очевидно: } s st } min i i I i s i i s 0. ii ii Теорема доказана. Ii вычисляем а для i it 0. m числа точек из множества. Uменьшего, чем s ss s 0 0 1 1 , 1 m m i i i i s i s u t 64 7 48 Таким образом, точку u удалось представить в виде выпуклой комбинации 0 0, i i t При этом при i s имеем i ii s t