ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 5 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 5 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. 5. Выпуклые оболочки (продолжение) 2. 6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств.

Теорема 13. Пусть множество n. U R компактно. Тогда и множество co. U компактно. Доказательство. Из ограниченности множества U следует существование шара 0, , n O R u R содержащего множество . U Выпуклость шара влечет за собой вложение 0, , co. U O R которое означает ограниченность множества . co. U 2. 5. Выпуклые оболочки (продолжение) Из доказанной теоремы 12 (Каратеодори) вытекает важное следствие. Докажем его замкнутость. Пусть v – предельная точка множества. co. U По определению предельной точки таких, что lim. 3 kk u v По теореме 12 для всех номеров 1, 2 k. L найдутся точки kiu U и числа , 1, 1 kii n L такие, что Надо. v co. U доказать , ku точек ku co. U существует последовательность

1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1, 0, 1, , 1 , , n i i i n n u u i n u L L 2 2 2 21 1 2 21 1 2 1, 0, 1, n i n n n i i n u u i u u u n L L L L L L L L L L L 1 1 2 1 1 1, 0, 1, k k k k n n n k k k i i i u u n u i L LПодробно Компактность множества U влечет за собой возможность выбора из последовательности 2111 1, , ku u u. L K подпоследовательности 1 1 2101 1 1 , , , kj j j u u U L K L L L L L L L L L L }1 1 , Uco. U k k n i ki iu u 1 1 1, 0, 1, 1, 1, 2, . 4 n i i k kiikn L L

из последовательности 1 1 22 2 2 , , kj j j u u u. L K подпоследовательности 2 2 2 1 2 20 2 2 2 , , , k j j j u u U L K и т. д. , из последовательности 1 2 1 1 1 , , n n n kn n n j j j u u u L K подпоследовательности 1 1 2 101 1 1 , , . n n n kjnn n nj j u u U L K 11 1 1, 0, 1, , 1. n n i i i n A R i n L L В пространстве 1 n R рассмотрим компактное множество В силу (4), 1 1 1, 0, 1, 2, 4 n i ik k i k L имеют место включения 11 1 1 2 11 1 1 , , nn n k n n n kn n n jj j j A A A L L L

выделим сходящуюся подпоследовательность Перенумеруем индексы1 21, 2, , , kj j j k L L Тогда 1 101 2, , , ku u U L K 2 201 2, , , ku u U L K L L L 1 101 2 , , , n nku u U L K 1 2 11 110 101 1 1 , , , k knn jj j j jnjn A L L L 1 0 1 0, 1, , 1. n i i n L 5 11 1 1 2 11 1 1 , , nn n k n n n k jj j jn n n A L L LТогда из последовательности

1 1 1 10 1 1 1 2 21 1 10 , , , k nkn n n A L L L 1 0 1 0, 1, , 1. n i i n L 1 1 lim n ik ik k i u } 1 1 lim n ik ik i k k u v u Вычислим предел в (3) lim. 3 k kv u Надо доказать, что v co. U 6 Действительно, в силу (5) 0 lim 5 ik i k u u и (6)0 lim 6 ik ik имеем. v co. U Теорема доказана. 0 0 1 1 limi i n ik ikk k u i u 64 7 48} 1 0 1 6 0 n i i i U u 1 1 10 2, , , k L K 2 212 202, , , k L K L L L 1 11 21 10, , , kn n L K

Упражнение 1. Теорему 13 «Пусть множество n U R компактно. Тогда и множество co. U компактно. » Доказать (в части замкнутости) при 1. n Решение. Пусть v – предельная точка множества , co. U и для последовательности точек ku выполнено , lim. k kk u co. U u v По теореме 11 для всех номеров 2, 1 k найдутся точки 1 2, k ku u U и числа 1 2, k k такие, что 1, 2, . 7 k. L 1 20, 0, k k 1 21, k k 1 1 2 2, k k ku u u Требуется доказать, что. v co. U Распишем равенство (7) подробно 1 1 1 21 1 2, u u u 2 2 1 22 1 2, u u u 1 1 2 2, k k k u u u L L LL L L Компактность множества U влечет за собой возможность выбора из последовательности 2111 1, , ku u u. L K подпоследовательности 1 1 2101 1 1 , , , kj j j u u U L K

из последовательности 1 1 22 2 2 , , kj j j u u u. L K подпоследовательности 2 2 2 1 2202 2 2 , , , kj j j u u U L K Множество A здесь имеет вид 12 1 2 2 1, 0, 1, 2. i. A R i 1 1 2 2 1 2 , 1, 0, 0, 1, 2, . 7 k k ku u u LВ силу (7) имеют место включения 2 2 2 1 2 11 1 2 2 2 , , k k jj j j A A A L L Тогда из последовательности 2 2 2 1 2 11 1 2 2 2 , , k k jj j j A L L

выделим сходящуюся подпоследовательность 1 2 1 10 20 2 2 2 , , k kj j j A A L L 10 20 1, 0, 0. Перенумеруем индексы 1 21, 2, , , kj j j k L L Тогда 11 12 1 10, , , ku u U L K 21 22 2 20, , , ku u U L K 13 1011 12 23 2021 22 , , , A L 10 20 1 0, 0. Вычислим предел в lim j kv u Надо доказать, что. v co. U и 0 limik i k имеем. Действительно, в силу1 10 2 20 lim , limk kk k u u

1 1 2 2 lim k k ku u 1 1 2 2 lim k k uv u 10 20 0, 0, 10 2 20 1 10 0. a a U U a u co. U 10 10 20 20 1 1 2 2 lim lim a u k kk k k a k u u u Теорема доказана.

Теорема 14. Замыкание и внутренность выпуклых множеств выпуклы. Доказательство. Пусть множество n. RU выпукло и 1 2, int. v v U По определению внутренних точек 0, 1 , , 1, 2 i v O i. O v U i 64 7 48 1 20, 1 1 0, 1 U U v O U 6 4 4 7 4 4 8 Тогда Uиз выпуклости множества для любого 1, 0 выводим существует число 0, что выполнены вложения 0, 1 , iv O U 1, 2. i 2. 6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств. 1 2(1 ) 1 0, 1 v v O U 1 2 (1 ) , O v v U 1 2(1 ) intv v U 1 2(1 1 2 ) , (1 ) 0, O v vv v O U 6 4 4 7 4 4 8 1 2(1 ) 7: 1 2 , 0, 1 01, 11 v v. Теорема UU U Uвыпукло Ov. Ov U

что и доказывает его выпуклость. U Рассмотрим множество Если 1 2, , v v Uзамыкание множества. U определению предельных точек то по существуют последовательности точек Таким образом, произвольная выпуклая комбинация точек 1 2, intv v U принадлежит этому множеству, и В силу выпуклости множества U для всех номеров , 2, 1 k и чисел 1, 0 выполнено включение } } 1 2 1. U U k ku u U С другой стороны 1 2 lim 1 k kk u u Теорема доказана. 1 1 1, , k ku v u U 2 2 2 , , k ku v u U 1 21 v v 1 2 lim 1 lim v v k k u u 6 7 8 Тогда 1 21 v v U предельная точка множества 1 21. v v U 1 21 1 k ku u v v