ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 4 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 4 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 2. 1. Определение выпуклого множества. Примеры.

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 2. 1. Определение выпуклого множества. Примеры. что выпуклое множество вместе с любыми двумя точками 1 u 2 u 1 u Дадим формальное определение выпуклого множества. Множество n. RU называется выпуклым, справедливо включение 1 2(1 ). u u U Пустое и одноточечное множества принимаются выпуклыми по определению. Приведем примеры выпуклых множеств. Замкнутая (открытая) окрестность точки n Ru 0 радиуса R множество. Геометрический смысл выпуклости множества состоит в том, Например, левое множество на рисунке выпукло, Определение 1. Пример 1. содержит и отрезок, их соединяющий. 1, 0, , 21 Uuu если для всех а правое нет.

0 0 0, , , 0 n n O u R u R u R R Действительно для всех ]1, 0[ и Ru. Ouu, , 021 справедливо 1 0 2 01 u u является выпуклым множеством. }0 0 1 2 0 (1 ) u u u 2 01 R u u 64 7 48 1 0 R u u 64 7 48 1 2 0 0(1 )u u

1 2 0(1 ) , . u u O u R Доказательство для открытой окрестности аналогично. Множество точек 1 , , 0, , n c R Действительно, для всех 1, 0 и , , 21 cuu справедливо 1 2(1 ) , . u u c } } 1 2, 1 , c u 1 R R R Пример 2. , , n c u R c u называемое гиперплоскостью в , n R выпукло. 1 2 , (1 )c u u 1 1 0 2 01 R R u u 64 7 48 c , c

Гиперплоскости , c поставим в соответствие множества , , n c u R c u которые называются замкнутыми полупространствами, и множества , , n c u R c u которые называются открытыми полупространствами. , , , nc u R c u Множества , , , , cccc выпуклы. Доказательство этого утверждения в предыдущем примере. Пример 3. выпуклости множества , c проводится аналогично доказательству c , c u , c

Векторам 0, , d. Rdv n поставим в соответствие множества 10, M u v td t соответственно, прямой и лучом проходящими через точку v в направлении вектора. d Множества 11, MM выпуклы. Действительно, для всех ]1, 0[ 1 1 2, , 0 t t R t t справедливо 1, , M u v td t которые будем называть, Пример 4. и 1 1 2 2 , , u v t d 1 2(1 )w u u , 1 2(1 ) 1 tv v v t t d 6 4 4 7 4 486 44 7 4 48. v t d 1 2(1 )v t d O vd u 1 M 1 M

В силу 1 1 21 0 t R t t t 1 1. w M Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Пусть , , U B выпуклые в n R множества, Пусть 1 2, . v v U Тогда 1 2, v v U для всех. BТеорема 1. Доказательство. где B множество произвольной мощности, Покажем, что множество B U U I отсюда следует требуемое включение является выпуклым. имеет место включение что каждое из множеств , U B является выпуклым, В силу того, 0, 1 , . B 1 21 , v v v U Отсюда v U B v U U I Теорема доказана. и множество U является выпуклым.

Из теоремы 1 , в частности, следует, что множество; ; 0, 1, , 1 n k U u R Au b u k K n L являющееся областью допустимых значений оптимизирующих параметров Заметим, что объединение выпуклых множеств не обязательно выпукло. как пересечение гиперплоскостей и полупространств в . n Rвытекает из того обстоятельства, Справедливость этого утверждениязадаче линейного программирования, выпукло. в общей Uчто формула (1) определяет множество

Упражнение 1. Доказать выпуклость эллипса 1 1 2 2 2 1 1, 1 a b x y a x b y Решение. 1 2 , , 0, 1. x x U y y Пусть Надо доказать, что 1 21 1 1 , 1 x x xx U y y yy т. е. , что 2 22 2 1 1 21 1 1. a x x b y y 2 1 21 x x Справедливо неравенство x y 0 a b 2 2, 1 x y U x y a b } 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 x x x

2 2 2 1 1 2 21 1 x x 2 2 12 xx x 22 2 1 2 1 1 x x Аналогично 2 2 2 1 2 1 1. y y Тогда 2 2 1 2 2 2 1 1 x x y y a x x b y y 6 4 44 7 4 4 48 2 2 2 1 1 21 1 a x x b y y 2 2 2 2 1 1 1 2 1 11 1 1. a x b y } 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 x x x 2 22 2 1 12221 x xxxx 2 2 1 1 2 1 x x x 2 2 2 1 22 2 1 21 x x xx x 2 2 1 21 x x

Упражнение 2. 0 0 1 1 : , ‘ , ; , ‘ , , 1, , i k s m m i i sa u U a i B a I u u u A R a a g u u u i B m s a L U LДоказать выпуклость множества Рассмотрим задачу математического программирования 1 1 min, , 0, 0, n m m s I u u U R g u g u L L Пусть u ее решение. Полагаем 1, , 0. i. B i m g u L где k m число элементов в множестве. B U выпуклое множество.

0 0 1 31 3 3 : ‘ , ; , ‘ , u U a a I u u u A a R a g u u u a a g u u u Тогда 1 2 3 min, , 0, 0, 0, n I u u U R g u g u Пусть u ее решение и n U R выпуклое множество. 1 2 3 0, 0, 0. g u g u Тогда Рассмотреть случай 2, 3. m s 11, 2 0 1 , B i g u 1, , 3 m s L

Пусть 0 1 3 , 1, 2 j j a a a A j a и 0, 1. Требуется показать, что точка Решение. 0 1 3 a a 0 0 1 2 1 1 1 2 3 3 1 2 1 a a a 0 0 1 2 1 1 1 2 3 3 1 2 1 1. 1 a a A a a В силу определения множества A 0 0 1 31 3 3 : ‘ , ; , ‘ , u U a a I u u u A a R a g u u u a a g u u u для этого требуется подобрать такое , u U чтобы выполнялись равенства

0 0 0 1 21 ‘ , , 1 a a a I u u u 1 1 2 11 ‘ , , 2 a a a g u u u 3 1 1 3 3 31 ‘ , , 3 a a a g u u u 0 0 1 2 1 1 2 2 3 3 1 2 , a a A a a Из включений , 1, 2 ju U j следует существование точек таких, что 0 1 1 1 3 1 ‘ , , 4 ‘ , , 5 ‘ , , 6 a I u u u a g u u u 0 2 2 1 2 3 2 ‘ , , a I u u u a g u u u

В силу выпуклости множества U справедливо включение 1 21. u u u U Эта точка является именно той, существование которой требуется для установления включения 0 0 1 21. a a a A Действительно, докажем равенства (1)-(3)) 0 0 0 1 2 1 3 3 3 1 2 3 1 ‘ , , 1 1 ‘ , , 2 1 ‘ , . 3 a a a I u u u a a a g u u u Имеем 1 21 ‘ , u u I u u u } 1 2 1 ‘ , 1 u u I u u 1 2’ , 1 1 I u u u

0 0 1 1 2 2 1 ‘ , 4 2 ‘ , 4 ‘ , 1 ‘ , a I u u u 6 4 4 7 4 48 6 4 4 7 4 4 8 0 0 0 1 2(1. ‘ , )I u u ua a a 1 2’ , 1 1 I u u u 0 ‘ , a I u u u Равенство (1) доказано. Установим справедливость (2) 1 1 2 11 ‘ , , 2 a a a g u u u Имеем 1 21 1’ , u u g u u u } 1 1 2 1 ‘ , 1 u u g u u 1 1 2’ , 1 1 g u u u 1 1 1 2 1 , ‘ 2 ‘ 5 , 5 ‘ , 1 ‘ , i a g u u u ig u u u

1 1 1 2′ , 1 g uaua au Равенство (2) 1 1′ , 2 a g u u u доказано. Аналогично устанавливается справедливость равенства (3). 3 3′ , . 3 a g u u u Таким образом, A выпукло. множество 1 1 1 2 1 , ‘ 2 ‘ 5 , 5 ‘ , 1 ‘ , i a g u u u ig u u u