ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

lekciya_25.ppt

  • Размер: 1.2 Мб
  • Автор: Progressive Sound
  • Количество слайдов: 15

Описание презентации ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) по слайдам

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств.  8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств.

8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств.  Теорема 3  ( Куна-Таккера ).  Пусть8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств. Теорема 3 ( Куна-Таккера ). Пусть в задаче 1 , m s выполнено условие регулярности и . U Тогда для каждой точки Uu необходимо существует вектор 0 такой, что пара , u образует седловую точку функции Лагранжа для этой задачи. Доказательство. 0 0 1 0 ( ), : , ( ), 1, , i i ma a I u a A a u U a g u i m a L L 0 1 0 , 0, 1, , . i m b b B b b I b i m b L LВ пространстве 1 m R рассмотрим два множества и

Покажем, что. A B I Действительно, пусть. a A Тогда найдется такое 0, u U чтоПокажем, что. A B I Действительно, пусть. a A Тогда найдется такое 0, u U что будут справедливы неравенства 0 1 1, , , . m ma I u a g u L Если , u U то 0 0 a I u I b 0 0. a b a B 0 1 0 , 0, 1, , i m b b B b b I b i m b L L Если 0\ , u U U то найдется такой номер 1, , , i m. L что ( ) 0. ig u Тогда ( ) 0 i i ia g u b . i i a b a B Множества A и. B выпуклы. Для множества B это очевидно. Пусть 0 0 1 1 , . m m a d a A d A a d L L Докажем выпуклость. A множества

Тогда найдется 0, u U что 0 1 1, , , m ma I u aТогда найдется 0, u U что 0 1 1, , , m ma I u a g u L Для произвольного числа 1, 0 положим 0 00 0 1 11 1 1 , 1 m mm m a da d a a da d LL L 0 1 1, , , . m md I v d g v L 0, v U и что } 01. выпукло u u v U Покажем, что точка является именно той, 0 u U существование которой доказывает. a A включение Действительно, в силу выпуклости функций mgg. I, , , 1 справедливы неравенства 1 I u v 00 1 ( ) ad I u I v

,  0 0 0 1 a d a 0. I u a Аналогично 1 i, 0 0 0 1 a d a 0. I u a Аналогично 1 i ig u v 1 ( ) iiad i ig u g v 1 i i i a d a , 1, , . i ig u a i m L Таким образом, a A и выпуклость множества A доказана. По теореме об отделимости выпуклых множеств существует гиперплоскость 1 , , , 0 n с w R c w c отделяющая множества A A и: B , , 6. c a c b a A b B Обозначим 0 1 0. m с L (Именно этот вектор и будет тем, существование которого требуется доказать). Тогда неравенство (6) принимает вид 0 0 m m i i i a b , . a A b

, c y Определим величину. Заметим, что 0. 0 I y A B   I, c y Определим величину. Заметим, что 0. 0 I y A B I L Действительно, точка 0, u U U U является той, существование которой требуется для включения , y A т. к. имеет место, I u I 0, 1, , . ig u i m L Включение y B очевидно. Вычисляем y A B I, y c 0. I 0 10 , 0 m I с y LL } 0 , , 6 I c a c b a A b B Перепишем неравенство (6) в виде 0 0 1 m i i i a a 0 I 0 0 1 , , . 7 m i i i b b a A b B Покажем, что пара , , u где 1 , m L удовлетворяет условиям теоремы

и, следовательно, является седловой точкой функции Лагранжа. u U U  Действительно, условие 3) очевидно выполнено.и, следовательно, является седловой точкой функции Лагранжа. u U U Действительно, условие 3) очевидно выполнено. выполнение условия 2). Проверим Для всех mi, , 1 положим 0 0 ( ) 0 i I z i g u L L 01) , , , ; L u u U 2) ( ) 0, 1, , , i ig u i m L 3). u U 0 0 0 1 0: ( ), , 0, 1, , ( ), 1, , i i i m m b u U a b a I u a b b I b i m a a g u b i m a A B L L I Из неравенства (7) находим a b z i при 0 0 0 1 1 , , 7 m m i i i a a I b b a A b

0 i ig. Iu  0 I 0 i ig. Iu 0, 0 i i g0 i ig. Iu 0 I 0 i ig. Iu 0, 0 i i g u 0, 1, , . 8 i ig u i m LУсловие 2) теоремы доказано. } } 0 0 0 1 1 7 i ig u m m i i i g u I I i i i a a I b b 64 7 48 6 7 8 0 0 ( ) 0 i I z i g u L L Покажем, что 0, 0, 1, , . ii m L Полагаем 0 1 0 , 0, 1, , 1 0 (0) , 0 i m b bb b I b i m b I b B L L L 0 10 , 0, 1, , 0 ( ) , 1 0 i m b b I b i m b. I b i B L L 1, , . i m. L

Подставляя эти вектора в правую часть (7),  0 0 , 7 m i i iПодставляя эти вектора в правую часть (7), 0 0 , 7 m i i i I b b 0 I 0, 1, , . ii m L 00, 0 0 1 0 m i i s s i I I 00 0 0 1 0 m i i I 0 i } 1 0 0 0 : I b L } 0 1 0 : I b i L L последовательно находим Покажем, что 00. Пусть Uu точка, фигурирующая в условиях Слейтера. 1: 0, , ( ) 0 mu U g u L Тогда 0, 0, 1, , ii m LНеравенства установлены.

  } 1. m u u I u g u a A g u } 1. m u u I u g u a A g u LДля вектора a из левой части неравенства (7) }} 0 0 7 i m i i i I u g u a a I находим 0 0 1. 9 m i i i I u g u I 1 0. 10 m i i i g u } 0 10 0 mс LВ силу. От противного 00 из (9) выводим 1 0. m L следует Из доказанных неравенств : 0 0, 1, , ii ii m L

 Остается признать, что 00. 0 : 00 1 , 0. iim i i i g Остается признать, что 00. 0 : 00 1 , 0. iim i i i g u выводим, что 1 0 10 m i i i g u Последнее неравенство противоречит (10). и условий Слейтера : u U 10, , ( ) 0 mg u L Поделим неравенство (7) 0 0 0 1 1 7 m m i i i a a I b b на 00. 0 1 m с L Новые компоненты вектора будем обозначать прежними символами. Неравенство (7) принимает вид 0 0 1 1 11 m m i i i a a I b b Тогда 01 и 1 0. m L

Для завершения доказательства теоремы осталось установить справедливость условия 1). 01) , , , L u uДля завершения доказательства теоремы осталось установить справедливость условия 1). 01) , , , L u u U Пусть 0. u U Тогда 1 ( )m I u g u a u A g u L 0 0 1 0 ( ), : ( ), 1, , i i ma a I u a A a u U a g u i m a L L Из левого неравенства в (11) 0 1 11 m i i ia a I (8) 0 1( )m i i i. I u g u I g u 64 7 48 для этой точки имеем , 1 1 , ( ) ( ) m L m i i i u L i u I u g u 6 4 44 7 4 4 48 6 4 4 7 4 4 8 0, , , . L u u U Теорема доказана.