ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 24 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 24 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 24 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

lekciya_24.ppt

  • Размер: 1.3 Мб
  • Автор: Progressive Sound
  • Количество слайдов: 17

Описание презентации ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 24 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ по слайдам

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 24 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 24 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

8. 1. Постановка задачи выпуклого программирования.  8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 8. 2. Седловая точка регулярной функции8. 1. Постановка задачи выпуклого программирования. 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 8. 2. Седловая точка регулярной функции Лагранжа. 8. 3. Условия Слейтера.

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 8. 1. Постановка задачи выпуклого программирования. Под выпуклым программированием понимается раздел теории экстремальных8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 8. 1. Постановка задачи выпуклого программирования. Под выпуклым программированием понимается раздел теории экстремальных задач, в котором изучаются задачи минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах. Задача выпуклого программирования формулируется следующим образом. Задача 1. inf, , I u u U где 00, 1, , ; 0, 1, , , i i. U u U g u i m s L L 0 n U R выпуклое множество, 1 011: , , , RUgggg. Ismm -заданные функции, при чем функции 1, , , m. I g g L выпуклые, а функции 1, , m sg g. L линейные, т. е. имеют вид

, , i i ig u a u b 1 , , 1, , . n, , i i ig u a u b 1 , , 1, , . n i ia R b R i m s LЗаметим, что в сделанных предположениях множество n RU является выпуклым множеством. 8. 2. Седловая точка регулярной функции Лагранжа. Для исследования задачи 1 выпуклого программирования введем понятие регулярной функции Лагранжа. Положим 1 0, 1, , . ms i m s. R i m L L L Определение 1. Функция 0 1 0: , L U R определенная формулой 1 , ( ) , s i i i L u I u g u 0 0, , u U называется регулярной функцией Лагранжа для задачи 1.

Определение 2.  Пара  0 0,  Uu называется седловой точкой функции Лагранжа для задачиОпределение 2. Пара 0 0, Uu называется седловой точкой функции Лагранжа для задачи 1 , если , , L u 0 0, . 1 u U Придадим условию (1) другую форму. Теорема 1. Для того, чтобы пара 0 0, u U была седловой точкой для регулярной функции Лагранжа, 0, , , 1) ; L uu U 2) ( ) 0, 1, , , i ig u i m L Доказательство. Необходимость. Пусть пара 0 0, u U седловая точка функции Лагранжа. Из правого неравенства в (1) сразу следует условие 1) теоремы. Перепишем левое неравенство в (1) с учетом определения функции Лагранжа. Имеем необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 3). u U

1 (()), s i i i I ug u 11 ( ), ( ) , ,1 (()), s i i i I ug u 11 ( ), ( ) , , 1 ss i ii iii I u g u L u 64 7 48 1 ( )( ) s i i i g u. I u 0. Отсюда выводим, что Для всех 1, , j s. L построим вектор 1 ˆ ˆˆ( ) , ˆ i s j jj j L L Покажем, что . u U 0 1 0. 2 s i i g u 0 , , 1, , , ˆ( )1, 1, , ( ), 1, , i ij j j i s ji j m g u i j m s L L L Очевидно, что 0ˆ( ) 0, 1, , s ij R i m L для всех 1, , . j s. L

 1 1 1 ˆ( ) , 1, , , j m m s j j 1 1 1 ˆ( ) , 1, , , j m m s j j m L L 1 1ˆ( ) , 1, , . m m j j s j g u j m s L L L LПодставим вектор )(ˆj в неравенство (2). 1 0 2 s i i g u Выпишем конкретный вид этого вектора

  } 0 , , 1, 1, , ( ) 1 , , ˆ i } 0 , , 1, 1, , ( ) 1 , , ˆ i j j j i s i j m g u i j m s i i s j g u L L L 2 , 1, , j j g u j m s L L ( ) 0, 1, , ; jg u j m L ( ) 0, 1, , . jg u j m s L 0 1 0 2 s i i g u Отсюда выводим, что действительно . u U Таким образом, получили 2) ( ) 0, 1, , , i ig u i m u U L С этой целью сконструируем вектор ( ), 1, , , j j m%L полагая теоремы. Докажем справедливость условия 2) 0 , 1, , ( ) , 1, , . 0, . i i i s i j j j m i j L%L

,  Тогда из неравенства (2) 0 1 0 2 s i i g u , Тогда из неравенства (2) 0 1 0 2 s i i g u находим, что 1, , . j m. L 0, 1 , 0 (, )( ) j i j s i i i j j jguuj g 6 4 7 4 8 % Отсюда 00 0 ( )j jg u Условия 2) теоремы доказаны. Необходимость доказана. ( ) 0, 1, , . i ig u i m L Достаточность. Пусть для некоторой пары 0 0, Uu выполнены условия 1)- 3) теоремы. достаточно установить, что она удовлетворяет левому неравенству в (1) 11 0, , 1 ss i ii iii g ug u. I u L u 64 7 48 01) , , , ; L u u U 2) ( ) 0, 1, , , i ig u i m L 3). u U 1 1 3 s s i i i g u Для доказательства того, что эта седловой точкой функции пара является Лагранжа или, что тоже самое, (3).

Сделаем это.  Из включения Uu следует ( ) 0, 1, , . ig u iСделаем это. Из включения Uu следует ( ) 0, 1, , . ig u i m s L Тогда 1 1 1 0 s m s i i i i i m g u g u 6 44 7 4 48 1 s i i i g u 0 0 1 0 0 , 4 m i i i g u Оценим правую часть (3). 1 ) 00 1 2 0. 5 m s i i условие i i m u U g u 64 7 486 7 8 Оценим левую часть (3) 1 1 3. s s i i i g u 1 5 1 4 0 0 s s i i i g u 6 4 4 7 4 48 0 1 1 s s i i i g u Из (4) в силу (5) выводим Получили неравенство (3), а значит и доказываемое левое неравенство в (1) 11 0 , , 1 ss i ii ii mi I u g u L u 64 7 48 Теорема доказана.

Выясним,  как связаны между собой решение задачи 1  и седловая точка функции Лагранжа дляВыясним, как связаны между собой решение задачи 1 и седловая точка функции Лагранжа для этой задачи. С одной стороны, имеет место следующая теорема. Теорема 2. Пусть пара 0 0, Uu является седловой точкой регулярной функции Лагранжа для задачи 1. Тогда , , . u U I L u Доказательство. , I u 1 5 0 , s i i i L u I u g u 6 4 7 4 8 Из правой части неравенства (1) 1 , , 1 s i i i I u g u. I u L u 64 7 48 отсюда следует 0 1 , . 6 s i i i I u g u u U Из равенства (5) выводим 1 0 s i i i g u В частности, при u U из (6) выводим } } 1 1 0 0 00 m s i i i m u U I u g u 6 4 4 7 4 4 8 , I u u U

. u U I u u U  Теорема доказана.  Пример 1.  Пусть . u U I u u U Теорема доказана. Пример 1. Пусть 1 2 00 , ( ). U u R u g u u ( ) , I u u В этом примере множество 0( ) 0 0 U u U g u 0. U С другой стороны, существуют примеры задач выпуклого программирования, для которых функция Лагранжа не имеет седловых точек при непустом множестве . U Построим функцию Лагранжа для задачи , ( )L u u g u 2 , u u 0 0, u U 1 1 0 0 u R Покажем, что функция Лагранжа не имеет седловых точек. седловая точка функции Лагранжа. Допустим противное. Тогда по теореме 2 0. u пара 0 0, u U Пусть Не может быть, чтобы 0, так как при 01 u U имеем

 2 1 0 , 1, 0 1 L u u   0 0, 0 2 1 0 , 1, 0 1 L u u 0 0, 0 , . L L u 0, , L u u U Получили противоречие с неравенством Таким образом, 0. Полагаем 1. u Для достаточно малых 0 будет выполнено 1 00. u U u R u Вычисляем: 2 , L u u u 21 1 2 2. 7 Из равенства (7) для малых 0 следует, что , 0 , . L u Последнее неравенство противоречит определению седловой точки и доказывает ее отсутствие. , , , L u L u

8. 3. Условия Слейтера.  В предыдущем пункте было установлено,  что не всякая задача выпуклого8. 3. Условия Слейтера. В предыдущем пункте было установлено, что не всякая задача выпуклого программирования допускает существование седловой точки своей функции Лагранжа. Для ее существования помимо выпуклости требуется наложить некоторые дополнительные условия на ограничения. Рассмотрим частный случай ограничений задачи 1. Именно, примем, что ограничения типа равенств отсутствуют, т. е. , что. m s Тогда 0( ) 0, 1, , . 1 i. U u U g u i m L Определение 3. Множество , U определенное условием (1), если существует точка 0 u U такая, что 1 0, , ( ) 0. mg u u U L называется (выполнены условия Слейтера), регулярным достаточно потребовать, чтобы для любого номера mj, , 1 существовала точка , ju U для которой бы выполнялось ( ) 0. j jg u и 0, 1, , . jj m L Положим Упражнение. Доказать, что для выполнения условия Слейтера в задачах выпуклого программирования Решениеm, , 1 таковы, что 1 1 m j j пусть

1. m j j j u u Из выпуклости множества U следует включение , u U1. m j j j u u Из выпуклости множества U следует включение , u U а из выпуклости функции , 1, , ig i m. L – неравенство 1 m i i j j j g u 0, 0 1 , 0, 1, , . i i i jg u i j m i i g j u j j j g u i m L