ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 22 7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 22 7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 7. 3. Основные свойства субдифференциала. 7. 4. Производные по направлению и субдифференциал выпуклой функции.

7. 3. Основные свойства субдифференциала приведены в следующей теореме. Теорема 3. Пусть n RU открытое выпуклое множество и 1 : I U R выпуклая функция. Тогда субдифференциал v. I является 1 ) непустым; 2) выпуклым; 3) замкнутым; 4) ограниченным множеством для всех . v U Доказательство. 1) Не пустота субдифференциала v. I следует сразу из теоремы 2. Теорема 2. Пусть n U R — открытое выпуклое множество. Для того, чтобы функция 1 : I U R имела непустой субдифференциал в каждой точке u U необходимо и достаточно, чтобы эта функция была выпуклой на множестве . U

c v I v 1 21 , , c v I u I v c c u v u U 6 44 7 4 48 Выпуклость субдифференциала I v доказана. 1 I u I v 2) Выпуклость субдифференциала . I v 2, , I u I v c u v 1 1 2, 1 , u vc c 1 2, , 0, 1 c c I v 3) Замкнутость субдифференциала . I v Пусть c — предельная точка множества I v и , 2, 1, , kv. Iccc kk Из v. Ick следует Пусть , u U

, , . k. I u I v c u v u U 4) Ограниченность субдифференциала . I v Из открытости множества U следует, что , n O v u R u v U для малых 0. При k отсюда получим, что . c I v Функция I выпукла, значит непрерывна на открытом множестве U и по теореме Вейерштрасса ограничена на компактном множестве, . O v Пусть , maxu O v. I I u Пусть . c I v v U и , , I u I v c u v u U Положим c u v c , , O v где. c I v U , O v vu число не зависит от. c I v В силу 1 c c

( ) , c c I v c c v v c Из неравенства ( ) c I v c c , max ( ) u O v I I u c I v c c 6 4 7 4 8 , . не зависит от с I I v c I v }} ( ) , , ( ) c cv v c c I u I v c u v c I v для этой точки имеем } 2 ( ) , c c I v cс cc Упражнение. Доказать непосредственно, что субдифференциал функции 1, , max , i n I u u u R L является выпуклым множеством.

Решение. Субдифференциал функции 1, , max , i n I u u u R L имеет вид. 1 1 1, 0, 1, , ; 0, , n i i nc I v c c i n c i Z v c L L L 1, , max. i s s n. Z v i n v v LL где Пусть , p q I v и 0, 1. Полагаем 1. r p q 1 1 n n n i i ir p q 1 1 1 1 n n i i p q Условие 0 0 1 0, 1, , i i ir p q i n L очевидно выполняется. Проверим выполнение 1 1. n i i r Действительно, Установим, что 0, . ir i Z v Пусть. i Z v Тогда 0 0 1 0. i i ir p q 0 i ip q

7. 4. Производные по направлению и субдифференциал выпуклой функции. Установим связь между производными по направлению и субдифференциалом выпуклой функции. Теорема 4. Пусть n RU — открытое выпуклое множество и n RUI: выпуклая функция. Тогда max , , , 1. c I v d. I v c e v U e de Доказательство. Для всех Uvv. Ic, и достаточно малых 0, t имеет место неравенство }} ( ) , v te I u I v c u v , I v te I v t c e , v te U таких что , I v te I v c e t 0 lim , t d. I v te I v c e de t , , d. I v c e c I v de max , . (1) c I v d. I v c e de

1; , nu U A u R I u При доказательстве теоремы 2, были разделены множества 1 0 ; , ; . 0 n u v te d. I v B u R I v t de t t u I A B n. U В результате было получено соотношение (2. 7), 0, (2. 7) I vvd. I v c v u c v v te I v t I u u U t t de имеющее место для любого. c v I v Полагаем в нем , . u v I v Тогда , c v v. I v 0, , 0 I d. I v t c v e t t t d c v e vv 00 , , 0, d. I v c v e ttt d t e

max , (1) c I v d. I v c e de В силу(1) из (2) следует max , . c I v d. I v c e de , , d. I v c v e c v I v de 00 , , 0, d. I v c v e ttt d t e Упражнение. max , , , 1. c I v d. I v c e v U e de Проиллюстрировать равенство на примере функции , n I u u u R Решение. В примере 3 было установлено, что (0) 1 , n I c R c в точке 0. u а в упражнении 0 1, , 1. n d. I e R e de из пункта 3. 4 — Имеем max , c I v c e 1 1 max , e c c e 1 0. d. I de max , (2) c I v d. I v c e de Теорема доказана.