ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 14 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 14 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 11. 5. Теоремы двойственности и равновесия.

11. 5. Теоремы двойственности и равновесия. Справедлива следующая теорема, которую обычно называют теоремой двойственности. Теорема 1. либо они обе имеют решение и. Либо обе взаимнодвойственные задачи линейного программирования Задача 3 и Задача 3 д(а) не имеют решения , при этом справедливо равенство ()(), ДI u Il * *= — где u*- решение прямой, а l * — решение двойственной задачи. Доказательство. Выпишем функцию Лагранжа для задачи 3. ˆˆ, , A bu u ˆ, T T c A A u , , u. L u c ˆ, , , b b Задача 3. , inf, c u 0, ˆ ˆ 0 Aw b 00. k n kw u U u R R w w 1 1 , k k n u u w w u u L L 1 m s R L 1 , m m R L

0. m s m R R 0 , k n kw u R R w w Выпишем функцию Лагранжа для задачи 3 д(а). ˆ, , , ДL u b b Задача 3 д(а). ˆ, , inf, b b ˆ0, 1, , ; i. T Tc A A i k L ˆ0, 1, , ; i. T T c A A i k n L 0 0. m s m. R R 1 ˆ njj T T j k u c A A ˆ, , b b ˆ, . T T c A A u 0 U 0 1 ˆ kjj T T j u c A A Область ее определения 0 0, U где

, , . T T L u c A A u b b 0. m s m R R 0, , k n k w u R R w i K w , ДL u Сравним функцию Лагранжа для двойственной задачи с функцией Лагранжа для основной задачиˆ, , b b ˆ, T T c A A u Приходим к равенству 0 0, , . ДL u u U 0 0 Д U 0 0 ДU и область ее определения 0 0, Д ДU где

Пусть 0 0, u U седловая точка функции, . L u Тогда 0 0, , , L u L u u U , , L u L u 0 0, , , . Д Д ДL u L u U u Таким образом, 0 0, u U седловая точка функции, . ДL u При этом , L u , . 1 ДL u Пусть одна из взаимно двойственных задач имеет решение. Тогда по теореме 9. 3 существует седловая точка () 0 0, u Ul * *Î ´ L функции Лагранжа для этой задачи. uрешение задачи 3. Например, При этом , . I u L u 0 0, , , L u L u u U 0 0, Д ДU u U

0 0, u U седловая точка функции, . ДL u Выше установлено, что Тогда по теореме 9. 2 В силу (1) справедливо равенство , , 1 ДL u ()(). ДI u Il * *= — Аналогично устанавливается, что следует существование решения основной задачи. Теорема доказана. , . Д ДL u I Установим условия разрешимости взаимно двойственных задач. Для существования решения взаимодвойственных задач достаточно, чтобы обе взаимодвойственные задачи были допустимыми. Теорема 2. является решением задачи 3 д(а) и точка из существования решения двойственной задачи Из приведенных рассуждений следует также, что если одна из взаимно двойственных задач не имеет решения, может его иметь. то и другая не Достаточно установить ограниченность снизу взаимно двойственных задач. целевых функций Доказательство. Пусть , . Д w u U U w Тогда

() 1 , n j j j I u c u = =å ()() 1 ˆ0 j j. T Tj jk n j j j k c A A c u m m³ — — = = + = — -³ + ³å å () 1 ˆ kj. T T j j A A um m = ³ — — +å() 1 ˆ nj T T j j k A A um m = + — — =å () 1 ˆ nj. T T j j A A um m = = — — =å ˆ, T T A A um m- — = ˆ, , T T A um m= — + — = ˆˆ0 ˆ, , Au b Au Au m m m — =-³- ³ — — + — ³ ()ˆ, , Дb b Im m l³ — — = — ÞИз (2) выводим ()() , , Д Д I u I I I u l l ³ — Таким образом, u- допустимая точка основной задачи, если то целевая функция ()()(). 2 ДI u Il³ — () 0 0, . 3 u Ul» Î Î L

(). I u-двойственной задачи ограничена снизу числом Наоборот, если то целевая функция основной задачи ограничена снизу (). ДIl- числом l- допустимая точка двойственной задачи, Теорема доказана. Теорема 3 (равновесия). Пусть u U*Î и l * Î L — Тогда для всех {}1, , j kÎL выполненорешения взаимодвойствен- задач 3 и 3 Д(а) соответственно. ных {}0, 1, , j u j k*> Î ÞL, j. T T jc A A 0, j u*= ()4 0 il * > Þ(), ii Au b*= а для всех {}1, , i mÎL выполнено () ii Au b*< Þ 0. il * =()5 Доказательство. Из неравенства (2) Ограниченность целевой функции (снизу при решении задачи линейного программирования на минимум) является достаточным условием ее разрешимости.

ˆ, , Au Aum m- + — ³ ()()ˆ, , . 6 Дb b Im m l³ — — = — ()ˆ, , T T I u c u A A um m= ³ — — = ()() 111 1 ˆ, n k n j j j j kjj jj k T T I u cc u c uu A A uc um m = = ==+ = = += ³ — — +å å åå ()() 11 ˆˆ ˆ, nj. T T j j k A A um m m mm m == + = — -+= — =-åå ˆ, ˆ, , , T T A u. Au Aum mm m- += — + =³ ()()ˆ, 2, . Дb b Im m l³ — — = -следует ()(). ДI u Il * *= — В силу теоремы 1 справедливо равенство Тогда при , u ul l * *= = все знаки неравенства в (6) следует заменить на знаки равенства. Имеем

ˆ, , Au Aum m * *- + — = ()()ˆ, , . 7 Дb b Im m l * * * = — — = — ()ˆ, , T T c u. IA A uum m * * ** *= — -= =Из (7) выводим ˆ, , T T c u A A um m * *= — — Þˆ, 0 T T A A c um m * * *- — — = Þ ()() 0 3 ( 1 1 ) ˆ ˆ0 k nj j. T T j T T Зада j j j ча а k Д A A c um m * * * = = = + — — — = Þå å ()() 1 ˆ0. 8 kj. T T j j A A c um m * * * = — — — =å В силу () 3 ( ) 3 ˆ0, 0, 1, , Задача Д а Задачj. T T j а A A c u j km m * * *- — — £ ³ =L {}()0, 1, , , jj T T ju j k c A Am m * * *> Î Þ = — -L 0, 1, , j. T T j jc A A u j k L ()4 из (8) следует утверждение (4) теоремы

Аналогично из (7)()()ˆˆ. , , , 7 ДAu b b. Im mlm * * * = -+ — = — — ()ˆ, , , T T I u c u A AAuumm m * * * *-= = — — =+ ˆˆ, , Au Au b bm m * * * *- + — = — — Þ следует 0 3 ˆˆ, , 0 Задача Au bm m * * = — + — = Þ 1 , 0 m Au b l m * * * æ ö÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷çè ø * *- = Þ L ()() 1 0. 9 m i i i Au bl * * = — =å В силу () 3 3 ( ) 0, 0, 1, , Задача Д аii Au b i ml* *- £ ³ =L из (9) следует утверждение (5) теоремы ()0 , ii i. Au bl * *> Þ = ()0 ii i. Au bl * *< Þ = ()1, , 5 i m=L Теорема доказана. ˆˆ0 , , b Aum m * * * *= — + Þ

Пример 1. Рассмотрим задачу линейного программирования 1 2 3 4 5 2 3 5 4 minu u u 1 2 3 4 5 2 3 4 6 8, 2 3 4 5 10, u u u u u 1 2 3 4 5 4 6 2 5 4, 3 5 2 4 8, u u u u u 1 2 3 0, 0, 0 u u u

Построим двойственную к ней задачу: 1 2 3 48 10 4 8 min 1 2 3 4 2 4 3 1, 2 3 6 5 2, 3 4 2 2 3, 1 2 3 4 4 5 5, 6 5 4 4, 1 20, 0. Точка 5 u R с координатами 1 2 3 4 58 36 0, 0, 0, , 19 19 u u u является допустимой для прямой задачи, так как выполняются соотношения

8 36 184 0 2 0 3 0 4 6 8, 19 19 19 8 36 172 2 0 3 0 4 0 5 10, 19 19 19 8 36 4 0 6 0 2 0 5 4, 19 19 8 36 3 0 5 0 2 0 4 8. 19 19 , , Аналогично точка 4 R с координатами 1 2 3 4 207 389 5, 9, , 19 19 является допустимой для двойственной задачи, 207 389 92 5 2 9 4 3 1, 19 19 19 207 389 2 5 3 9 6 5 0 2, 19 19 207 389 223 3 5 4 9 2 2 3, 19 19 19 207 389 4 5 9 5 5. 19 19 207 389 6 5 5 9 4 4, 19 19 , , , так как выполняются соотношения

По теореме 2 обе взаимодвойственные задачи имеют решение. Решение прямой задачи: 1 2 3 4 5112 72 424 , 0, 0, , 4, 11 11 11 u u u I u Решение двойственной задачи: 1 2 3 4 30 45 424 , 0, 4, , 11 11 11 ДI В соответствии с теоремой 1 здесь выполнено равенство первое ограничение прямой задачи на оптимальном векторе u и первое ограничение двойственной задачи на оптимальном векторе Действительно, 112 72 2 0 3 0 4 6 4 8, 11 11 æ ö ÷ç+ × — × + — + × =÷ç÷çè ø 30 45 2 0 4 4 3 1. 11 11 — + × — × = , Выпишем эти решения. ()(). ДI u Il * *= — должны выполняться со знаком «=» . В силу теоремы

Вычислим второе ограничение основной задачи, двойственной задачи на оптимальных значениях переменных. а также второе и третье ограничения Имеем 1 2 3 4 5 112 11 1 2 3 4 50 0 72 11 4 186 2 3 4 5 10 0, 11 u u u u u 1 2 3 4 30 11 0 1 2 3 4 4 45 11 125 2 3 6 5 2 0, 11 1 2 3 4 30 11 01 2 3 4 4 45 11 49 3 4 2 2 3 0. 11 В полном соответствие с теоремой 3 выше было получено 2 3 20, 0, 0. u u