ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 13 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 13 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ )

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3. 5. Критерии выпуклости гладких функций

3. 5. Критерии выпуклости гладких функций. Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой функции). Пусть n. RU выпуклое множество, 1 ( ), I C U тогда для выпуклости функции I на множестве U необходимо и достаточно, чтобы Проверка произвольной функции на выпуклость непосредственно по определению выпуклости ( ) ‘( ), , , . 1 I u I v u v U значительными трудностями. обычно сопряжено со критерии выпуклости, упрощающие эту проверку. Для гладких функций существуют более конструктивные Доказательство. Необходимость. (1 ) ( ) выпуклость II u v I u I v ( ) ( )I v u v I v I u I v Для всех Uvu, и 1, 0 имеем

‘ ( ) , 0, 1. 2 I v u v I u I v Разделим неравенство (2) на 0 и устремим к нулю В результате получим (1) Необходимость доказана. ( ) ‘( ), . 1 I u I v u v ‘ , ( )I v u v I u I v ‘ ( ) , ( ) ( ) I v u v I u I v 6 4 4 4 7 4 4 4 8 Достаточность. Пусть Uvu, и 0, 1. Положим 1. w u v U Из (1) ( ) ‘ , . I v I w v w ( ) ‘ , , I u I w u w ( ) ‘( ), , , 1 I u I v u v U находим для , : u w U для , : v w U Первое из этих неравенств умножим на , второе на 1 и сложим их почленно. Имеем

‘ , (1 ) w I w u v w 6 44 7 4 48 ( ) (1 )I u I v I w ‘ , (1 ) ww u v w. I Таким образом, } 1 1 ( ) (1 ). u v I w I u v I u I v и теорема доказана. ( ) (1 ) 0 I u I v I w ( ) ‘ , 1 I v I w v w ( ) ‘ , I u I w u w ‘ , 0. www. I

Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции). Пусть n RU выпуклое множество, 1 ( ), I C U тогда для выпуклости функции I на множестве U необходимо и достаточно, чтобы ‘( ), 0, , . 3 I u I v u v U Доказательство. Необходимость. ( ) ‘( ), . I v I u v u ( ) ‘( ), , I u I v u v Сложим эти неравенства почленно В силу выпуклости функции I на множестве U по первому критерию выпуклости справедливы неравенства ( ) 1 1()1 0. I u v. Iu v Uvu, что для любой пары точек ( ) ‘( ), , , 1 I u I v u v U ( теорема 8 ) ‘( ), 0 I v u v I u v u следует, ‘( ), 0 I v Iu v uuv ‘( ), 0 I u I v u v Необходимость доказана. ( )I u I v ‘( ), ( )) ‘()I I v u v I u v uv I u

Достаточность. Для всех 1, 0, , Uvu следует доказать справедливость неравенства 1 1 0 I u I v I u v 1 1 I u v I u I v 1 I u v 1 1 I u I v I u v 1 I u v 11 I u. I vv 1 I u v 1 I v 11 I u v 1 1 I I u v 1 4 4 2 4 4 3 2 1 1 I I v I u v 1 4 4 2 4 4 3 Таким образом следует доказать. что 1 21 0. I I

Для всех. I w w I w последовательно вычисляем выражения 1( ) 1 , I I u v 2( ) 1 I I v I u v Для выражения 1 I полагаем 11 , w u v 1 1 1 u v w u w Тогда в силу (4) и (5) выводим 11 1 11 ww w I I u v 1 0 ‘ , 4 I w t w w dt 1 1 w w u 1 1 4 1 I w w I w 11 u v 1 1 11 0 4 1 1 1’ , u v u v I w t w w dt 1 0 1 ‘ 1 1 , . 6 I u v t u v dt u 1 vu 1. 5 u v имеет место формула конечных приращений , n w w R

Тогда в силу (4) 2 21 w w w I I v I u v 6 44 7 4 48 1 2 2 0 4 1 ‘ , u v v u I w t w v u dt Для выражения 2 I полагаем 21 , w u v 2 1 2 u v w 2 2 w w v . 7 v u 1 0 ‘ , 4 I w w I w t w w dt 2 2 4 2 I w w I w 1 vu v находим 1 0 ‘ 1 , . I u v t v u dt Таким образом , 1 2, , 1 I u v I I 1 0 ‘ 1 1 , 1 1 I u v t u v dt I 1 0 ‘ , 2 1 1 I u v t v u dt I

1 0 ‘ 1 1 , 1 I u v t u v dt 1 0 ‘ 1 , 1 I u v t v u dt 1 1 01 ‘ 1 1 z I u v t u v 6 4 4 4 7 4 4 48 2’ 1 , . 8 z I u v t v u u v dt 6 4 4 7 4 48 Обозначим 11 1 z u v t u v 11 1 t u 11 12. u v 12 1 1 t v 1 1 1 tv vutu

Заметим, что 11 12 111 0, t 121 1 0. t При этом 11 1 t t Из выпуклости множества U отсюда следует, что 1 11 12. z u v U 21 z u v t v u 21 1 t u 64 7 48 21 22. u v Аналогично , обозначим 22 1 1 t v 6 44 7 4 48 1 vut tuv 1 11 1 t t

Заметим, что Кроме того 1 2 1 1 1 u v t v u z z 1 t u v 1 2 1. 9 u v z z t 211 0, t 221 1 0 t При этом 21 22 1 11 1. t t 1 t u v t v u 11 vuut v 1 vut v u Из выпуклости множества U отсюда следует, что 2 21 22. z u v U t u v

Из (8) 1 1 22 1 0 1, , 1 ‘ 1 , 8 z z t. I u v t u v I u v t v u u v dt в силу (9) 1 2 1 1 , 1 1 9 z u v t u v z u v t v u u v z z t 0 1 1 2 0 0 1 , , 1 ‘ ‘ , . по условию теоремы I u v I z z z dt t 6 4 4 44 7 4 48 По доказанному 1 2, . z z U Тогда для этих точек выполнено условие (3) ‘( ), 0, , . 3 I u I v u v U имеем Теорема доказана. Следовательно , , 0. I u v

Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции). 2 ( ), I C U »( ) , 0, , , 10 n I u u U R если int , U то это условие является необходимым. Доказательство. Необходимость. Пусть int. U Возьмем Uuint и . n RПусть n RU выпуклое множество, тогда для выпуклости функции I на множестве U достаточно, чтобы Тогда найдется число 0 0, что , u U если 0. Из второго критерия выпуклости ‘( ), 0, , 3 uu I v u v U » , I u 0 00, 1 , , . 11 выводим ‘ ‘( ), I u 2 3 » , 0, I u

Сокращая в неравенстве (11) и устремляя к нулю, Если \ int , u U U , int , 1, 2, . k ku u u U k L По доказанному выше будет выполняться »( ) , 0, . n k. I u R Переходя здесь к пределу при , k получим условие (9) и для точек \ int. u U U Необходимость доказана. Достаточность. найдется последовательность 2 0 на 2 » , 0 11 I u получим (10). »( ) , 0, 10 I u то так как выпуклое множество не может содержать изолированных точек, В силу второго критерия выпуклости достаточно доказать неравенство ‘( ), 0, , . I u I v u v U Имеем ‘( ), I u I v u v » ( ), 0, 1 ‘( ) , I v u v. I u I v u vv v

Тогда из условия (10)}} » ( ), w I v u v u v 6 4 7 4 8 » , , I w 1 , U U u v w U Где обозначено 0, 1 ( )w v u v »( ) , 0, , 10 n I u u U R ‘( ), I u I v u v 10 » , 0. I w . n u v R получим искомое Таким образом, для функции I выполнен второй критерий выпуклости дифференцируемых функций и, Теорема доказана. следовательно, она выпукла. Пример 10. Определить значения параметров, определенная равенством 3 1 : , I R R для которых функция 2 2 2 ( , , ) 2 I x y z x axy by cz будет выпуклой на всем пространстве 3. R

Функция I дважды непрерывно дифференцируема на всем пространстве 3. R По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы 2 2 0 »( , , ) 2 2 0. 0 0 2 a I x y z a b c при каких значениях параметров они будут не отрицательны. Вычислим ее главные миноры и выясним, Решение. 2 2 2 0 4 4 2 0. 0 0 2 a a b b a c c 2 0, 22 2 4 4 0, 2 2 a b a a b Таким образом, искомая область изменения параметров определяется неравенствами 2 , 0. a b c Например, значения параметров 1, 5, 2 cba этим неравенствам удовлетворяют.

Упражнение. Построить область изменения значений параметровa и, b для которых функция 2 21 , 1 4 1 2 I x y b x axy b y будет выпуклой на всем пространстве 2. R Решение. 1 2 ‘ , 1 2 b x ay I x y b y ax Условия выпуклости функции : I 2 2 1, 4 1 b b a 1 2 » , 2 1 b a I x y a b 2 2 1 0, 1 4 0 b b a 2 2 221 2 1, 1 1 b a b b a