Вычислительные системы и телекоммуникации Тема 1 Информационно-логические основы

Вычислительные системы и телекоммуникации Тема 1. Информационно-логические основы построения вычислительных машин

План 1. Особенности информации. Непрерывная и дискретная информация. Измерение количества информации: вероятностный и объемный подходы. 2. Системы счисления. Способы перевода чисел. Арифметические операции в различных системах счисления. 3. Особенности представления информации в ЭВМ. Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой. 4. Логические основы построения вычислительной машины. Элементы алгебры логики. Логический синтез вычислительных схем.

Информация n Понятие «информация» - фундаментальное понятие в науке и базовое для информатики. n В простейшем (бытовом) понимании, с термином «информация» обычно ассоциируются сведения, данные, знания и т. п. сведения данные знания n Информация передается в виде «сообщений» , сообщений» определяющих форму и представление передаваемой информации. n При этом предполагается, что имеются «источник информации» и «получатель информации» . источник информации получатель информации n Примерами сообщений являются музыкальное произведение; телепередача; команды регулировщика на перекрестке; текст, распечатанный на принтере; данные, полученные в результате работы составленной программы, и т. д.

Измерение информации n Не всякая информация имеет объективно измеряемое количество n При субъективном измерении измерение субъективном информации возможно лишь в виде установления некоторой субъективной порядковой шкалы для оценки «больше/меньше» . n При объективном измерении количества информации объективном следует заведомо отрешиться от восприятия ее с точки зрения субъективных свойств, примеры которых перечислены выше.

Сигнал-носитель информации n Чтобы сообщение передать от источника сообщение к получателю, необходима материальная субстанция — «носитель информации» n Сообщение, передаваемое с помощью носителя называется «сигналом» . сигналом» n Сигнал – форма распространения информации. n В общем случае сигнал — это изменяющийся во времени физический процесс. Та из характеристик процесса, которая используется для представления сообщений, называется «параметром сигнала» . n Информативные параметры сигнала - изменяемые во времени в соответствии с передаваемым сообщением, характеристики сигналов

Виды сигналов n Информационное сообщение можно представить функцией X(t), ( t – время) характеризующей изменение во времени параметров среды, в которой осуществляются информационные процессы. n В зависимости от структуры информационных параметров сигналы подразделяются: ¨ Дискретные ¨ Непрерывные ¨ Дискретно-непрерывные.

Непрерывные сигналы n Если функция x(t) непрерывна, то имеет место непрерывная или аналоговая информация, источником которой обычно являются различные природные объекты (например, температура, давление и влажность воздуха), объекты технологических производственных процессов (например, давление и температура теплоносителя в контурах ядерного реактора) и др. n Если же источник вырабатывает «непрерывное сообщение» сообщение (соответственно параметр сигнала — непрерывная функция от времени), то соответствующая информация называется «непрерывной» . непрерывной n Непрерывное сообщение можно преобразовать в дискретное (такая процедура называется «дискретизацией» ). дискретизацией

Непрерывные сигналы непрерывная функция непрерывного аргумента, например, непрерывная функция времени

Дискретные сигналы n Сигнал называется «дискретным» , а сообщение, дискретным» передаваемое с помощью таких сигналов, — «дискретным сообщением» , если информативный сообщением» параметр сигнала принимает последовательное во времени конечное число значений (при этом все они значений могут быть пронумерованы). n Т. е. если функция x(t) дискретна, то информационные x(t) дискретна сообщения, имеют дискретный характер. n Примеры дискретного сообщения — текст книги, сообщения, передаваемые посредством световых и звуковых сигналов, с помощью жестов, сообщения, передаваемые в письменном виде и др.

Дискретные сигналы дискретная функция дискретного аргумента, например функция, принимающая одно из конечного множества возможных значений (уровней) в определенные моменты времени

Дискретно-непрерывные сигналы n Сигнал, дискретный по одному параметру и непрерывный по другому, называют «дискретно-непрерывным» . непрерывная функция дискретного аргумента, например функция, значения которой отсчитываются только в определенные моменты времени дискретная функция непрерывного аргумента, например функция квантованная по уровню

Дискретизация n Любое непрерывное сообщение может быть представлено как сообщение дискретное, иначе говоря, последовательностью знаков дискретное некоторого алфавита. n Из бесконечного множества значений параметра сигнала выбирается их определенное число, которое приближенно может приближенно характеризовать остальные значения. n При дискретной форме представления информации отдельным элементам ее могут быть присвоены числовые (цифровые) значения n Поэтому говорят о цифровой (числовой) информации и цифровой обработке сигналов. n возможно с любой необходимой степенью точности непрерывные сообщения заменять цифровыми путем квантования цифровыми квантования непрерывного сообщения по уровню и времени.

Дискретизация n Область определения функции X(t) разбивается на отрезки равной длины и на каждом из этих отрезков значение функции принимается постоянным и равным, например, среднему значению на этом отрезке. значению

Аналогово-цифровое преобразование n n В аналоговой аппаратуре звук представляют колебаниями тока в электрической цепи. Такие колебания называют аналоговым сигналом. n Цифровая аппаратура оперирует наборами чисел и «не знает» никаких непрерывных электрических сигналов. Поэтому (аналоговый сигнал) представляется в цифровой аппаратуре набором чисел. n Процесс преобразования аналогового сигнала в цифровой называется аналогово-цифровым преобразованием. n Аппаратное устройство, занимающееся таким преобразованием, логично называется аналогово-цифровым преобразователем или сокращенно АЦП.

Принцип работы АЦП n На вход устройства подается непрерывный аналоговый сигнал, а на выходе через определенные промежутки времени снимаются численные значения его уровня (амплитуды ). n Во время прохождения аналогового сигнала через АЦП происходят два процесса – дискретизация во времени и квантование по уровню (квантование значений амплитуды ). n Дискретизация сигнала во времени заключается в измерении значений амплитуды аналогового сигнала через определенные промежутки времени, называемые шагом дискретизации. Чем выбранный шаг меньше, тем, соответственно, чаще замеряются значения амплитуды. n Количество осуществляемых замеров амплитуды в одну секунду называют частотой дискретизации (или частотой выборки ) сигнала.

Квантование сигнала n Квантование измеренных значений амплитуды сигнала представляет собой процесс замены этих значений приближенными с определенной точностью

Квантование сигнала n Необходимость производимых округлений вызвана невозможностью записывать с бесконечной точностью реальные значения амплитуды сигнала (это потребовало бы бесконечно большой объем памяти). n Точность осуществляемого округления зависит от выбранного количества уровней квантования : чем больше уровней квантования, тем на меньшую величину приходится округлять измеренные значения амплитуды, и, таким образом, тем меньше получаемая погрешность.

Оцифровка n n n в целом, оцифровка сигнала представляет собой процесс регистрации амплитуды сигнала через определенные промежутки времени и вывода зарегистрированных значений в виде округленных числовых значений. Полученные числовые значения амплитуды сигнала называют отсчетами. Вполне очевидно , что чем чаще производятся замеры амплитуды (то есть чем выше частота дискретизации) и чем на меньшие величины округляются полученные значения (то есть чем выше разрядность квантования ), тем более точно получаемая цифровая информация описывает оригинальной аналоговой сигнал. Способ хранения оцифрованного сигнала в виде последовательности чисел, описывающих абсолютные значения амплитуды сигнала, обозначается ИКМ - импульсно кодовая модуляция (в английском обозначении PCM - pulse code modulation ). Надо особо подчеркнуть, что объем оцифрованных данных напрямую зависит от выбранных параметров оцифровки: чем выше частота дискретизации и разрядность квантования, тем больше памяти требуется для хранения оцифрованных данных.

Квантование сигнала n Например, в случае наличия всего двух уровней квантования – « 1» и « 0» (то есть случай примитивного однобитного АЦП) измеренные значения амплитуды сигнала округляются до «есть» и «нет» . В случае же, например, 16 -битного АЦП количество уровней квантования равно 2^16 = 65536 уровней. n Стандартный аудио компакт диск ( CD - DA ) несет информацию в формате ИКМ с параметрами 44100 Гц / 16 бит / стерео (частота дискретизации / разрядность квантования / количество каналов). Несложно подсчитать, что диск CD - DA стандартным объемом 650 Мб хранит около часа музыки: 44100 (Гц) * 16 (бит) * 2 (каналов) * 60 (секунд) * 60 (минут) / 8 (бит в байте) / 1024 (байт в килобайте) / 1024 (килобайт в мегабайте) = ~605 мегабайт. n

Квантование сигнала n В соответствии с теоремой Котельникова (Найквиста) частота дискретизации устанавливает верхнюю границу частот, информация о которых сохраняется в оцифрованном сигнале. А именно: максимальная частота спектральных составляющих сигнала равна половине частоты дискретизации. n На практике это означает, что аудио компакт-диск, несущий данные, дискретизованные с частотой 44. 1 к. Гц, несет информацию об оригинальной записи в полосе частот от 0 Гц до 22050 Гц. n Человеческий слуховой аппарат, кстати, способен улавливать частоты в диапазоне (приблизительно) 0 – 20 к. Гц.

Аналоговые и цифровые ЭВМ n В зависимости от вида обрабатываемой информации вычислительные машины (ВМ) делят на два основных класса: «аналоговые» и «цифровые» . аналоговые цифровые n Аналоговые вычислительные машины (АВМ) – это машина, Аналоговые вычислительные машины оперирующая информацией, представленной в виде непрерывных изменений некоторых физических величин: сила тока электрической цепи, угол поворота вала, скорость и ускорение движения тела и т. д. n Цифровая вычислительная машина (ЦВМ) – машина, Цифровая вычислительная машина оперирующая информацией, представленной в дискретном виде. n Персональный компьютер — цифровая машина, т. е. внутреннее Персональный компьютер цифровая машина представление информации в нем дискретно.

Измерение количества информации n n n Количество информации – это сколько? Определить понятие «количество информации» довольно информации сложно. Существуют два основных подхода к измерению информации: ¨ ¨ n Вероятностный подход Объемный подход Исторически они возникли почти одновременно. В конце 40 -х годов XX века один из основоположников кибернетики, американский математик Клод Шеннон, развил «вероятностный подход» к измерению количества информации, а работы по созданию ЭВМ привели к «объемному» подходу.

Вероятностный подход. Формула Хартли. n Рассмотрим в качестве примера опыт, связанный с бросанием правильной игральной кости, имеющей N граней. Результаты данного опыта могут быть следующие: выпадение грани с одним из следующих знаков: 1, 2, . . . , N. n Введем в рассмотрение численную величину, измеряющую неопределенность — энтропию (обозначим её Н). энтропию n В случае равновероятного выпадения каждой из граней величины N и Н связаны между собой формулой Хартли Н = log 2 N.

Вероятностный подход. Формула Хартли n n n Важным при введении какой-либо величины является вопрос о том, что принимать за единицу измерения энтропии Н будет равно единице при N = 2; (Н = log 2 N. ) Иначе говоря, в качестве единицы принимается количество информации, связанное с проведением опыта, состоящего в получении одного из двух равновероятных исходов (примером такого опыта может служить бросание монеты, при котором возможны два исхода: «орел» , «решка» ). n Такая единица количества информации называется «бит» . бит

Вероятностный подход. Формула Шеннона n В случае, когда вероятности Р, результатов опыта (в примере, приведенном выше, — бросания игральной кости) неодинаковы, имеет место формула Шеннона n В случае равновероятности событий формула Шеннона переходит в формулу Хартли.

Алфавит и количество информации n Определим количество информации, связанное с появлением каждого символа в сообщениях, записанных на русском языке. Будем считать, что русский алфавит состоит из 33 букв и знака «пробел» для разделения слов. По формуле Хартли Н = log 2 (34) = 5, 09 бит. n Однако в словах русского языка (равно как и в словах других языков) различные буквы встречаются неодинаково часто. Воспользовавшись формулой Шеннона получим: Н ~ 4, 72 бит. n Величина H, вычисляемая по формуле Хартли, является максимальным количеством информации, которое могло бы приходиться на один знак.

Алфавит и количество информации

Двоичный алфавит и количество информации n Рассмотрим алфавит, состоящий из двух знаков 0 и 1. Если считать, что со знаками 0 и 1 в двоичном алфавите связаны одинаковые вероятности их появления Р(0) = Р(1) = 0, 5 n количество информации на один знак при двоичном кодировании будет равно Н = log 2(2) = 1 бит. n Таким образом, количество информации (в битах), заключенное в двоичном слове, равно числу двоичных знаков в нем.

Объемный подход n n n Объем информации, подсчитывается просто по числу требуемых для такой записи двоичных символов. В двоичной системе счисления знаки 0 и 1 называют битами (bit — от английского выражения binary digi. Ts — двоичные цифры). В компьютере бит является наименьшей возможной бит единицей информации. При этом, в частности, невозможно нецелое число битов (в отличие от вероятностного подхода). битов Для удобства использования введены и более крупные, чем бит, единицы количества информации. Так, двоичное слово из восьми знаков содержит один байт информации, 1024 байта образуют килобайт (Кбайт), килобайт 1024 килобайта — мегабайт (Мбайт), а 1024 мегабайта мегабайт — гигабайт (Гбайт). гигабайт

Вероятностный и объемный подход. Соотношение. n n n Между вероятностным и объемным количеством информации соотношение неоднозначное Не всякое сообщение, записанное двоичными символами, допускает измерение объема информации в вероятностном (кибернетическом) смысле, но заведомо допускает его в объемном. Далее, если некоторое сообщение допускает измеримость количества информации в обоих смыслах, то это количество не обязательно совпадает, при обязательно этом кибернетическое количество информации не может быть больше объемного.

Представление числовой информации. Системы счисления. n n Как известно, для записи числовой информации используют числа, состоящие из цифр. Число — это некоторая абстрактная сущность Число для описания количества (определение из Википедии). Цифры — это знаки, используемые для записи Цифры чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры, представляемые известными нам знаками от нуля (0) до девяти (9); менее распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (XIX век). {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ; {A, B, C, D, E, F}; {I, V, X, L, C, D, M }

Системы счисления n n Системы счисления определяют правила счисления записи чисел с помощью цифр. Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием системы счисления» . Системы счисления бывают: ¨ позиционными, ¨ непозиционными ¨ смешанными

Позиционные системы счисления n n В позиционной системе счисления значимость цифры зависит от её расположения в числе. расположения Количество цифр в числе определяет его разрядность, разрядность а вес данного разряда зависит от его позиции в числе. Вес каждого следующего разряда в P раз больше предыдущего, где P -основание позиционной системы. На практике любое многоразрядное десятичное число имеет краткую запись без указания веса разряда. XB=A(n-1)A(n-2)…A 1 A 0 , A-1 A-2…A-S. X 10=123325, 8= = 1*105+2*104+3*103+3*102+2*101+5*100+8*10 -1.

Непозиционные системы счисления n В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. n Например, в римской непозиционной системе счисления для каждого числа используется некоторый набор базовых символов (I, V, X, L, C, D, M), соответствующих числам 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. n Остальные значения чисел получаются из базовых путём сложения (например, 700=DCC) или вычитания (например, 800=CCM). В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от её места (позиции) в числе.

Смешанные системы счисления n n Денежные знаки - это пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1 коп. , 5 коп. , 10 коп. , 50 коп. , 1 руб. , 2 руб. , 5 руб. , 10 руб. , 50 руб. , 100 руб. , 500 руб. , 1000 руб. и 5000 руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нам нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 руб. Чтобы расплатиться, нам потребуется шесть купюр по тысяче рублей, три купюры по сто рублей, одна пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая монета и две монеты по два рубля. Если мы запишем количество купюр или монет начиная с 1000 руб. и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления; в нашем случае — 603121200000.

Позиционные системы счисления n n n Позиционная система счисления — система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Каждая позиционная система счисления определяется некоторым числом b (т. н. основание системы счисления) с | b | > 1. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п. ).

Запись числа в позиционной СС n Число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации степеней числа b: n где Ai — цифры целой части дробного числа (до запятой), A-i - цифры дробной части дробного числа (после запятой), n — число разрядов целой части дробного числа (до запятой), s- число разрядов (после запятой). Только числа, представимые в виде для целых s и q, обладают конечной записью в b-ричной системе счисления. n n Каждая степень bk в такой записи называется разрядом

Цифры в системах счисления n n Для записи чисел системы счисления с основанием до 36 включительно в качестве цифр используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и затем буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z). При этом, A = 10, B = 11 и т. д. , иногда X = 10. При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе: 12310 — это число 123 в десятичной системе счисления; 11110112 — то же число, но в двоичной системе.

Свойства позиционных систем счисления 1 Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2. 2 Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется [logb (x)]+1 цифр, где [. ]означает взятие целой части числа. Сравнение чисел. Сравним числа 321 и 312. Для этого слева направо сравниваем цифры, стоящие в одинаковых разрядах: 3 = 3 — результат сравнения чисел не определён; 2 > 1 — первое число больше независимо от оставшихся цифр. Сложение чисел. Сложим 321 и 312. Для этого справа налево складываем отдельные цифры. 3 4

Плотность записи информации n n n При условии равновероятности появления каждой из цифр плотность записи (т. е. количество информации на одну позицию) чисел в системе счисления с основанием b равна ln(b)/b. Плотность записи, как функция от b, принимает максимальное значение в точке при b=e=2, 71828. Таким образом, наибольшей плотностью записи информации обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным e. Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшей плотностью записи информации обладает троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшую плотность записи информации.

Примеры позиционных систем счисления n С целочисленными основаниями: ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 1 — единичная (унарная) система счисления, c некоторыми оговорками, относится к позиционным системам счисления. 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании) 3 — троичная система счисления 8 — восьмеричная (в программировании) 10 — десятичная система счисления 12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных областях используется и сейчас) 16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также в шрифтах) 40 — сорокаичная система счисления (применялась в древности ("сороков = 1600")) 60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты)

Примеры позиционных систем счисления n Так же существуют позиционные системы с отрицательными основаниями (негапозиционные): -2 — нега-двоичная система счисления ¨ -10 — нега-десятичная система счисления ¨ n Иногда также рассматривают позиционные системы с нецелочисленными основаниями: ¨ 2, 71. . . = е — е-ричная система счисления с основанием, равным числу Эйлера (применяется в натуральных логарифмах)

Двоичная система счисления n n n В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в железе (кремнии, транзисторах, микросхемах), так как для нее требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1). состояния Двоичная система счисления является позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. К её достоинствам относится: Использование элементной базы микроэлектроники с 2 -мя устойчивыми состояниями. ¨ Использование аппарата булевой алгебры для выполнения логических алгебры преобразований информации. ¨ Использование простейшей арифметики. ¨ n Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. По этой и другим причинам кроме двоичной применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений n Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. n Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. n Они удобны, как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов, а по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. n Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок.

Системы счисления по основанию 2

Прочие позиционные СС Система счисления с основанием е=2, 71828. . . n Обладает наибольшей плотностью записи информации. Относится к нецелочисленным позиционным системам счисления. Троичная система счисления n Из целочисленных систем счисления обладает наибольшей плотностью записи информации. Первая троичная ЭВМ "Сетунь" была построена Брусенцовым в МГУ. Четверичная система счисления n Обладает такой же плотностью записи, как и двоичная система счисления.

Прочие позиционные СС Десятичная система счисления n По плотности записи информации уступает многим другим системам счисления, но по удобству пользования человеком превосходит другие системы счисления. Двенадцатеричная система счисления n С основанием 12 (дюжина). По плотности записи информации уступает многим другим системам счисления, но удобна для человека, так как 12 делится на 12, на 6, на 4, на 3, на 2 и на 1 человека. Поэтому сервизы делают на 12 персон, а яйца продают по 12 штук (дюжинами).

Прочие позиционные СС Шестидесятеричная система счисления n То как мы представляем время на часах это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции для часов, минут и секунд; так как для каждой позиций приходиться использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятеричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02, . . . , 59), а позиции разделяются двоеточием. h: m: s n Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле: h 602 + m 601 + s 600 = h 3600 + m 60 + s

Смешанная система счисления n Смешанная система счисления является обобщением b-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел и каждое число x представляется как линейная комбинация : n где на коэффициенты ak (называемые как и прежде цифрами) накладываются некоторые ограничения. Записью числа x в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса k, начиная с первого ненулевого. Если bk = bk для некоторого b, то смешанная система счисления совпадает с b-ричной системой счисления. n n

Смешанные системы счисления n n n Система счисления времени Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению: d*24*60*60+h*60*60+m*60+s

Непозиционные системы счисления n n Римская система счисления Каноническим примером фактически непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы: I обозначает 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000 Например, II = 1 + 1 = 2 здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе. На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например: IV = 4, в то время как: VI = 6

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную n Рациональное число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа b: n Если число X в b-ричной системе счисления равно A 1 A 2 A 3…An, A-1 A-2 A-3…A-S то для перевода в десятичную систему вычисляем такую сумму: Xb=A(n-1)*B(n-1)+A(n-2)*B(n-2) +…+A 1*B 1+A 0*B 0+ A(-1)*B(-1)+A(-2)*B(-2) +…+A(-S)*B(-S) X 10=123325, 8 =1*105+2*104+3*103+3*102+2*101 +5*100+8*10 -1

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную b 10 n n n При переводе чисел из системы счисления с основанием b в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер — 1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления. Например: 1100, 0112 =12, 375 11002 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 1 = =1· 8+1· 4+0· 2+0· 1= = 8 + 4 + 0 = 1210 0, 0112 =0*2 -1+1*2 -2+1*2 -3=0+0, 25+0, 125=0, 375

Перевод из десятичной в b-ичную (b>1) 10 b 1) если переводится целая часть числа, то она делится на b, после чего числа запоминается остаток от деления. n Полученное частное вновь делится на b, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. n Остатки отделения на b выписываются в порядке, обратном их получению; 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на b, числа после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на b и т. д. n Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. n Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием b.

Перевод из десятичной в b-ичную (b>1) n Перевести числа из десятичной системы в двоичную( получить 5 знаков после запятой). 464(10) ; 380, 1875(10) ; 115, 94(10) 464(10) = 111010000; 380, 1875(10)=101111100, 0011; 115, 94(10)=1110011, 11110

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы 2 8, 2 16 n n Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени. 8 – три, 16 – четыре. В целой части числа группировка производится справа части налево, в дробной части — слева направо. налево направо 0001 1111, 0010 1000 или 001 111, 001 010 Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

Таблицы перевода 2 8, 2 16 n Для восьмеричной — разбиваем число на группы по 3 двоичные цифры и преобразуем по таблице: n Для шестнадцатеричной — разбиваем на квартеты, преобразуем по таблице:

Выполнение арифметических операций в позиционной системе счисления n Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием b необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. n Таблицы сложения и умножения двоичных чисел b=2.

Выполнение арифметических операций в позиционной системе счисления

Выполнение арифметических операций в позиционной системе счисления

Выполнение арифметических операций в позиционной системе счисления

Сложение

Вычитание

Умножение

Представления информации в ЭВМ n Кодирование информации — понятие, отражающее фундаментальную необходимость представления информации в какой -либо форме. При этом слово «кодирование» понимается в широком смысле как представление информации в виде сообщения на какомлибо языке. n Для представления информации в памяти ЭВМ (как числовой, так и нечисловой) используется двоичный способ кодирования. n Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (байт). Каждый байт имеет свой номер (его называют адресом). n Наибольшую последовательность бит, которую ЭВМ может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом. n Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам и т. д.

Кодирование текста n n n Текстовая информация осмысленно воспринимается лишь в том случае, если человек умеет читать и знает язык, на котором написан текст. Информация имеющая вид текста, часто представляется в виде кода, в котором каждому отдельному символу в тексте приписывается уникальная последовательность битов. На заре развития вычислительной техники было разработано много систем кодов, которые разрабатывались для различной техники, что привело к проблемам при передаче информации. Для преодоления этой ситуации Американским национальным институтом стандартов(ANSI) был принят американский стандартный код для обмена информацией ASCII, в котором используются наборы из 7 битов для представления строчных и прописных символов английского алфавита, знаков пунктуации, цифр и др. символов. Сегодня для хранения кодов используется 8 бит, при этом дополняя старший бит 0. 01001000 01100101 01101100 01101111 00101110 H e l l o .

Кодирование текста n n Текстовая информация осмысленно воспринимается лишь в том случае, если человек умеет читать и знает язык, на котором написан текст. Для умелого чтения необходимо знать буквенный и числовой алфавиты. n В русском языке используется кириллица (32 буквы) и арабские цифры от 0 до 9. n В английском языке используются буквы латинского алфавита (26 букв). n Для кодирования символов достаточно одного байта. При этом можно представить 256 символов (с десятичными кодами от 0 до 255). n Набор символов персональных ЭВМ IBM PC чаше всего является расширением кода ASCII (American Standart Code for Information Interchange — стандартный американский код для обмена информацией).

Таблица. Коды ASCII 0 -127

Двоично-десятичное кодирование n n В некоторых случаях при представлении в памяти ЭВМ чисел используется смешанная двоично-десятичная «система счисления» , где для хранения каждого десятичного знака нужен полубайт (4 бита) и десятичные цифры от 0 до 9 представляются соответствующими двоичными числами от 0000 до 1001. Например, упакованный десятичный формат, предназначенный для хранения целых чисел с 18 значащими цифрами и занимающий в памяти 10 байт (старший из которых знаковый), использует именно этот вариант. 0000 0001 0010 0011 0 1 2 3

Двоично-десятичное кодирование n n n Для хранения числовых значений в компьютере используется двоичная запись, как боле экономная с точки зрения использования памяти компьютера. Пример: Для хранения числа 99 требуется 2 байта ASCII кода. Если использовать 2 байта для хранения двоичного числа, то диапазон значений целых числе может быть от 0 до 2^16 = 65635 , что является значительным усовершенствованием. Тем не менее, для хранения целых чисел в компьютерах используется другая система кодирования, называемая представлением в дополнительном коде, которая дает возможность кодирования положительных и отрицательных чисел. Для хранения не целых чисел используется другая форма – представление чисел с плавающей точкой.

Кодирование числовой информации. Прямой и дополнительный код числа n Для представления чисел в памяти ПК используются два формата: ¨ формат с фиксированной точкой (запятой) целые числа; ¨ формат с плавающей точкой (запятой) вещественные числа. n Для хранения положительных чисел используется прямой код числа, для хранения значения отрицательных чисел- дополнительный код

Числа со знаками и без них n n n Данные в памяти компьютер хранятся в виде двоичных кодов, которые могут быть интерпретированы как числа со знаками, так и без знаков. В случае представления величины со знаком самый левый (старший) разряд указывает на положительное число, если содержит нуль, и на отрицательное, если — единицу. Вообще разряды нумеруются справа налево, начиная с 0. Ниже показана нумерация бит в двухбайтовом машинном слове

Прямой и дополнительный код положительного числа n Прямой код целого числа может быть получен следующим образом: число переводится в двоичную систему счисления, а затем его двоичную запись слева дополняют таким количеством незначащих нулей, сколько требует тип данных, к которому принадлежит число. n Например, если число 3710= 1001012, объявлено величиной типа Integer (2 байта), то его прямым кодом будет 0000 0010 0101, а если величиной типа Long (4 байта), то его прямой код будет 0000 0000 0010 0101. n Для более компактной записи чаще используют шестнадцатеричный код. Полученные коды можно переписать соответственно как 002516 и 0000002516. n Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

Прямой и дополнительный код отрицательного числа n 1) 2) 3) Дополнительный код целого отрицательного числа может быть получен по следующему алгоритму: записать прямой код модуля числа; инвертировать его (заменить единицы нулями, нули — единицами): прибавить к инверсному коду единицу. 5) Например, запишем дополнительный код числа (-37), интерпретируя его как величину типа Long (4 байта): прямой код числа 37 есть 6) 0000 0000 0010 0101; инверсный код 7) 1111 1111 1101 1010; дополнительный код 4) 1111 1111 1101 1011 или FFFFFFDB(16).

Алгоритм получения числа по его коду. n При получении числа по его дополнительному коду, прежде всего, необходимо определить его знак Если число окажется положительным, то просто перевести его код в десятичную систему счисления. n В случае отрицательного числа необходимо выполнить числа следующий алгоритм: 1) вычесть из кода числа 1; 2) инвертировать код; 3) перевести в десятичную систему счисления. 4) полученное число записать со знаком минус.

Пример: получение числа по его коду. Примеры. Запишем числа, соответствующие дополнительным кодам: n а) 0000 0001 0111. Поскольку в старшем разряде записан нуль, то результат будет положительным. Это код числа 23; n б) 1111 1100 0000. Здесь записан код отрицательного числа. Исполняем алгоритм: 1) 1111 1100 0000 - 1= 1111 1011 1111; 2) 0000 0100 0000; 3) 0000 0100 0000(2) = 64(10). Ответ: -64.

Представление в памяти компьютера чисел с плавающей точкой (дробных чисел). n Любое действительное число можно записать в стандартном виде: x=М *10 p, где М< 10, р — целое. n n n Например, 120100000 = 1, 201*108. Мантисса 1, 201 Порядок 8

Представление в памяти компьютера чисел с плавающей точкой (дробных чисел). n n n Поскольку каждая позиция десятичного числа отличается от соседней на степень числа 10, умножение на 10 эквивалентно сдвигу десятичной запятой на одну позицию вправо. Аналогично деление на 10 сдвигает десятичную запятую на позицию влево. Поэтому : , , , 120100000 = 1 201* 10^8 = 0 1201*10^9= 12 01*10^7. . . n Десятичная запятая «плавает» в числе и больше не «плавает» помечает абсолютное место между целой и дробной частями, поэтому дробные числа называют «числами с плавающей точкой» .

Мантисса и порядок числа x=М *10 p n n n В приведенной выше записи М называют мантиссой числа, а р — его порядком. Для того чтобы сохранить максимальную точность, вычислительные машины почти всегда хранят мантиссу в нормализованном виде, что означает, что мантисса в данном случае есть число, лежащее между 1 и 2: (1 <= М< 2). Основание системы счисления здесь, как уже отмечалось выше, — число 2 Способ хранения мантиссы с плавающей точкой подразумевает, что двоичная запятая находится на фиксированном месте. Фактически подразумевается, что двоичная запятая следует после первой двоичной цифры Нормализация мантиссы делает единичным первый бит, помещая тем самым значение между единицей и двойкой. n Место, отводимое для числа с плавающей точкой, делится на два поля. Одно поле содержит знак и значение мантиссы, а другое содержит знак и значение порядка. n 1, 110 0101 1000

Основные типы числовых данных с плавающей точкой n Персональный компьютер IBM PC позволяет работать со следующими действительными типами (диапазон значений указан по абсолютной величине):

Представление действительного числа в памяти ПК n n Покажем преобразование действительного числа для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double. Как видно из таблицы, величина это типа занимает в памяти 8 байт. На рисунке показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка: Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер 51, т. е. мантисса занимает младшие 52 бита. Черта указывает здесь на положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части мантиссы, но поскольку она всегда равна 1, здесь данный бит не требуется и соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается).

Хранение значения порядка числа n n Значение порядка для упрощения вычислений и сравнения действительных чисел хранится в виде смещенного числа, т. е. к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется смешение Смешение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает 11 бит и имеет диапазон от 2^-1023 до 2^1023, поэтому смешение равно 1023(10) = 11111(2). Наконец, бит с номером 63 указывает на знак числа.

Алгоритм для получения представления действительного числа n n 1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления; 2) нормализовать двоичное число, т. е. записать в виде М* 2^Р, где М— мантисса (ее целая часть равна 12) и р — порядок, записанный в десятичной системе счисления; 3) прибавить к порядку смешение и перевести смешенный порядок в двоичную систему счисления; 4) учитывая знак заданного числа (0 — положительное; 1 — отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример получения представления действительного числа n n n Пример. Запишем код числа -312, 3125. 1) Двоичная запись модуля этого числа имеет вид 1 0011 1000, 0101. 2) Имеем 1 0011 1000, 0101 = 1, 0011 1000 0101 *28. 3) Получаем смешенный порядок 8 + 1023 = 1031. Далее имеем 1031(10)= 10000000111(2). 4) Окончательно Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать в 16 системе следующим образом: С 073850000016.

Пример получения представления действительного числа Пример. 1 байтовое число с плавающей точкой 01101011 n n n Знаковый разряд – 0, следовательно положительное Порядок 110 , мантисса 1011 Извлекаем мантиссу. 1011 = 1. 1011 Извл. порядок и преобразуем 110 = -2 Применяем к мантиссе 1. 1011 *2^-2 = 110. 11 =6 и 3/4

Алгоритм для получения действительного числа по представлению в памяти ЭВМ n Пример. Пусть дан код 3 FEC 6000000(16), или 1) Прежде всего, замечаем, что это код положительного числа, поскольку в разряде с номером 63 записан нуль. Получим порядок этого числа: 0111110(2)= 1022(10); 10221023 = -1. 2) Число имеет вид 1, 1100011*2 -1 или 0, 11100011. 3) Переводом в десятичную систему счисления получаем 0, 88671875.