ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2015– 2016 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 9 класс
Задача 1 Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2015 — нет). Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.
Решение Так как 2002 не подходит, значит, большее слагаемое имеет вид 1 AA 1. Тогда второе слагаемое должно заканчиваться на 4, так как оно равно 2015 – 1 AA 1, т. е. имеет вид 4 B 4. Итак, 2015 – 1 AA 1 = 4 B 4. Запишем 1 АА 1= 1001+АА 0 и 4 В 4=404+В 0 Получаем 2015 − 1001 − 404 = 610 =AA 0 + B 0 , Значит, AA+ В=61, откуда AA = 55, В = 6. Ответ. 2015 = 1551 + 464
Реши самостоятельно Представьте число 2114 в виде суммы двух палиндромов. Ответ. 2114 = 1771 + 343
Задачи ЕГЭ Базовый уровень
Задача из ОБ ЕГЭ базового уровня За да ние 19 № 506263. При ве ди те при мер трёхзнач но го числа, сумма цифр ко то ро го равна 20, а сумма квад ра тов цифр де лит ся на 3, но не де лит ся на 9.
Решение за да ния 19 № 506263. Раз ло жим число 20 на сла га е мые раз лич ны ми спо со ба м 20 = 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 = 7 + 6. При раз ло же нии спо со ба ми 1− 4, 7 и 8 суммы квад ра тов чисел не крат ны трём. При раз ло же нии пятым спо со бом сумма квад ра тов крат на де вя ти. Раз ло же ние ше стым спо со бом удо вле тво ря ет усло ви ям за да чи. Таким об ра зом, усло вию за да чи удо вле тво ря ет любое число, за пи сан ное циф ра ми 5, 7 и 8, на при мер, число 578.
Задача из ОБ ЕГЭ базового уровня За да ние 19 № 510035. Цифры четырёхзнач но го числа, крат но го 5, за пи са ли в об рат ном по ряд ке и по лу чи ли вто рое четырёхзнач ное число. Затем из пер во го числа вычли вто рое и по лу чи ли 4536. При ве ди те ровно один при мер та ко го числа. Ответ: одно из чисел 9605, 9715, 9825, 9935.
Решение за да ния 19 № 510035. Число де лит ся на 5, зна чит, его по след няя цифра или 0, или 5. Но так как при за пи си в об рат ном по ряд ке цифры также об ра зу ют четырёхзнач ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на чи нать ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда второе число . Получаем Откуда находим, что а=9. Подставим в числа и запишем разность Тогда Распишем по разрядам Ответ: одно из чисел 9605, 9715, 9825, 9935.
Реши самостоятельно За да ние 19 № 506834. Цифры четырёхзнач но го числа, крат но го 5, за пи са ли в об рат ном по ряд ке и по лу чи ли вто рое четырёхзнач ное число. Затем из пер во го числа вычли вто рое и по лу чи ли 1458. При ве ди те ровно один при мер та ко го числа. От ве т: одно из чисел 7065, 7175, 7285, 7395.