ВИДЫ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ Система счисления Основание

ВИДЫ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления Основание Алфавит Двоичная 2 0, 1 Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ 2 -ая 8 -ая 10 -ая 16 -ая 0 0 1 1 10 2 2 2 11 3 3 3 100 4 4 4 101 5 5 5 110 6 6 6 111 7 7 7 1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 10 А 1011 13 11 В 1100 14 12 С 1101 15 13 D 1110 16 14 E 1111 17 15 F

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА Перевод чисел из 2 с. с. в 8 с. с. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады. И каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной цифрой

ПРИМЕР 1 Перевести смешанное число 111010100, 1010112 в восьмеричную систему счисления. 8 0 1 2 3 4 5 6 7 2 000 001 010 011 100 101 110 111 Группы по три двоичных знака выделяются от запятой как влево, так и вправо. 111 010 100, 101 011 Затем производится перекодировка по двоично-восьмеричной таблице: 7 2 4, 5 3 Следовательно, 111010100, 1010112 = 724, 538

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 2 С. С. В 8 С. С. 10101001101112 1001111110111, 01112 1110101011, 10111012 10111001, 1011001112 10111100, 112 10111, 11111011112 1100010101, 110012

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА Перевод чисел из 8 с. с. в 2 с. с. Каждую цифру восьмеричного числа заменяем эквивалентной ей двоичной триадой двоичной системы счисления

ПРИМЕР 2 Перевести смешанное число 537, 18 в двоичную систему счисления 8 0 1 2 3 4 5 6 7 2 000 001 010 011 100 101 110 111 Каждую цифру восьмеричного числа заменяем на соответствующую ей триаду цифр двоичного числа 5 3 7 , 1 101 011 111 , 001 Следовательно, 537, 18= 101011111, 0012

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 8 С. С В 2 С. С. 6778 745, 348 1258 2268 17008 344, 558 0, 7128 4, 368

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА Перевод чисел из 2 с. с. в 16 с. с. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на тетрады. И каждую такую группу заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

ПРИМЕР 1 16 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 8 9 A B C D E F 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Перевести число в шестнадцатеричную с. с. 110000010010, 1002 1100 0001 0010, 1000 С 1 2 , 8 Следовательно, 110000010010, 1002 = С 12, 816

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 2 С. С. В 16 С. С. 10101001101112 1001111110111, 01112 1110101011, 10111012 10111001, 1011001112 10111100, 112 10111, 11111011112 1100010101, 110012

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА Перевод чисел из 16 с. с. в 2 с. с. Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменяем эквивалентной ей двоичной тетрадой двоичной системы счисления

ПРИМЕР 2 Перевести смешанное число 53 А, 116 в двоичную систему счисления Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменяем на соответствующую ей тетраду цифр двоичного числа 5 3 А , 1 0101 0011 1010 , 0001 Следовательно, 53 А, 116= 10100111010, 00012

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ 16 С. С В 2 С. С. 67716 745, 3416 12516 2 D 616 17 C 016 344, 5516 0, 7 F 216 А, 3616

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Заполнить Двоичная таблицу Восьмеричная Шестнадцатеричная 111101, 1 233, 5 59, В

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ 10 С. С. В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ

Правила перевода: 1. 2. 3. Десятичное число последовательно делить на основание другой системы, до тех пор пока частное не окажется меньше основания. Запись получившегося числа осуществляется справа налево. Цифрами числа будут являться остатки от деления, начиная с последнего частного.

ПРИМЕР Перевести число 6310 в 2 с. с. 63 2 62 31 а 0= 1 - 30 2 -15 2 а 1= 1 14 - 7 2 а 2 = 1 6 - 3 а 3 = 1 2 2 1 = а 5 а 4 = 1 Для обозначения цифр в записи числа используем символику: а 0, а 3 , а 4 , а 5. Отсюда: 6310 = 1111112 (а 5 а 4 а 3 а 2 а 1 а 0) а 1 , а 2 ,

Перевести - 315 8 8 24 - 39 - 75 32 4 72 7 3 число 31510 в 8 с. с. и 16 с. с. - 315 16 16 16 -19 155 16 1 144 3 11 Отсюда следует: 31510 = 4738 = 13 В 16

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ 10 С. С. В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА 1. 2. 3. Последовательно умножать данное число на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления. Запись получившегося числа осуществляется сверху вниз. Цифрами числа будут являться полученные целые части произведений.

ПРИМЕР Перевести десятичную дробь 0, 1875 10 в 2 с. с. , 8 с. с. , 16 с. с. 0 1875 * 2 0 3750 * 2 0 7500 * 2 1 5000 * 2 0 1875 * 8 1 5000 * 8 0 1875 * 16 3 0000 4 0000 1 0000 Отсюда следует: 0, 187510 = 0, 00112= 0, 148 = 0, 316.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части из десятичной системы в любую другую систему осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой.

ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛА В 2 С. С. , 8 С. С. , 16 С. С. 7510 12410 4710 0, 4510 35, 23410

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ЛЮБОЙ С. С. В 10 С. С.

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА Обратное преобразование чисел из любой системы счисления в десятичную систему осуществляется с помощью выражения вида: 0 1 2 Х S = A 0 S + A 1 S + A 2 S + … где ХS – число в S-й системе счисления, S – основание системы, А – цифра числа.

ПЕРЕВЕСТИ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ЧИСЛА 1011012, 2758, 15 FC 16, 101. 112. 54 3 2 1 0 101101 2=1*25+0*24+1*23+1*22+ +0*21+1*20 = =1*32+0*16+1*8+1*4+0*2+1*1 = 32+0+8+4+0+1=4510

2 1 0 -1 -2 101. 11 2=1*22+0*21+1*20+1*2 -2 = =1*4+0*2+1*1+1*0. 5+1*0. 25 = 4+0+1+0. 5+0. 25=5. 7510 1

210 2758 2+7*81+5*80 = =2*8 =2*64+7*8+5*1 = 128+56+5= 18910

3 21 0 15 FC 16 =1*163+5*162+15*161 ++12*160 = =1*4096+5*256+15*16+12*1 = 4096+1280+240+12=562810

ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛА В 10 С. С. 11112 1101, 1012 278 1038 А 716

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная 101010 127 269 9 В Двоичная Восьмеричная Десятичная Шестнадцатеричная 0, 101 0, 6 0, 125 0, 4

АРИФМЕТИКА В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

СЛОЖЕНИЕ В 2 С. С. + 0 1 0 0 1 10 Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания с. с.

ПРИМЕР 1102+112 11112+1102 11112+112 10001101, 12+111011, 112

СЛОЖЕНИЕ В 8 С. С. + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16

ПРИМЕР 178+68 378+258 178+78+38 215, 48+73, 68

СЛОЖЕНИЕ В 16 С. С.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B 1 C E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B 1 C 1 D F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 A 1 B 1 C 1 D 1 E

ПРИМЕРЫ 3 F 16+616 9 C 16+7816 F 16+716+316 8 D, 816+3 B, C 16

ВЫЧИТАНИЕ При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак

ПРИМЕРЫ 101002 -1112 100, 12 -10, 112 100102 -111, 12 1110, 112 -100012 108 -18 311, 28 -73, 68 10016 -116 D 9, 416 -3 В, С 16

УМНОЖЕНИЕ В 2 С. С. 0 1 0 0 0 1

ПРИМЕРЫ 101*110 11001*1101 1110011*110011 11001, 01*11, 01

УМНОЖЕНИЕ В 8 С. С. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

ПРИМЕРЫ 58*68 678*238 1638*638

ДЕЛЕНИЕ Операция деления выполняется по тем же правилам, как и деление углом в 10 с. с.

ПРИМЕРЫ 111102: 1102 1000112: 11102 1011010012: 11100112 368: 68 748: 248 133518: 1638