Скачать презентацию УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Пусть события А и В
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.pptx
- Количество слайдов: 15
Скачать презентацию УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Пусть события А и В
Скачать презентацию УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Пусть события А и В
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Пусть события А и В зависимые. Это значит, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого. Условной вероятностью Р(В|А) называют вероятность события В , вычисленную в предположении, что событие А уже точно наступило. Пример. В ящике находится 3 белых и 7 черных шаров. Из ящика наугад извлекают поочередно 2 шара. Найти вероятность того, что вторым будет извлечен белый шар (событие В ), если первым был извлечен черный шар (событие А ). Р(В|А) = 3/9 = 1/3
Из определения независимых событий следует, что появление одного из них не изменяет вероятности наступления другого. Поэтому для независимых событий справедливы равенства Р(В|А) = Р(В) и Р(А|В) = Р(А) Таким образом, условные вероятности независимых событий равны их безусловным вероятностям.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило Р(ВА) = Р(А) ∙ Р(В|А)
Пример. В ящике находится 5 белых и 4 черных шара. Из ящика поочередно наугад извлекают два шара. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится белый шар (событие А ), а при втором – черный шар (событие В ). Р(А) = 5/9 Р(В|А) = 4/8 = 1/2 Р(ВА) = Р(А) ∙ Р(В|А) = 5/18
Для трех зависимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид Р(СВА) = Р(А) ∙ Р(В|А) ∙ Р(С|ВА) При этом безразлично, какое событие считать первым, какое вторым и т. д.
Пример. В ящике находится 5 белых , 4 черных и 3 синих шара. Из ящика поочередно наугад извлекают три шара. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится белый шар (событие А ), при втором – черный шар (событие В ) и при третьем – синий (событие С ). Р(А) = 5/12 Р(В|А) = 4/11 Р(С|ВА) = 3/10 Р(СВА) = Р(А) ∙ Р(В|А) ∙ Р(С|ВА) = = (5 ∙ 4 ∙ 3)/(12 ∙ 11 ∙ 10) = 1/22
Формула полной вероятности Вероятность события А, которое может произойти при условии появления одного из несовместных событий В 1, В 2, В 3, …. . , Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(В 1) ∙ Р(А|В 1) + Р(В 2) ∙ Р(А|В 2) +…. . + Р(Вn) ∙ Р(А|Вn).
Пример. В первом ящике находится 4 белых и 6 черных шаров, во втором – 8 белых и 10 черных. Из первого ящика во второй переложили взятый наугад один шар. Его цвет неизвестен. Затем из второго ящика наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый (событие А)? Решение. Пусть условие В 1 = «переложен белый шар» , а условие В 2 = «переложен черный шар» . Р(В 1) = 4/10, Р(В 2) = 6/10 Р(А|В 1) = 9/19, Р(А|В 2) = 8/19 Р(А) = Р(В 1) ∙ Р(А|В 1) + Р(В 2) ∙ Р(А|В 2) = = (4/10) ∙ (9/19) + (6/10) ∙ (8/19) = = 84/190 = 0, 44
Случайные величины Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно заранее неизвестное значение из набора возможных значений. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения. Как правило число возможных значений дискретной случайной величины конечно. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Для задания дискретной случай величины необходимо перечислить все ее возможные значения , также вероятности этих возможных значений. X p x 1 p 1 x 2 …… xn p 2. …… pn
Пример. Монета брошена два раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадения герба. Решение. Вероятность выпадения герба р = 0, 5. Вероятность непоявления герба q = 0, 5. p(2, 2) = C(2, 2) ∙ p 2 q 0 =(2!/2!0!) ∙ 0, 52 ∙ 0, 50 = 0, 25 p(1, 2) = C(1, 2) ∙ p 1 q 1 =(2!/1!1!) ∙ 0, 51 = 0, 5 p(0, 2) = C(0, 2) ∙ p 0 q 2 =(2!/0!2!) ∙ 0, 50 ∙ 0, 52 = 0, 25 Искомый закон распределения X 2 1 p 0, 25 0, 5 0 0, 25
Распределение Пуассона Пусть производится n независимых испытаний, в каждом Из которых вероятность появления события А равна р. Если число испытаний n мало, то для определения вероятности какого-либо числа появлений события А в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Однако эта формула становится непригодной, если n велико, а р мало. В последнем случае используется формула Пуассона. Пусть nр = λ есть величина постоянная для серий испытаний разной длины n. Тогда р(k, n) = (λk ∙ e- λ) / k!
Задание 1. В первом ящике находится 5 белых и 5 красных шаров, во втором – 7 белых и 9 черных. Из первого ящика во второй переложили взятый наугад один шар. Его цвет неизвестен. Затем из второго ящика наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный (событие А)?
Задание 2. Монета брошена три раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадения герба.
Скачать презентацию УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Пусть события А и В
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.pptx