6 теор.умн.ppt
- Количество слайдов: 13
Урок 6. Теоремы умножения вероятностей
Условная вероятность Задача 1. Пусть А – выпадение четной цифры при бросании игральной кости; В – выпадение цифры < 6. Найти вероятность совместного появления этих событий. Р(АВ) АВ – выпадение 2 или 4, Р(АВ)=2/6=1/3. Р(А) = 3/6; Р(В) = 5/6. Р(АВ) = 3/6 * х = 1/3, х = 2/3 Р(АВ) = у* 5/6 = 1/3, у = 2/5
n Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Задача 2. В ящике 7 одинаковых шаров с № 1 по № 7. Наудачу один за другим вынимают 2 шара, не возвращая их обратно. Известно, что первый вынутый шар под № 3. Найти вероятность, что второй шар имеет нечетный номер.
1. Теорема умножения для совместного появления двух событий. n Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)
Задача 3. В коробке 9 одинаковых ламп, 3 из которых были в употреблении. В течении дня мастеру пришлось взять 2 лампы. Какова вероятность, что обе они были в употреблении? Задача 4. Брошена игральная кость. Какова вероятность, что выпадет четное и меньше 5 очков? Р(АВ)= 2/6= 1/3; Р(А)= 1/2; Р(В/А)= 4/6= 2/3; Р(АВ)= 1/2*2/3= 1/3. Но Р(В)=4/6=Р(В/А). n Два события называются независимыми , если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.
Теорема умножения для совместного появления двух независимых событий n Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
Задачи. 5. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что на первой выпадет четное количество очков, а на второй число меньше 6? 6. Вероятность поломки первого станка в течении смены 0, 1, а второго – 0, 2. Какова вероятность, что в течении смены оба станка потребуют наладки?
7. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания первого – 0, 7, второго – 0, 8. Какова вероятность, что мишень будет поражена? Теорема. Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности других, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие уже наступили. Р(АВС)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/АВ)
Задача 8. n В гараж поступили 24 новые машины, из которых 10 легковых, а остальные – грузовые. Четырем водителям необходимо выделить по машине. Какова вероятность, что три водителя получат по грузовой машине, а четвертый – легковую?
Определение. События называются независимыми в совокупности, если наряду с их по парной независимостью независимы любые из них и произведение любого числа остальных. n Теорема. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий. n Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.
Задача 9. n В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что в кассе первого зала есть билеты равна 0, 3, второго – 0, 4, третьего – 0, 5. Какова вероятность, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?
Теоремы вероятностей n Теорема сложения (для несовместных событий) n n Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Теорема сложения (для совместных событий) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Теорема умножения (для зависимых событий) Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) Теорема умножения (для независимых событий) Р(АВ)=Р(А)Р(В) Теорема о нахождении вероятности хотя бы одного из независимых событий
Задача 10. n 1. 2. 3. 4. 5. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказов элементов соответственно равны 0, 05 и 0, 08. Найти вероятности отказа: Обоих элементов; Хотя бы одного элемента; Только одного элемента; Отказа работы прибора; Только первого элемента.