Скачать презентацию Уравнения с одной переменной Автор Календарева Н Е Скачать презентацию Уравнения с одной переменной Автор Календарева Н Е

Уравнения с одной переменной.pptx

  • Количество слайдов: 43

Уравнения с одной переменной Автор Календарева Н. Е. © 2011 г. Уравнения с одной переменной Автор Календарева Н. Е. © 2011 г.

План 1. Определение уравнения с одной переменной и примеры 2. Область определения уравнения 3. План 1. Определение уравнения с одной переменной и примеры 2. Область определения уравнения 3. Корень уравнения 4. Что значит «решить уравнение» ? 5. Следствие уравнения 6. Равносильные уравнения 7. Преобразования уравнений 8. Теоремы о равносильных уравнениях

Знак равенства используется при записи преобразования чисел, например, sin(π/2) = 1, или 52 = Знак равенства используется при записи преобразования чисел, например, sin(π/2) = 1, или 52 = 25. Это числовые равенства. Также он используется при записи тождеств: (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2; sin 2 x + cos 2 x = 1. Или при записи функций f(x) = tgx ∙ cos 2 x.

Определение высказывания Если же будет написано, например, |x – 3| = x 2 – Определение высказывания Если же будет написано, например, |x – 3| = x 2 – 1, то такая запись есть неопределенное высказывание: это высказывание может быть истинным или ложным. Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Примеры высказываний Столица России – город Москва. Число 221 – простое (т. е. делится Примеры высказываний Столица России – город Москва. Число 221 – простое (т. е. делится само на себя или на 1). Слон – это насекомое. Любой абитуриент вуза – это студент после зачисления. x>0.

Не являются высказываниями предложения, содержащие определения (например, окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных Не являются высказываниями предложения, содержащие определения (например, окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки). Не являются высказываниями призывы ( «Учитесь хорошо» ) и вопросы ( «Был звонок? » )

Предложения, зависящие от переменных В математике встречаются различные утверждения (предложения), зависящие от переменных, от Предложения, зависящие от переменных В математике встречаются различные утверждения (предложения), зависящие от переменных, от одной переменных или нескольких. Например, натуральное число n – простое число. Это предложение зависит от переменной n. При одних значениях n оно истинно, при других – ложно.

Уравнения и неравенства также являются такого рода предложениями. Например, уравнение х + у = Уравнения и неравенства также являются такого рода предложениями. Например, уравнение х + у = 1 является предложением, зависящим от двух переменных х и у. При х = у = 0, 5 оно истинно, при х = 2 и у = 0 оно ложно.

Если в уравнение х + у = 1 подставить конкретные числа, то данное предложение Если в уравнение х + у = 1 подставить конкретные числа, то данное предложение превращается в высказывание. Предложение, зависящее от переменных, при конкретных значениях переменных превращается в истинное или ложное утверждение, т. е. в высказывание.

Сложная функция Пусть на множ. X задана функция u = g(x). Обозначим U множество Сложная функция Пусть на множ. X задана функция u = g(x). Обозначим U множество ее значений, т. е. E(g) = U, а область определения Def(g) = X. И пусть на множестве U определена функция y = f(u), где Def(f) = U. Тогда говорят, что на множестве X задана сложная функция у = f(g(x)), где x X. Примеры. y = sin 2 x; y = cos(x/2 − π/4); ; y = (sin| x |)2.

Определение уравнения с одной переменной Пусть f(x) и g(x) –функции, изучаемые в средней школе, Определение уравнения с одной переменной Пусть f(x) и g(x) –функции, изучаемые в средней школе, или же это сложные функции. Рассмотрим запись f(x) = g(x). Запись вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной, если ставится задача о нахождении таких чисел х, которые обращают данное уравнение в верное числовое тождество.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x), g(x) – некоторые функции. Функция f(x) Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x), g(x) – некоторые функции. Функция f(x) называется левой частью, а g(x) – правой частью уравнения. Уравнение всегда содержит знак равенства, но только один. Только один!

Примеры уравнений 1. tg 2 x + sin 4 x = 0; 2. ; Примеры уравнений 1. tg 2 x + sin 4 x = 0; 2. ; 3. x 2 – 3 x + 1 = 0; 4. | x | = x. 5. sin 2 x + cos 2 x = 1 – не уравнение.

Область определения уравнения Областью определения уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ) неизвестного называется пересечение Область определения уравнения Областью определения уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ) неизвестного называется пересечение областей определения всех функций, входящих в правую и левую части уравнения.

Примеры Например, в уравнении tgx + ctgx = 0 есть дроби, знаменатели которых не Примеры Например, в уравнении tgx + ctgx = 0 есть дроби, знаменатели которых не должны равняться 0: sinx ≠ 0 и cosx ≠ 0, т. е. x ≠ πk/2, k є Z.

Когда пишем ОДЗ? 1. В уравнении есть дробь: Знаменатель не равен нулю 2. В Когда пишем ОДЗ? 1. В уравнении есть дробь: Знаменатель не равен нулю 2. В уравнении есть корень четной степени Подкоренное выражение 0

3. В уравнении есть тангенс или котангенс. 4. В уравнении есть логарифмическая или показательная 3. В уравнении есть тангенс или котангенс. 4. В уравнении есть логарифмическая или показательная функция. 5. Уравнение содержит все выше перечисленное в любой комбинации.

Корень уравнения Число а называется корнем уравнения f(x) = g(x) , если 1) оно Корень уравнения Число а называется корнем уравнения f(x) = g(x) , если 1) оно принадлежит области определения уравнения; 2) значения функций f(x) и g(x) в точке х = а совпадают: f(a) = g(a).

Таким образом, если речь идет об уравнении, то нас интересует задача нахождения корней этого Таким образом, если речь идет об уравнении, то нас интересует задача нахождения корней этого уравнения. Что значит решить уравнение? Рассмотрим уравнение cos 2 x = 5/2. Оно не имеет решения. А следующее уравнение? х2 = – 1.

Что значит «Решить уравнение» Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или Что значит «Решить уравнение» Решить уравнение – это значит, найти все его корни, или доказать, что уравнение не имеет корней. При решении уравнения применяются последовательные преобразования, которые пишем строчка под строчкой! Преобразования могут привести к потере корней или к появлению «посторонних» корней.

Потеря корней Корни теряются, когда студент сокращает левую и правую части на одинаковый множитель, Потеря корней Корни теряются, когда студент сокращает левую и правую части на одинаковый множитель, стоящий в левой и правой частях и зависящий от х. Уравнение нельзя сокращать на множитель, зависящий от х.

Пример tgx = sin 2 x ОДЗ: cosx 0, т. е. х . эта Пример tgx = sin 2 x ОДЗ: cosx 0, т. е. х . эта серия удовлетворяет ОДЗ.

1 – sinx∙cosx = 0; sinx∙cosx = 1; | ∙ 2 2 sinx∙cosx = 1 – sinx∙cosx = 0; sinx∙cosx = 1; | ∙ 2 2 sinx∙cosx = 2; sin 2 x = 2; x . Ответ: , где . Если бы мы сократили на одинаковый множитель sinx, наше уравнение не имело бы корней вовсе.

Посторонние корни Посторонние «корни» появляются, когда возводят в квадрат левую и правую часть уравнения, Посторонние корни Посторонние «корни» появляются, когда возводят в квадрат левую и правую часть уравнения, или умножают обе части уравнения на множитель, зависящий от х.

Пример Решим уравнение. ОДЗ: x >= 0. Решение. Так как слева неотрицательное выражение, а Пример Решим уравнение. ОДЗ: x >= 0. Решение. Так как слева неотрицательное выражение, а справа отрицательное, то решений нет. Если же возвести в квадрат, то получим х = 1. Это посторонний «корень» .

Какие же преобразования допустимы? Вообще, преобразований много, ниже рассмотрим некоторые из них. По мере Какие же преобразования допустимы? Вообще, преобразований много, ниже рассмотрим некоторые из них. По мере изучения теоретического материала будем изучать и другие преобразования, или методы решений уравнений и неравенств.

Равносильные уравнения Два уравнения f(x) = g(x) и f 1(x) = g 1(x) называются Равносильные уравнения Два уравнения f(x) = g(x) и f 1(x) = g 1(x) называются равносильными на некотором множестве М, если они имеют в этом множестве одни и те же решения, т. е. каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого, или же оба не имеют решений.

Обозначения и примеры f(x) = g(x) и f 1(x) = g 1(x) равносильны: {f(x) Обозначения и примеры f(x) = g(x) и f 1(x) = g 1(x) равносильны: {f(x) = g(x)} <−> {f 1(x) = g 1(x)} или {f(x) = g(x)} <==> {f 1(x) = g 1(x)} Примеры. Какие уравнения равносильны? 1) х + 1 = 2 х, 2) х – 1 = 0, 3) х + 1 = 0, Ответ: 1 -е и 2 -е.

Какие уравнения равносильны? 3) х + 1 = 0, 5) (х + 1)3= 0, Какие уравнения равносильны? 3) х + 1 = 0, 5) (х + 1)3= 0, 7) х(х2 + 1) = 0, 4) х = 0, 6) х2 = х, 8) Ответы: 3 и 5; 4 и 7. .

Следствие уравнения Пусть дано уравнение f(x) = g(x). (1) Уравнение f 1(x) = g Следствие уравнения Пусть дано уравнение f(x) = g(x). (1) Уравнение f 1(x) = g 1(x) (2) называется следствием уравнения (1), если при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) не происходит потери корней, т. е. все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Преобразования уравнений Следствие обозначается стрелкой ->. Например, х =1 -> x 2 = 1. Преобразования уравнений Следствие обозначается стрелкой ->. Например, х =1 -> x 2 = 1. 1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую: f(x) = g(x) + h(x) <==> f(x) – h(x) = g(x) В частности, f(x) = g(x) <==> f(x) – g(x) = 0 Это равносильные преобразования.

Преобразования уравнений 2. Приведение подобных членов: f(x) + h(x) – h(x) = g(x) -> Преобразования уравнений 2. Приведение подобных членов: f(x) + h(x) – h(x) = g(x) -> f(x) = g(x) Это следствие. Могут появиться посторонние корни. Рассмотрим два примера.

Пример 1 Если не написать ОДЗ и привести подобные члены, то получим следствие: х2 Пример 1 Если не написать ОДЗ и привести подобные члены, то получим следствие: х2 = 4. Или х1 = 2; х2 = 2. Появился посторонний «корень» 2. Если написать ОДЗ, то на ОДЗ уравнения равносильны.

Пример 2 Решение. Дробь равна 0 когда числитель равен 0. sin 2 x = Пример 2 Решение. Дробь равна 0 когда числитель равен 0. sin 2 x = 0; 2 x = ; . Нарисуем на круге и отберем те числа, которые удовлетворяют ОДЗ.

ОДЗ: Ответ: Корни: ОДЗ: Ответ: Корни:

Преобразования уравнений 3. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, отличное Преобразования уравнений 3. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, отличное от нуля: f(x) = g(x) <==> f(x) ∙ h(x) = g(x) ∙h(x) , где h(x) ≠ 0 на ОДЗ исходного уравнения. Это равносильные преобразования.

Пример tgx = 2 cosx ОДЗ: cosx 0, x Решение. Умножим обе части уравнения Пример tgx = 2 cosx ОДЗ: cosx 0, x Решение. Умножим обе части уравнения на cosx. По ОДЗ cosx 0, это равносильное преобразование. sinx = 2 cos 2 x; sinx – 2 (1 – sin 2 x) = 0; Замена sinx = t, где |t| 1.

2 t 2 + t – 2 = 0; D= 1 + 4∙ 2∙ 2 t 2 + t – 2 = 0; D= 1 + 4∙ 2∙ 2 = 17; 2 t 2 + t – 2 = 0; | t | 1. Удовлетворяет системе второй корень. Ответ:

Преобразования уравнений 4. Если f(x) ∙ g(x) = 0, то f(x) = 0 или Преобразования уравнений 4. Если f(x) ∙ g(x) = 0, то f(x) = 0 или g(x) = 0, другими словами, каждое решение уравнения f(x) ∙ g(x) = 0 является решением по крайней мере одного из уравнений f(x) = 0 или g(x) = 0. Аналогично для случая, когда множителей 3, 4 и более.

Преобразования уравнений 5. Возведение обеих частей уравнения в n-ю степень, т. е. переход от Преобразования уравнений 5. Возведение обеих частей уравнения в n-ю степень, т. е. переход от уравнения f(x) = g(x) к уравнению fn(x) = gn(x), где n – произвольное натуральное число. а) Если n – нечетное число, то преобразование равносильное. б) Если n – четное число, то преобразование неравносильное.

При четном n уравнение fn(x) = gn(x) равносильно уравнению | f(x) |= |g(x) |. При четном n уравнение fn(x) = gn(x) равносильно уравнению | f(x) |= |g(x) |. Примером является простейшее иррациональное уравнение.

Домашнее задание 1. 2. 3. 4. Выучить определение корня уравнения. Знать, что значит «решить Домашнее задание 1. 2. 3. 4. Выучить определение корня уравнения. Знать, что значит «решить уравнение» . Уметь находить ОДЗ в уравнениях Понимать, что такое равносильность уравнения.