УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II РОДА. ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ, СКОРОСТИ

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II РОДА. ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ, СКОРОСТИ И СИЛЫ. ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. Динамика ЛЕКЦИЯ

Определять положение любой точки механической системы Научиться описывать движение механической системы с несколькими степенями свободы. Цель введения обобщенных координат, скоростей и сил

Обобщенные координаты – это независимые между собой параметры любой размерности, однозначно определяющие положение механической системы в пространстве. 3 ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ

ПОНЯТИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ Число независимых между собой возможных перемещений МС называется числом степеней свободы системы. 4 х z y У механической системы с голономными связями число обобщенных координат совпадает с числом её степеней свободы Обобщенные координаты 3 S 6 S

В несвободной механической системе декартовых координат ее точек должны удовлетворять уравнениям связей, поэтому независимыми среди них будут только координат. 5 m. NS 3 N 3 m. Если бы система была свободной, то все декартовых координат ее точек были бы независимыми. КОЛИЧЕСТВО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ N 3 Обобщенные координаты 1 2 22 21)()()(Lzzyyxx 1 m 5 s

6 КОЛИЧЕСТВО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Обобщенные координаты У свободного твёрдого тела 6 степеней свободы: 3 поступательных вдоль осей координат и 3 вращательных вокруг этих осей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК МС Тогда радиус-векторы всех точек системы можно определить как функцию обобщенных координат). . 2 , 1 ( skk qqqrr q Обобщенные координаты будем обозначать буквой — 7 nk. . . 3, 2, 1 Обобщенные координаты

ОБОБЩЁННЫЕ СКОРОСТИ Обобщенные скорости 8 При движении системы её обобщённые координаты будут меняться со временем по закону — кинематическое уравнение движения в обобщённых координатах. Размерность обобщённой скорости зависит от размерности соответствующей обобщённой координаты. )(), ( 2211 tfqtfqtfq ss dt dq q Производные от обобщённых координат по времени называются обобщёнными скоростями

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ Обобщенные силы 9 Рассмотрим МС, состоящую из n материальных точек, на которые действуют силы n. FFF . . . , 21 Пусть система имеет S степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами ). . 2 , 1 ( skk qqqrr Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение а остальные координаты не изменяются. 1 q Тогда каждый из радиус-векторов точек системы получит элементарное приращение 1)(kr 1 q kr s qqq. . . 2 ,

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ Обобщенные силы 10 Поскольку изменяется только координата , то вычисляется как частный дифференциал 1 q 1)(kr 1 1 1 )( q q r r k k Тогда вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении. 11221111 )(. . . )()( nn r. Fr. FA ; . . . 1 1 2 21 1 1 1 q q r Fq q r F n n

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ Обобщенные силы 1111221111)(. . . )()(nnr. Fr. FA ; . . . 1 1 2 21 1 1 1 q q r Fq q r F n n , )(111 1 1 q. Qq q r FA k k 1 Q — обобщённая сила, соответствующая координате 1 q

12 Обобщённые силы – это величины, равные коэффициентам приращениях обобщённых координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил. Размерность обобщённой силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщённой координаты. Обобщенные силы q А Q Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно меняются все обобщенные координаты , то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении равна: nn n k kq. Qq. QA . . .

13 Обобщенные силы1 q 2 q 1 O 2 O 1 l 2 l ПРИМЕР (ДВОЙНОЙ МАЯТНИК)

13 Обобщенные силы1 q 2 q 1 O gm 2 2 O 2 q 222)( 2 qgm. MAO )sin( 2 )()(21 2 222 qq l gmgm. MO 1 l 2212 2 )sin( 2)( Qqql gm ПРИМЕР (ДВОЙНОЙ МАЯТНИК)

14 Обобщенные силы1 q 2 q 1 O gm 2 2 O 1 q 1 l 2 l gm 11211 )()( 11 qgm. MA OO 1 1 11 sin 2 )( 1 q l gmgm. MO )sin( 2 sin()(21 2 11221 qq l qlgmgm. MO 121)()( 11 Qgm. MOO