Управление инвестиционным портфелем Модели риска 1 Риск

Управление инвестиционным портфелем Модели риска 1

Риск в финансах • Бизнес риск • Финансовый риск – рыночный риск – кредитный риск – риск ликвидности • Операциональный риск • Правовой риск 2

Две замечательные книги Бернстайн П. «Против Богов: Укрощение риска» , М. : Олимп-Бизнес, 2006. • Талеб Нассим «Одураченные случайностью» М. : Интернет-трейдинг, 2002. • 3

Основные теоретиковероятностные понятия 4

Основные теоретико-вероятностные и статистические понятия Определенность и неопределенность • Вероятности и распределения случайных величин. • Среднее (матожидание), вариация • Многомерные распределения • Ковариация, корреляция, бета • Квантили • 5

Вероятность Определенность Неопределенность Вероятность выпадения заданного числа очков при бросании кости Р( « 5» ) =1/6 6

Вероятность Элементарные события w 1, w 2, … , wn Пространство элементарных событий : ={w 1, w 2, … , wn} События – произвольное множество элементарных событий А = {wi 1, wi 2, … , wik} 7

Вероятность Вероятности элементарных событий р1= р(w 1), р2= р(w 2), … , рn= р(wn) Вероятность события – сумма вероятностей элементарных событий: А = {wi 1, wi 2, … , wik} Р(А) = р(wi 1)+ р(wi 2) +…+ р(wik), 8

Вероятностное пространство 1) Пространство элементарных событий : ={w 1, w 2, … , wn} 2) Вероятности элементарных событий р: R, р(wk) 0, k =1, …, n. р(w 1) + р(w 2) +…+ р(wn) = 1 2) Класс всех событий B = {A A } 9

Вероятность. Пример Бросание монеты. Элементарные события: w 1= «Орел» w 2, = «Решка» Пространство элементарных событий : ={О; Р} Событие – выпадение орла А = {О} 10

Вероятность. Пример Бросание монеты. Вероятности элементарных событий: Р( «Орел» )= Р( «Решка» ) = 1/2 Событие – выпадение орла А = {О} ; P(A)=1/2 Событие – выпадение орла или решки А = {О; Р} = ; P(A)= P( )= 1/2+1/2=1 11

Вероятность. Пример Бросание правильной кости. Элементарные события: w 1= « 1» , w 2= « 2» , w 3= « 3» , w 4= « 4» , w 5= « 5» , w 6= « 6» , Пространство элементарных событий : ={1; 2; 3; 4; 5; 6} Событие А: выпадение четного числа очков А={ 2; 4; 6} 12

Вероятность. Пример Бросание правильной кости. Вероятности элементарных событий: p( « 1» ) = p( « 2» ) = …= p( « 6» ) =1/6 Событие А: выпадение четного числа очков А={ 2; 4; 6} P(A)= p( « 2» ) + p( « 4» ) + p( « 6» ) =3/6 =1/2 13

Пример Бросание двух правильных костей Какова вероятность выпадения в сумме пяти очков Вероятности выпадения произвольной пары очков одинаковы Все элементарные события равновероятны 14

Вероятность. Пример Сумма числа очков при бросании двух костей Пример w = (6; 4) S = 6+4 = 10, вероятность (1/6) = 1/36 15

Пример Все комбинации - : 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 36 равновероятных комбинаций 16

Пример Все комбинации: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 4 из 36 дают, вероятность = 4/36=1/9 17

Случайная величина Величина X значения (реализации) которой зависят от случайных событий Формально это функция (отображение) на вероятностном пространстве X: R X(w) R – значение сл. в. 18

Случайная величина Дискретная случайная величина принимает конечное (или счетное) число значений x 1, x 2, … , xm , … Непрерывная случайная величина принимает континуум значений (значения могут заполнять весь промежуток числовой оси R) 19

Случайная величина. Пример Сумма X очков при одновременном бросании двух костей X = X 1 + X 2 X 1 и X 2 – число очков на первой и второй кости 20

Распределение случайной величины Распределение дискретной случайной величины задается таблицей Значения Х x 1 x 2 … xm Вероятности p 1 p 2 … pm где pk=P[X=xk] – вероятность того что величина Х примет значение xk. 21

Распределение случайной величины Распределение суммы очков на двух гранях при бросании двух костей Значения Х 2 3 4 Вероятности 1/36 2/36 3/36 … … 12 12 2/36 1/36 Например P(X=4)=P({(1; 3), (2; 2), (3; 1)})= 3/36 =1/12 22

Случайная величина. Пример Непрерывная случайная величина X. Стрельба в мишень. Значения расстояние от точки попадания до центра мишени X 23

Характеристики случайных величин Среднее Вариация (дисперсия) 24

Дискретное распределение 0. 3 30% 0. 2 0. 1 10% 20% 1 2 3 4 5 25

Плотность распределения 0. 3 0. 2 0. 1 1 2 3 4 5 26

Характеристики дискретных случайных величин Дискретная случайная величина X: ={w 1, w 2, … , wn} R Математическое ожидание (среднее) величины Х : m. X= E[X] = = =X(w 1)p(w 1) + X(w 2)p(w 2) +…+ X(wn)p(wn) 27

Характеристики дискретных случайных величин Если дискретная случайная величина имеет распределение Значения Х Вероятности x 1 p 1 x 2 p 2 … … xm pm то ее математическое ожидание равно E[X] = x 1 p 1 + x 2 p 2 +…+ xnpn 28

Характеристики дискретных случайных величин. Пример Пусть Х - число выпавших очков при бросании кости. Распределение Х имеет вид Значения Х 1 Вероятности 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Математическое ожидание m. X сл. в. Х равно E[X] = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6 + 4 1/6 + 5 1/6 + 6 1/6 = = (1+2+3+4+5+6)/6 = (6 7/2)/6 = 3, 5 29

Характеристики дискретных случайных величин Вариация дискретной случайной величины X: ={w 1, w 2, … , wn} R Var[X] = E[X- m. X]2 = E[X 2] - (E[X])2 = где m. X = E[X] – математическое ожидание Х. По распределению сл. в. Х вариация находится по формуле Var[X] = (х1 - m. X )2 p 1+ (х2 - m. X )2 p 2+…+ (хn- m. X )2 pn 30

Характеристики дискретных случайных величин Стандартное отклонение – квадратный корень из вариации s (X) = Var[X] Стандартное отклонение имеет размерность самой случайной величины 31

Характеристики дискретных случайных величин. Пример Пусть Х - число выпавших очков при бросании кости. m. X = E[X]=3, 5 Вариация Х равна Var[X] = (1 -3, 5)2 1/6 + (2 -3, 5)2 1/6+ (3 -3, 5)2 1/6 + + (4 -3, 5)2 1/6 + (5 -3, 5)2 1/6 + (1 -3, 5)2 1/6 = = (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)/6 – (3, 5)2 = 2, 92 Стандартное отклонение s(X) = 2, 92 =1, 71 32

Непрерывные распределения 33

Нормальное распределение N( , ) 34

Нормальное распределение N( , ) 35

Нормальное распределение 1% квантиль 36

Логнормальное распределение 37

Свойства математического ожидания • Математическое ожидание –линейная функция: E(X 1+ X 2) = E(X 1) + E(X 2) E(a. X) = a. E(X) • В общем случае E(a 1 X 1+ a 2 X 2+…+ an. Xn) = = a 1 E(X 1) + a 2 E(X 2) +…+ an. E(Xn) • X= c = const E(X) = E(c) = c 38

Статистические оценки На практике пространство элементарных событий как правило неизвестно, неизвестны и элементарные вероятности. • Поэтому характеристики случайных величин получаются не из теоретических формул • Параметры сл. в. оцениваются исходя из серии наблюдений над значениями сл. в. по так называемой выборке. • 39

Статистические оценки • Выборка последовательность значений сл. в. Х полученных в результате опыта наблюдения или эксперимента: x 1, x 2, …, x. N - выборка объема N. 40

Выборка. Пример Пусть кость бросается 10 раз. В Результат бросания 10 чисел: 5, 2, 4, 4, 6, 3, 2, 1, 5, 3 - выборка объема 10. • 41

График значений выборки На графике представлены 10 значений – результатов последовательных бросаний кости 42

Выборочные (статистические) оценки Оценки параметров сл. в. по выборке тем точнее чем больше объем выборки т. е. объем статистических данных • Наиболее часто используются оценку математического ожидания, вариации (дисперсии) и среднеквадратичного отклонения • 43

Выборочное среднее – Выборочное среднее есть просто среднее арифметическое наблюдаемых значений –Допустим что у нас есть 5 -летняя выборка из 60 месячных доходностей r 1, r 2, …, r 60 некоторой акции –Тогда выборочное среднее вычисляется по формуле 44

Выборочная вариация – Выборочная дисперсия вычисляется по формуле где х - выборочное среднее. Заметим что знаменатель формулы на 1 меньше числа наблюдений. 45

Выборочное среднее и вариация. Пример Рассмотрим снова результат 10 -кратного бросания кости: 5, 2, 4, 4, 6, 3, 2, 1, 5, 3 Выборочное среднее х = (5 + 2 + 4 + 6 + 3 + 2 + 1 + 5 + 3)/10 = 3, 5 Выборочная вариация s 2 =[(5 -3, 5)2+(2 -3, 5)2+(4 -3, 5)2+(6 -3, 5)2+ (3 -3, 5)2+(2 -3, 5)2+(1 -3, 5)2+(5 -3, 5)2+(3 -3, 5)2]/9=2, 5 46

График выборки На графике выборки отмечены среднее и верхняя и нижняя границы одного стандартного отклонения +s m. X -s 47

Выборочные (статистические) оценки – Среднее, вариация и стандартное отклонение (как и распределение) могут меняться со временем – Поэтому нужно с осторожностью относиться к получаемым статистическим оценкам 48

Связи меду случайными величинами • • • В финансовом анализе часто приходится работать не с одной, а с несколькими случайными величинами Например при построении оптимального портфеля нужно учитывать характеристики доходностей всех активов составляющих портфель Поэтому приходится использовать характеристики взаимной связи случайных величин 49

Ковариация Пусть на вероятностном пространстве определены две случайные величины X и Y X , Y: R Ковариацией этих величин называется число cov(X , Y)= E[(X - E[X])(Y - E[Y])]= = E[(X - m. X)(Y - m. Y)] 50

Ковариация случайной величины с самой собой равна ее вариации cov(X, X) = Var(X) 51

Совместное распределение Если вероятностное пространство то характеристики связи случайных величин находят по их совместному распределению Пусть X и Y дискретные случайные величины, причем X принимает значения х1, х2 , …, хm а Y соответственно у1, у2 , …, уn 52

Совместное распределение Тогда совместное распределение случайных величины Х и У описывается таблицей вида у1 у2 … уn х1 p 12 … p 1 n х2 p 21 p 22 … p 2 n pm 1 pm 2 … pmn … хm Где pkj = P[Х=хk , У= уi] – вероятность одновременной реализации значения хk величины Х и значения уi величины У 53

Совместные распределения и ковариация Если случайные величины Х и У определяются совместным распределением, то формула для ковариации имеет вид = (где х = E[X] и y = E[Y] – средние значения величин X и Y) 54

Ковариация служит мерой совместного рассеяния случайных величин вокруг их средних значений В то же время ковариация есть мера связи или взаимного влияния случайных величин Более точной мерой связи между случайными величинами является корреляция точнее коэффициент корреляции 55

Корреляция – это нормированная ковариация Здесь - стандартные отклонения сл. в. Х и У. 56

Корреляция -1 1 = 0 независимость, т. е. сл. в. Х и У -независимы = 1 совершенная положительная корреляция = -1 совершенная отрицательная корреляция 57

Свойства вариации • • Var(a. X)= a 2 Var(X) X=c=const Var(X)=Var(c)= 0 • Если Х и У – независимы Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) • В общем случае Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 cov(X, Y) 58

Свойства вариации • Вариация линейной комбинации случайных величин X = a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + an. Xn Var(X) =a 12 Var(X 1) + a 22 Var(X 2) +…+ an 2 Var(Xn) + + 2 a 1 a 2 cov(X 1, X 2)+…+ 2 a 1 ancov(X 1, Xn)+ + 2 a 2 a 3 cov(X 2, X 3)+…+ 2 a 2 ancov(X 2, Xn)+… …+ 2 an-1 ancov(Xn-1, Xn) 59

Свойства стандартного отклонения • s(a. X)= as(X) • Если X=c=const, то s(X) = s(c)= 0 • Если Х и У – независимы s(X+Y) = s 2(X) + s 2(Y) • В общем случае s(X+Y) = s 2(X) + s 2(Y) + 2 XYs(X)s(Y) 60

Геометрия стандартного отклонения s(X+Y) s(X) 61

Выборочная ковариация Пусть мы имеем N совместных наблюдений над случайными величинами X и Y: (x 1, y 1), (x 2, y 2), …, (x. N, y. N). Тогда выборочная ковариация вычисляется по формуле s(X, Y) = [(x 1 - x)(y 1 - y)+(x 2 - x)(y 2 - y) + …+ + (x. N - x)(y. N - y)]/(N-1) где x и y – выборочные средние значения величин X и Y. 62

Выборочная корреляция Пусть мы имеем N совместных наблюдений над случайными величинами X и Y: (x 1, y 1), (x 2, y 2), …, (x. N, y. N). Выборочная корреляция определяется по выборочной корреляции 63

Диаграмма рассеяния = 0 64

Диаграмма рассеяния 0, 3 65