Углы поворота. Градусная мера углов и дуг. “

Углы поворота. Градусная мера углов и дуг. “ +” Алгебра , 9 -10 класс Воробьев Леонид Альбертович, г. Минск

Углом называют часть плоскости, заключенную между двумя лучами, имеющими общее начало. Данные лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. Если вершина угла расположена в центре окружности, то такой угол называется центральным. Часть окружности, которая находится внутри центрального угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Ещё говорят, что центральный угол опирается на дугу, соответствующую и равную ему.

0 х 1 y 1 Окружность единичного радиуса с центром в начале координатной плоскости называется единичной ( тригонометрической ) окружностью , а круг, который она ограничивает – тригонометрическим кругом. Точка пересечения окружности с положительной осью абсцисс соответствует центральному углу поворота 0 0.

0 1 y 1 х00 AЭту начальную точку можно вращать по окружности, получая различные центральные углы. Вращение точки в направлении против часовой стрелки считается положительным , а по часовой стрелке – отрицательным. “ +” “ – ”

0 1 y 1 х00 AПроследите за вращением точки по окружности и назовите полученные углы поворота:

Если добавить полный поворот к острому углу α , то мы снова окажемся в той же точке А. Но теперь она соответствует углу поворота (подумайте) … x y 0 1 1 A 0 A α + 360 0 0360 Вообще, любую точку окружности можно получить поворотом на угол, вида α + 360 0 · n , где n и α [0; 360 0 ). 1020 0 =360 0 · 2 +300 0 360 2720 300 ПРИМЕР.

0 х 1 y 1 00 AОтметим на окружности точку A , полученную при повороте на произвольный острый угол. α A Каждая точка поворота (как и любая точка координатной плоскости) имеет две координаты: абсциссу x и ординату y , т. е. x y A x y

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Проведем В D АС, D АС. А В С D По свойствам правильного треугольника А=60 0 , АВС=30 0. Если принять длину стороны треугольника за а ед. отр. , то AD= 0 , 5 а (вспомните, почему? ) и по теореме Пифагора: 60 0 30 0 а 0 , 5 а 2 2 2 3 3 4 4 2 a a a BD a 3 2 a Вспомним из курса геометрии, что: Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе; Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе; Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему; Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

А В С D 60 0 30 0 а 0 , 5 а 0 0 5 1 30 2 AD , a sin AB a 3 2 a 0 3 3230 2 a BD co s AB a Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе; Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе; Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему; Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему; Из Δ ABD , для углов 30 0 и 60 0 , получим: 0 3 1 3 30 0 5 : 2 33 AD a tg , a BD 0 3 30 : 0 5 3 2 BD a ctg , a AD 0 0 5 1 60 2 AD , a co s AB a 0 3 3260 2 a BD sin AB a 03 1 3 60 0 5 : 2 33 AD a ctg , a BD 03 60 : 0 5 3 2 BD a tg , a

Если рассматривать прямоугольный равнобедренный треугольник, то используя предыдущие рассуждения, получим: А В Са а В= С=45 0. По теореме Пифагора: 2 2 2 BC a a 2 a 45 0 И, тогда, по определению: 0 1 2 45 : 2 2 2 sin a a 0 45 : 1 tg a a 0 45 : 1 ctg a a 01 2 45 : 2 22 co s a a

30 0 45 0 60 0 sin cos tg ctg 3 1 2 3 3 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 31 Оформите результаты предыдущей работы в виде таблицы в рабочих тетрадях.

0 х 1 y 1 2 30 01 0 045 0 3 22 22 2 60 0 3 2 1 290 0 Координаты точек поворота I четверти: 0 0 0 30 45 60 90 1 3 1 2 2 2 1 3 2 2 0 1 A A A 12 0 0 1 22 2135 0 3 2 150 0 180 0 – 1 Координаты точек поворота II четверти: 0 0 120 135 150 180 1 3 2 2 2 3 1 2 2 1 0 A A 1 2 2 2 3 2 – 1 Самостоятельно определите точки поворота III и IV координатных четвертей и их координаты…