Учитель Лунева Г И МБОУ гимназия 72 г

Учитель Лунева Г. И. МБОУ гимназия 72 г. Краснодар

1. Понятие о первообразной Если в начальный момент времени t =0 скорость тела равна 0, т. е. V(0)=0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдёт путь S(t) = gt 2 2 - Формулу вывел Галилео Галилей Первое дифференцирование даёт нам скорость S’(t) = V(t) = gt Второе дифференцирование даёт нам ускорение V’(t) = a(t) = g

Известно ускорение точки a(t), требуется найти закон изменения скорости V(t), а также найти координату S(t). Т. е. по заданной производной V’(t) = a(t) надо найти V(t), затем по производной S’(t) = V(t) найти S(t). Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F’(x) = f(x)

Признак постоянства функции: Если F’(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке. ТЕОРЕМА: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – первообразная для функции f(x) C – произвольная постоянная

Дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а их множество, причём отличаются они друг от друга только постоянным слагаемым. ТЕОРЕМА: Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причём любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

2) Сведения из истории о происхождении интегралов. Интеграл (от лат. Integer- целый)-одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функцию по их производным Например, находить функцию, выражающую путь , пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки, а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ ∫ введен Лейбницем в 1686 г. . Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г. ). Вероятно, оно происходит от латинского integer, которое переводится как «СУММА» , приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Лейбниц Эйлер

Название первообразная функция заменило более раннее « примитивная функция» , которую ввел Лагранж(1797 г. ). Само понятие выделил Лейбниц, обозначение ввел К. Фурье(1768 -1830), пределы указал уже Эйлер. Ньютон Архимед

3) Определение неопределенного интеграла. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a; b) называется неопределенным интегралом и обозначается ∫ f(x)dx, где f(x) –подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, x-переменная интегрирования, с -произвольная постоянная

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Восстановление функции по её производной или вычисление неопределенного интеграла по данной подинтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование есть операция обратная дифференцированию, поэтому правильность нахождения неопределенного интеграла проверяется дифференцированием полученного выражения.

4) Основные свойства неопределённого интеграла. 1˚. Дифференциал неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению. d ∫f(x)dx=f (x)dx 2˚. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной. ∫d(f(x))=f(x)+C 3˚. Интеграл от алгебраической суммы (разности) функций равен алгебраической сумме (разности) интегралов. ∫( f(x)+v(x)-g(x))dx= ∫f(x)dx+ ∫v(x)dx-∫g(x)dx 4˚. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. ∫аf(x)dx=а ∫f(x)dx

5) Таблица интегралов основных элементарных функций.

6) Методы интегрирования а) Непосредственное интегрирование Интегрирование, которое можно произвести с помощью свойств и таблицы интегралов, будем называть непосредственным интегрированием.

б) Метод подстановки ( замена переменной) Сущность этого метода заключается в преобразовании интеграла ∫f(x)dx в интеграл вида ∫F(U)d. U , который легко вычисляется. Для нахождения интеграла вида ∫f(x)dx заменяем переменную х на новую переменную U с помощью подстановки x=φ(U). Дифференцируя это равенство, получим dx=φ’(U)d. U. Подставляя в подинтегральное выражение вместо х и dx их значения, получим: ∫f(x)dx = ∫f(φ(U))φ’(U)d. U = ∫F(U)d. U После того как интеграл будет вычислен относительно новой переменной, возвращаемся к старой переменной.