ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ y = sin x,

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ y = sin x, y = cos x, їх графіки та властивості y 1 -1 x

Синус (від лат. sinus) – вигин, кривизна.

Означення тригонометричних функцій sin α = y ордината точки Pα cos α = x абсциса точки Pα

Побудова графіка функції y = sin x

Графік функції y = sin x Графіком функції y = sin x є крива, яка називається СИНУСОЇДА

Властивості функції y = sin x Область визначення D(sin x) = R Множина значень E(sin x) = [-1; 1] Парність або непарність: функція y = sin x непарна sin(-x) = -sin x (графік функції симетричний відносно початку координат) Періодичність: функція y = sin x періодична з найменшим додатнім періодом T = 2p sin (x + 2p) = sin x

Властивості функції y = sin x Точки перетину графіка функції y = sin x з осями координат: б) з віссю ОY: f(0) = sin 0 = 0 (точка (0; 0)) а) з віссю ОХ (нулі функції): у = 0, sin x = 0, якщо х = pn, n Î Z

Властивості функції y = sin x Проміжки знакосталості: sin x > 0, якщо х Î (0 + 2pn; p + 2pn), nÎZ sin x < 0, якщо x Î (p + 2pn; 2p + 2pn), nÎZ

Властивості функції y = sin x Проміжки монотонності: а) функція зростає в кожному з проміжків: xÎ [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], nÎZ б) функція спадає в кожному з проміжків: xÎ [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], nÎZ

Властивості функції y = sin x Екстремуми функції: Хмах = p/2 + 2pn, nÎZ, Yмах = 1 Хмin = -p/2 + 2pn, nÎZ, Yмin = -1

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin (x + p/6) Для побудови графіка функції y = sin (x + а) необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OX на а одиниць вліво

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin (x - p/6) Для побудови графіка функції y = sin (x - а) необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OX на а одиниць вправо

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin x + 1 Для побудови графіка функції y = sin x + а необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OY на а одиниць вгору

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin x - 1 Для побудови графіка функції y = sin x - а необхідно графік функції y = sin x здвинути вздовж осі OY на а одиниць вниз

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = - sin x Для побудови графіка функції y = - sin x необхідно графік функції y = sin x відобразити симетрично відносно осі OX

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin (-x) Для побудови графіка функції y = sin (-x) необхідно графік функції y = sin x відобразити симетрично відносно осі OY

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = | sin x | Для побудови графіка функції y = | sin x | необхідно додатну частину графіка функції y = sin x залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити симетрично відносно осі OX

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = sin | x | Для побудови графіка функції y = sin | x | необхідно побудувати графік функції y = sin x при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OY

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = 2 sin x Графік функції y = k sin x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0

Перетворення графіків функції y = sin x y 1 -1 x Побудувати графік функції y = 1/2 sin x Графік функції y = k sin x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо 0

Перетворення графіків функції y = sin x Побудувати графік функції y = sin 2x Графік функції y = sin k x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0

Перетворення графіків функції y = sin x Побудувати графік функції y = sin 1/2x Графік функції y = sin k x можна дістати з графіка функції y = sin x за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо 0

Побудова графіка функції y = cos x Графік функції у = cos x одержується перенесенням графіка функції у = sin x вліво на π/2. sin (x + π/2) = sin x cos π/2 + sin π/2 cos x = cos x

Графік функції y = cos x Графіком функції y = cos x є крива, яка називається КОСИНУСОЇДА

Властивості функції y = cos x Область визначення D(cos x) = R Множина значень E(cos x) = [-1; 1] Парність або непарність: функція y = cos x парна cos(-x) = cos x (графік функції симетричний відносно осі OY) Періодичність: функція y = cos x періодична з найменшим додатнім періодом T = 2p cos (x + 2p) = cos x

Точки перетину графіка функції y = cos x з осями координат: Властивості функції y = cos x а) з віссю ОХ (нулі функції) у = 0, cos x = 0, якщо х = p/2 + p n, n Î Z б) з віссю ОY: f(0) = cos 0 = 1 (точка (0; 1))

Властивості функції y = cos x Проміжки знакосталості: cos x > 0, якщо х Î (-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn), nÎZ cos x < 0, якщо x Î (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nÎZ

Властивості функції y = cos x Проміжки монотонності: б) функція спадає в кожному з проміжків: xÎ [2pn; p + 2pn], nÎZ а) функція зростає в кожному з проміжків: xÎ [-p + 2pn; 2pn], nÎZ

Властивості функції y = cos x Екстремуми функції: Хмах = 2pn, nÎZ, Yмах = 1 Хмin = p + 2pn, nÎZ, Yмin = -1

Перетворення графіків функції y = cos x Перетворення графіків функції y = cos x відбувається аналогічно перетворенню графіків функції y = sin x

y 1 -1 x Побудувати графік функції y = 2 cos (2x – p/2) 1) будуємо графік функції y = cos x 2) будуємо графік функції y = cos 2x, стискаючи графік функції y = cos x у 2 рази до вісі OY 3) будуємо графік функції y = 2 cos 2x, розтягуючи графік функції y = cos 2x у 2 рази від осі OX 4) будуємо шуканий графік функції y = 2 cos 2 (x – p/4), паралельно переносячи графік функції y = 2 cos 2x вправо вздовж осі OX на відстань p/4 Подамо вираз даної функції у вигляді y = 2 cos 2 (x – p/4)

Практичне застосування тригонометричних функцій Синусоїда – хвилеподібна плоска крива, яка є графіком тригонометричної функції y = sinx в прямокутній системі координат. Якщо рулон паперу розрізати навскоси і розвернути його, то край паперу виявиться розрізаним по синусоїді. Цікаво, що проекція на площину гвинтової лінії свердла також буде синусоїдою.

Зміна будь-якої величини за законом синуса називається гармонійним коливанням. Приклади таких коливань: коливання маятника, коливання напруги в електричній мережі, зміна струму і напруги в коливальному контурі та ін. Практичне застосування тригонометричних функцій Ще один приклад синусоїдальних коливань – звук (гармонійне коливання повітря), що відповідає коливанню y = A*sin ωt