Треугольник. Выполнили работу Артемьева Анна и Терентьева Анна.

Треугольник – это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. С А В

Периметр треугольника – это сумма всех длин его сторон. Формула периметра. AB+BC+AC = P

Задача. Дано: Ø АВС АВ = 17 см. АС в 2 раза больше АВ ВС меньше АС на 10 см. Найти: РАВС - ? В 17 А • Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС. Решение: 1) АС = 2*АВ = 2*17 = 34 см. 2) ВС = АС – 10= 34 - 10 = 24 см. 3) Р = АВ + ВС + АС = 17 + 34 + 24 = 75 см Ответ: РАВС = 75 см. С

Виды треугольников.

Виды треугольников. Ø Остроугольный треугольник – это такой треугольник, у которого все углы острые ( <90 o ). Тупоугольный треугольный – это такой треугольник, у которого хотя бы один угол тупой ( >90 o ). Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого есть прямой угол ( 90 о ). Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны по величине между собой. Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, у которого боковые стороны равны по величине. Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны разные по величине.

Первый признак равенства треугольников. Ø Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны! Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1, у которых АВ=А 1 В 1, АС=А 1 С 1, углы А и А 1 равны. Дано: AB=A 1 B 1 A= A 1 AC = A 1 C 1 Раз угол А = углу А 1 Раз АС=А 1 С 1 ВС = В 1 С 1 1 С 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 (ч. т. д. ) А 1 АВС = А 1 В 1 С 1 Раз АВ=А 1 В 1 В В С А

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. А M 2 Любой треугольник имеет три медианы. Медиана АМ Медиана ВМ 1 M 1 Медиана СМ 2 В M С

Биссектриса треугольника. Биссектриса – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны и делящий угол на 2 равных другу по А величине угла M 2 Любой треугольник имеет три биссектрисы. Биссектриса АМ Биссектриса ВМ 1 M 1 Биссектриса СМ 2 В M С

Высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, Любой треугольник имеет три высоты. проведённый из вершины треугольника к прямой, находящейся напротив этой вершины. A Высота ВН 2 H 3 Высота АН 1 H 2 Высота СН 3 B H 1 C

Свойства медианы, высоты, биссектрисы. В любом треугольнике: Ø 1. Медианы пересекаются в одной точке. Ø 2. Биссектрисы пересекаются в одной точке. Ø 3. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Ø А M 3 А M 2 B 1 C 1 A В С M 1 B H 3 H 2 H 1 В C A 1 С

Свойства равнобедренного треугольника. Дано: ABC - рб AD - биссектриса ABC = ACD AB=AC AD – общая сторона 1= 2 < < Доказать: <В=<С Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Доказательство: А Пусть AD – биссектриса треугольника АВС. 1 Треугольники АВD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, AD – общая сторона, < 1 = 2, < т. к. AD – биссектриса) 3 4 2 В С D В равных треугольниках против равных сторон, лежат равные углы, поэтому !!!Теорема доказана!!! <В = <С

Свойство равнобедренного треугольника. Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Справедливы так же утверждения: 1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Второй признак равенства треугольника. Дано: Ø АВС А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 < А = < А 1 < В = < В 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 Теорема: С Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: А В Наложим треугольник АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что бы вершина А совместилась с вершиной А 1, сторона АВ с равной её стороной А 1 В 1, а вершина С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1. Так как В 1 < А = < А 1 и < В = < В 1 , то сторона АС наложится на луч А 1 С 1, а сторона ВС – на луч В 1 С 1. Поэтому вершина С – общая точка сторон С 1 АС и ВС – окажется лежащей как на луче А 1 С 1, так и на луче В 1 С 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С 1. Значит совместятся стороны АС и А 1 С 1, ВС и В 1 С 1 !!!Теорема доказана!!! Таким образом, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, поэтому они равны. А 1

Третий признак равенства треугольников. Ø Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. В 1 С А В С 1 А 1

Площадь треугольника. Теорема Площадь треугольника равна Ø половине произведения его стороны на высоту, опущенную на эту сторону 1 S ∆= ·h a 2 высота В А h о с н о в а н и е a С

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. a b SABCD=a·b b S ∆= 1 a · b А a 2

Площади равнобедренного и равностороннего треугольника.

Теорема Пифагора. Формулировки теоремы Пифагора Ø различны. Общепринятой считается следующая: Во времена Пифагора формулировка теоремы «В прямоугольном звучала так: треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» . «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» .

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур Ø Аддитивные доказательства (основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе Ø Доказательства методом достроения Ø Алгебраический метод доказательства Ø И т. д. Ø

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике.

Как свидетельствуют летописи, в Древнем Китае уже около 2200 года до н. э. для треугольника со сторонами 3, 4, 5 было найдено правило «гоу-гу» , с помощью которого можно было по известным гипотенузе и одному из катетов находить другой неизвестный катет, а также гипотенузу, если известны оба катета. В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» ( «Правила веревки» , 600 год до н. э. ), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи веревки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины). Алтари по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта.

Как утверждают все античные авторы, Пифагор первый дал полноценное доказательство теоремы, носящей его имя. К сожалению, мы не знаем, в чем оно состояло, потому что древние математики и писатели об этом умалчивают, а от самого Пифагора и ранних пифагорейцев до нас не дошло ни одного письменного документа.

Про Пифагора. Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2, 5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко недостоверны. С его именем связано много легенд.

Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет, Индию и Вавилон, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

Так на юге Италии, которая была в то время греческой колонией, возникла знаменитая «Пифагорейская школа» , сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.

Именно Пифагору приписывают и доказательство знаменитой геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных Ø известными математиками (Прокл, Плутарх и др. ), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили тайной имя своего учителя, так что установить правду о Пифагоре невозможно.

Конец! Спасибо за внимание! Домой