Транспортная задача задача о перевозках Транспортные модели

Транспортная задача (задача о перевозках)

Транспортные модели (задачи) — специальный класс задач линейного программирования. Эти модели часто описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (исходный пункт, например место производства) в пункт назначения (склад, магазин, грузохранилище). В зависимости от вида целевой функции различают: 1. транспортную задачу по критерию стоимости; 2. транспортную задачу по критерию времени.

Постановка задачи Имеется m пунктов отправления: A 1, A 2, …, Am, в которых сосредоточены запасы какого-то однородного товара (груза) в количестве соответственно a 1, a 2, …, am единиц. Имеется n пунктов назначения: B 1, B 2, …, Bn, подавших заявки соответственно на b 1, b 2, …, bn единиц товара. Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов: Известна стоимость перевозки единицы товара от каждого пункта отправления Ai до каждого пункта назначения Bj – cij. Требуется составить такой план перевозок (xij), при котором все заявки были бы выполнены, и при этом общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Математическая формулировка (1) (2) (3) В условии (2) только m+n-1 уравнение являются линейно независимыми. Т. е. базисных переменных в задаче m+n-1.

Определение начального решения (опорного плана задачи) В отличие от других ЗЛП, решение ТЗ всегда существует. Методы нахождения опорного плана: 1. метод северо-западного угла; 2. метод минимального элемента (наименьшей стоимости); 3. метод Фогеля. Различие этих методов заключается в "качестве" начального решения, т. е. "удаленности" начального решения от оптимального. В общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение, а метод северозападного угла — наихудшее.

Метод северо-западного угла Дана транспортная задача по критерию стоимости Задача является сбалансированной (замкнутой) ТЗ. Методы решения ТЗ сводятся к операциям с транспортной таблицей.

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 B 3 8 B 4 5 B 5 6 7 8 9 48 6 7 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 B 3 8 B 4 5 18 7 8 8 6 6 B 5 9 48 6 7 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 5 6 8 B 5 7 8 B 4 27 6 B 3 9 48 6 7 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 27 6 B 4 5 3 7 B 5 6 8 8 B 3 9 48 6 7 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 27 6 3 6 8 7 B 5 30 B 4 5 7 8 B 3 9 48 6 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 27 6 3 9 48 6 10 ai 5 30 8 7 27 9 7 6 8 7 B 5 30 B 4 5 7 8 B 3 5 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 27 6 3 7 5 9 48 6 10 ai 9 6 8 7 B 5 30 B 4 5 7 8 B 3 5 30 8 7 27 12 4 6 18 27 42 12 8 20 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 27 6 3 7 5 9 48 6 10 12 6 27 42 12 8 20 18 7 27 6 5 30 8 4 ai 9 6 8 7 B 5 30 B 4 5 7 8 B 3 26

Метод северо-западного угла (продолжение) B 1 10 A 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 18 8 27 6 3 7 5 9 48 6 10 5 30 8 12 4 ai 9 6 8 7 B 5 30 B 4 5 7 8 B 3 7 27 6 6 8 20 18 27 42 12 26 Стоимость этого плана L=1039

Метод минимального элемента B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 B 4 5 B 5 6 7 8 9 48 6 7 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 26

Метод минимального элемента (продолжение) B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 B 4 5 22 6 7 6 8 8 B 5 9 48 6 7 10 ai 5 30 8 7 27 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 26

Метод минимального элемента (продолжение) B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 B 4 5 22 6 7 6 8 8 B 5 9 48 6 10 5 30 26 7 ai 8 7 27 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 26

Метод минимального элемента (продолжение) B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 B 4 5 22 6 4 7 6 8 8 B 5 9 48 6 10 5 30 26 7 ai 8 7 27 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 26

Метод минимального элемента (продолжение) B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 B 4 5 22 6 4 7 6 12 8 8 B 5 9 48 6 10 5 30 26 7 ai 8 7 27 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 26

Метод минимального элемента (продолжение) B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 B 4 5 22 6 4 7 8 9 48 6 10 5 30 26 7 ai 8 7 27 27 6 12 8 B 5 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 26

Метод минимального элемента (продолжение) B 1 A 2 A 3 A 4 bj B 2 10 B 3 8 14 4 7 B 5 6 12 8 8 9 48 6 10 5 30 26 7 ai 8 7 27 27 5 22 6 B 4 7 5 4 6 20 18 27 42 12 8 20 План является вырожденным. Качество плана: L=745. 26

Улучшение плана перевозок. Распределительный метод План можно улучшить с помощью циклической перестановки, при которой некоторые перевозки без нарушения баланса переносятся из клетки в клетку по замкнутому циклу. Циклом в транспортной таблице называют несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90º. Цена цикла – увеличение стоимости перевозок при перемещении 1 единицы груза по означенному циклу. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует цикл (и притом единственный), одна из вершин которого лежит в свободной клетке, а все остальные – в базисных. Если цена такого цикла отрицательна => план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу.

Циклическая переброска Опорный план получен методом северо-западного угла B 1 A 2 A 3 A 4 bj - 18 B 2 10 7 8 7 5 9 48 6 10 5 30 8 12 4 ai 9 6 8 7 B 5 30 - 5 3 + 27 B 4 8 6 + B 3 7 27 6 6 8 20 18 27 42 12 26 Перебросим 18 единиц по означенному циклу. L=913 Цена цикла=5+6 -10 -8=-7 L=1039 -18*7=913

Решение ТЗ методом потенциалов Метод потенциалов позволяет автоматически выделять свободные клетки с отрицательной ценой цикла. Поставим в соответствие: Ai – i; Bj – j. Назовем псевдостоимостью перевозки Для заданной совокупности платежей ( i, j) суммарная псевдостоимость перевозок при любом допустимом плане (xij) сохраняет одно и то же значение.

Метод потенциалов. Условие оптимальности плана Теорема. Если для всех базисных клеток плана (xij>0): а для всех свободных клеток (xij=0): то план является оптимальным. Доказательство: Изменим план (xij) на (x’ij). Цена цикла:

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 10 B 2 10 8 17 8 6 6 6 7 5 4 3 4 32 8 4 9 25 5 2 3 14 8 ai 5 10 6 3 22 10 B 5 19 7 12 9 4 14 B 4 13 9 14 8 8 5 9 B 3 40 3 4 8 8 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 10 8 6 5 4 αi 0 -2 -1 4 117

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 10 B 2 10 8 17 8 6 6 6 7 5 4 3 4 32 8 4 9 25 5 2 3 14 8 ai 5 10 6 3 22 10 B 5 19 7 12 9 4 14 B 4 13 9 14 8 8 5 9 B 3 40 3 4 8 8 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 10 8 6 5 4 Для опорного плана L=726 Перебросим 13 единиц по означенному циклу. Цена цикла=-3 L=726 -13*3=687 αi 0 -2 -1 4 117

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 10 B 2 10 8 4 5 3 13 9 6 4 8 4 5 7 3 4 32 8 4 9 25 5 2 3 14 8 ai 5 10 6 3 22 10 B 5 19 7 9 9 4 14 B 4 9 11 8 21 5 6 B 3 40 3 4 8 8 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 10 8 9 8 7 αi 0 -5 -4 1 117

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 10 B 2 10 8 4 5 3 13 9 6 4 8 4 5 7 3 4 32 8 4 9 25 5 2 3 14 8 ai 5 10 6 3 22 10 B 5 19 7 9 9 4 14 B 4 9 11 8 21 5 6 B 3 40 3 4 8 8 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 10 8 9 8 7 Перебросим 4 единицы по означенному циклу. Цена цикла=-2 L=687 -4*2=679 αi 0 -5 -4 1 117

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 8 B 2 10 8 5 5 17 7 6 6 6 4 5 5 3 4 32 8 4 9 25 5 2 3 10 8 ai 5 10 6 3 26 10 B 5 4 15 7 11 9 4 14 B 4 9 11 8 21 5 6 B 3 40 3 4 8 8 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 8 8 7 6 5 αi 0 -3 -2 3 117

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 8 B 2 10 8 5 5 17 7 6 6 6 4 5 5 3 4 32 8 4 9 25 5 2 3 10 8 ai 5 10 6 3 26 10 B 5 4 15 7 11 9 4 14 B 4 9 11 8 21 5 6 B 3 40 3 4 8 8 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 8 8 7 6 5 Перебросим 20 единиц по означенному циклу. Цена цикла=-2 L=679 -20*2=639 αi 0 -3 -2 3 117

Пример решения задачи методом потенциалов B 1 A 2 A 3 A 4 8 B 2 10 8 5 5 17 7 6 6 6 4 5 5 3 4 32 8 4 7 25 5 2 3 10 8 ai 5 8 6 3 6 10 B 5 4 15 7 9 9 4 14 B 4 9 9 8 21 5 6 B 3 40 3 24 8 6 20 8 20 bj 17 21 41 14 24 βj 8 8 7 6 5 План оптимален. L=639 αi 0 -3 -2 1 117

Решение несбалансированной ТЗ 1. 2. Привести задачу к сбалансированному виду путем добавления фиктивного пункта отправления или назначения. Решить сбалансированную задачу любым методом, например, методом потенциалов. Баланс ТЗ может нарушаться в двух направлениях: 1. ТЗ с избытком запасов 2. ТЗ с избытком заявок

ТЗ с избытком запасов Требуется найти такой план перевозок (xij), при котором все заявки будут выполнены, а общая стоимость перевозок минимальна: При такой постановке задачи некоторые условия-равенства ТЗ превращаются в неравенства:

Решение ТЗ с избытком запасов Сведем ТЗ к задаче с правильных балансом. Для этого введем фиктивный пункт назначения Bф, которому припишем фиктивную заявку: Положим стоимости перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения Bф равными нулю: Отправление какого-то количества груза xiф из пункта Ai в пункт Bф будет означать, что в пункте Ai остались неотправленными xiф единиц груза.

ТЗ с избытком заявок Требуется найти такой план перевозок (xij), при котором все запасы будут вывезены, а общая стоимость перевозок минимальна:

Решение ТЗ с избытком заявок Сведем ТЗ к задаче с правильных балансом. Для этого введем фиктивный пункт отправления Aф, которому припишем фиктивный запас груза: Положим стоимости перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения равными нулю: Отправление какого-то количества груза xфj из пункта Aф в пункт Bj будет означать, что пункт назначения Bj недополучит xфj единиц груза.

Лабораторная работа № 2. Решение транспортных задач 1) Найти опорный план задачи тремя методами: методом северо-западного угла, методом минимального элемента и методом Фогеля. Сравнить планы по качеству; 2) используя в качестве опорного план, полученный методом северозападного угла, решить ТЗ методом потенциалов.