Скачать презентацию ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Лекция 2 Условная вероятность доцент Колосько Скачать презентацию ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Лекция 2 Условная вероятность доцент Колосько

Лекция 2 (условная вероятность).pptx

  • Количество слайдов: 39

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Лекция 2 Условная вероятность доцент: Колосько Анатолий Григорьевич ( agkolosko@mail. ru ) ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Лекция 2 Условная вероятность доцент: Колосько Анатолий Григорьевич ( agkolosko@mail. ru )

Совместимость событий несовместные : AB = Ø Несовместные события – события, которые не могут Совместимость событий несовместные : AB = Ø Несовместные события – события, которые не могут наступить одновременно (A·B = Ø) Ω B А совместные : AB ҂ Ø Если же существуют исходы, при которых произойдёт и событие А и событие В, то они совместные (A·B ≠ Ø).

Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух событий А и В для несовместных событий: несовместные Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух событий А и В для несовместных событий: несовместные : AB = Ø Ω B А Аналогично для суммы любых n событий : совместные : AB ҂ Ø Для совместных же событий:

Доказательство Пусть событие А включает в себя NA исходов, а событие В - NB Доказательство Пусть событие А включает в себя NA исходов, а событие В - NB исходов. Если события А и В несовместны, то в множестве А+В ровно NA + NB исходов. Вероятность события А+В в общем случае считается как сумма вероятностей исходов, в него входящих, то есть для несовместных А и В - это NA + NB исходов: Если же A и B совместны, то в множестве А+B исходов будет меньше, чем (NA + NB) , так как некоторые совпадают. Совпадающих исходов NAB штук, поэтому из суммы Р(A)+Р(B) надо вычесть вероятности этих совпадающих исходов: Ω А B

Задача 1 В марте 7 дней шёл снег, 10 - дождь, из них 4 Задача 1 В марте 7 дней шёл снег, 10 - дождь, из них 4 дня - снег с дождём. Найти вероятность того, что в наугад выбранный день шёл дождь или снег.

Задача 2 Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 Задача 2 Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 - французский, 35 - немецкий. Английский и французский знают 20 человек, английский и немецкий - 8, французский и немецкий - 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел. Определить вероятности следующих событий: 1. Вышедший студент знает французский или английский 2. Знает английский или немецкий 3. Кроме английского знает или французский или немецкий

Решение ^ Решение ^

Зависимые и независимые события События А и В называются зависимыми, если вероятность появления события Зависимые и независимые события События А и В называются зависимыми, если вероятность появления события А зависит от того, появилось ли событие В. Если не зависит, то события независимы. Условная вероятность PВ(А) – вероятность появления события А при условии, что другое событие В уже произошло. Обозначается по-разному: PВ(А), P(А/В), P(А|В), P(А если В). (между прочим, разность множеств: AB - слеш в другую сторону)! Отличие условной от обычной заключается в том, что вероятности PВ(А) и PB (А) не равны! В принципе, рассматриваемые события А и В могут иметь разные пространства исходов ΩА ΩВ, в которых исходы ωAi и ωBi не совпадают. но для удобства расчётов всегда можно построить общее пространство исходов ΩAB: записать двойные исходы (ωAi , ωBi).

Пространство двойных исходов Пример. Клиент заключает контракт с фирмой (событие А), у которой есть Пространство двойных исходов Пример. Клиент заключает контракт с фирмой (событие А), у которой есть лицензия на продажу товаров, с вероятностью 50%, а с фирмой у которой нет – 10%. Вероятность получения лицензии у вашей фирмы (событие В) – 80%. С какой вероятностью будет законный контракт? Ωгде лицензия? Ωгде контракт? 1 А да P = 0, 8 получение лицензии В не контракт P = 0, 5 А нет P = 0, 2 контракт P = 0, 5 Ωобщее Аи. B А и не. B контракт P = 0, 1 не контракт P = 0, 9 Ωгде контракт? 2 условные вероятности лиц + да P = 0, 8*0, 5 = 0, 4 лиц + нет P = 0, 8*0, 5 = 0, 4 нелиц + да P = 0, 2*0, 1 = 0, 02 нелиц + нет P = 0, 2*0, 9 = 0, 18

Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий А и В для независимых событий: при Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий А и В для независимых событий: при этом: PB(A) = P(A) а для зависимых событий: а также отсюда следует неочевидное:

Доказательство теоремы умножения ΩB да P = M/N ΩА и В ΩA/B Аи. B Доказательство теоремы умножения ΩB да P = M/N ΩА и В ΩA/B Аи. B да P = L/M нет P = (M-L)/M В А/-B нет P = (N-M)/N да + да = да да + нет = нет А и не. B да P = S/(N-M) нет P = (N-M-S)/(N-M) Pда = (M/N) * (L/M) = L/N P =. . . нет + да = нет P =. . . нет + нет = нет P =. . . Pнет = (N-L)/N ΩA/-B Ω - N исходов A-W исходов А·В - L B - M исходов Вероятность АВ определяется только числами N и L, без всяких M и W: Поэтому P(A и В) = Р(А) · РА(В) = РВ(А) · Р(В)

Логический переворот Например. Вероятность того, что вы заключили контракт с фирмой (событие А) 42%. Логический переворот Например. Вероятность того, что вы заключили контракт с фирмой (событие А) 42%. При этом, если вы заключили контракт, то у фирмы скорее всего была лицензия (событие В) с вероятностью 95%, а если не заключили в итоге, то лицензия тоже возможно есть – 69%. С какой вероятностью контракт будет законный? Ωгде контракт? Ωгде лицензия? 1 А да P = 0, 42 заключение контракта В не лицензия P = 0, 05 А нет P = 0, 58 лицензия P = 0, 95 Ωобщее Аи. B А и не. B лицензия P = 0, 69 не лицензия P = 0, 31 Ωгде лицензия? 2 лиц + да P = 0, 42*0, 95 = 0, 4 лиц + нет P = 0, 42*0, 05 = 0, 02 нелиц + да P = 0, 58*0, 69 = 0, 4 нелиц + нет P = 0, 58*0, 31 = 0, 18

Задача 3 В ящике имеются 7 белых и 5 чёрных шаров, отличающихся лишь цветом. Задача 3 В ящике имеются 7 белых и 5 чёрных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают (не глядя) один шар и, не опуская его обратно, вынимают ещё один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара чёрные?

Решение. Решение.

Полная группа. Иными словами, группа событий называется полной, если проведении опыта всегда происходит какое-нибудь Полная группа. Иными словами, группа событий называется полной, если проведении опыта всегда происходит какое-нибудь одно из этих событий. Естественно, что сумма их вероятностей равна 1. События Hi называются гипотезами, так каждое из них будет давать свою условную вероятность для произвольного события А (см. рисунок).

Формула полной вероятности. То есть, зная вероятности событий полной группы, а также условную вероятность Формула полной вероятности. То есть, зная вероятности событий полной группы, а также условную вероятность события А для каждой из гипотез, можно посчитать вероятность события А. Доказательство:

Задача 4 Команда на хорошем поле выигрывает с вероятностью 2/3, а на плохом - Задача 4 Команда на хорошем поле выигрывает с вероятностью 2/3, а на плохом - с вероятностью 1/2. Известно, что 3/4 игр проводится на хорошем поле. Какова вероятность выиграть в наудачу выбранном матче?

Решение Команда на хорошем поле выигрывает с вероятностью 2/3, а на плохом - с Решение Команда на хорошем поле выигрывает с вероятностью 2/3, а на плохом - с вероятностью 1/2. Известно, что 3/4 игр проводится на хорошем поле. Какова вероятность выиграть в наудачу выбранном матче?

Задача 5 Студент, выйдя из дома за 30 минут до начала занятий, может приехать Задача 5 Студент, выйдя из дома за 30 минут до начала занятий, может приехать в институт автобусом, троллейбусом или трамваем. Все эти варианты равновозможны. Вероятность приехать на занятия вовремя для этих видов транспорта соответственно равна 0. 99, 0. 98 и 0. 9. Какова вероятность, что студент приедет на учебу вовремя?

Решение Пусть событие А заключается в том, что студент не опоздает на занятия. Оно Решение Пусть событие А заключается в том, что студент не опоздает на занятия. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез: Н 1 - студент поехал автобусом; Н 2 - студент поехал троллейбусом; Н 3 - студент поехал трамваем. Чтобы использовать формулу полной вероятности, необходимо знать вероятности каждой из гипотез и условные вероятности события А для каждой из гипотез. Так как гипотезы образуют полную группу событий, то суммарная вероятность всех гипотез равна 1. По условию задачи все гипотезы равновероятны, следовательно: Р(Н 1) = Р(Н 2) = Р(Н 3) = 1/3. Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны по условию задачи: Р(А|Н 1)=0. 99; Р(А|Н 2)=0. 98; Р(А|Н 3)=0. 9 Следовательно, по формуле полной вероятности:

Задача 6 Вероятность брака при изготовлении детали равна 0, 04. Приёмка деталей производится по Задача 6 Вероятность брака при изготовлении детали равна 0, 04. Приёмка деталей производится по следующей системе контроля: годная деталь принимается с вероятностью 0, 98, а бракованная - с вероятностью 0, 1. Найти вероятность приёмки детали.

Решение Вероятность брака при изготовлении детали равна 0, 04. Приёмка деталей производится по следующей Решение Вероятность брака при изготовлении детали равна 0, 04. Приёмка деталей производится по следующей системе контроля: годная деталь принимается с вероятностью 0, 98, а бракованная - с вероятностью 0, 1. Найти вероятность приёмки детали.

Задача 7 Имеются три одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 30 белых и Задача 7 Имеются три одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 30 белых и 20 чёрных шаров, во втором - 15 белых и 15 чёрных шаров, в третьем - 5 белых и 15 чёрных шаров. Какова вероятность вытащить из случайно выбранного ящика чёрный шар?

Решение. Решение.

Формула Байеса Томас Байес Для события Hx из полной группы Hi (где i = Формула Байеса Томас Байес Для события Hx из полной группы Hi (где i = 1 ÷ n) и некоторого события А (с вероятностью P(A) > 0) справедливо следующее (формула Байеса): То есть, зная условные вероятности события А для каждой из гипотез и вероятности самих гипотез, можно рассчитать "обратную" условную вероятность - вероятность события Hx (одной из гипотез) при условии появления события А.

Доказательство По формуле полной вероятности: подставляем в формулу Байеса: или что то же самое: Доказательство По формуле полной вероятности: подставляем в формулу Байеса: или что то же самое: А это верно согласно теореме умножения вероятностей, потому как и левая, и правая части равны вероятности Р(А*Hx).

Задача 8 В первой коробке 5 белых шаров и 4 чёрных, во второй - Задача 8 В первой коробке 5 белых шаров и 4 чёрных, во второй - 3 белых и 1 чёрный, в третьей - 2 белых и 1 чёрный. Наугад выбирается коробка и из неё два шара. Оказалось, что оба шара белые. Найти условную вероятность того, что шары извлекались из первой коробки.

Решение событие А - вытащили два белых шара P(А/H 1) = P(первый шар белый Решение событие А - вытащили два белых шара P(А/H 1) = P(первый шар белый / H 1) · P(второй ТОЖЕ белый / H 1) = = 5/9 * 4/8 = 5/18 аналогично находим P(А/H 2) и P(А/H 3) для двух других коробок Подставляем в формулу Байеса и находим искомую вероятность: P(H 1 /A) =

Задача 9 Статистика запросов кредитов в банке: 10 % - государственные органы, 30 % Задача 9 Статистика запросов кредитов в банке: 10 % - государственные органы, 30 % - банки, 60 % - физические лица. Вероятности не возврата кредита для них соответственно равны: 0. 01, 0. 05, 0. 2. Найти вероятность события А – не возврата очередного кредита и вероятность события В - что кредит не возвратил некоторый банк, если известно, что событие А уже произошло.

Решение Гипотезами в этой задаче будут: Н 1 - кредит взял государственный орган; Н Решение Гипотезами в этой задаче будут: Н 1 - кредит взял государственный орган; Н 2 - кредит взял банк; Н 3 - кредит взяло физическое лицо. Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности. Найдем вероятности гипотез: Р(Н 1) = 0. 1; Р(Н 2) = 0. 3; Р(Н 3) = 0. 6 Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны в задаче: Р(А/Н 1)=0. 01; Р(А/Н 2)=0. 05; Р(А/Н 3)=0. 2. Тогда: Вероятность события В - это условная вероятность гипотезы Н 2 : Р(Н 2/А). Находим её по формуле Бейеса:

Задача 10 В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Трое подготовлены отлично, 4 - Задача 10 В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Трое подготовлены отлично, 4 - хорошо. 2 - посредственно, 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо подготовленный - на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Решение. Решение.

Задача для самых умных. Задача для самых умных.

Решение. . Решение. .

. . . Решение. . . . . Решение. .

. . . Решение. . . . . Решение. .

. . . Решение. . . . . Решение. .

Спасибо за внимание : ) Спасибо за внимание : )

Вопросы для контроля усвояемости предмета • • • Совместные события Несовместные события Теорема сложения Вопросы для контроля усвояемости предмета • • • Совместные события Несовместные события Теорема сложения вероятностей Зависимые события Независимые события Находятся ли зависимые события в одном и том же пространстве исходов? Условная вероятность, её обозначения Теорема умножения вероятностей Полная группа событий; Гипотезы Формула полной вероятности Формула Байеса