ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2 Условная вероятность Независимость событий Вероятность

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. (продолжение)

В некоторых задачах вычисление вероятности случайного события А непосредственно по классическому определению бывает сопряжено с довольно значительными вычислительными трудностями. В таких случаях обычно поступают следующим образом: рассматривают несколько более простых событий, через которые с помощью введенных ранее операций выражают данное событие А. Затем, используя те или иные формулы, сводят вычисление Р(А) к вероятностям этих более простых событий.

Пример Задача 10. Наугад выбирают целое число N в пределах от 1 до 1000. Найти вероятность того, что число N делится либо на 3, либо на 5, либо на 7.

Пример (задача 10) Решение: Рассмотрим простые события: А 3 – число N делится на 3; А 5 – число N делится на 5; А 7 – число N делится на 7. Очевидно, что рассматриваемое в задаче событие Поэтому по формуле сложения вероятностей:

Пример (задача 10) Решение: Каждую из этих семи вероятностей легко найти по классическому определению, при этом общее число исходов n=1000, а число благоприятных исходов для каждого из семи событий получается в результате целочисленного деления числа n=1000 на 3, 5, 7, 15, 21, 35 и 105 соответственно. В результате получим:

Пример Задача 11. Имеется набор карточек, из которых 10 карточек с буквой М и 5 карточек c буквой А. Из этого набора не глядя берут 4 карточки и выкладывают их в ряд. Найти вероятность того, что получится слово МАМА.

Пример (задача 11) Решение: Рассмотрим простые события: А 1 – на первой карточке буква М; А 2 – на второй карточке буква А; А 3 – на третьей карточке буква М; А 4 – на четвертой карточке буква А. Нас интересует событие А 1 А 2 А 3 А 4. По формуле умножения вероятностей (для зависимых событий):

Пример (задача 11) Каждую из этих четырех вероятностей найдем по классическому определению: 1. 2. Предположим, что произошло событие А 1, а это значит, что среди оставшихся карточек 9 – с буквой М и 5 – с буквой А, поэтому:

Пример (задача 11) 3. Предположим, что произошло событие А 1 А 2, т. е. осталось 9 карточек с буквой М и 4 – с буквой А. Наконец, предположим, что произошло событие А 1 А 2 А 3, т. е. осталось 8 карточек с буквой М и 4 – с буквой А. Тогда: Таким образом,

Пример Задача 12. Вероятность попадания в цель для каждого из трех стрелков равны 0, 8, 0, 7 и 0, 6 соответственно. Каждый из них выстрелил в цель по разу. Найти вероятность того, что по крайней мере двое из них попадут в цель.

Пример (задача 12) Решение: Рассмотрим простые события: А – первый стрелок попал в цель; В – второй стрелок попал в цель; С – третий стрелок попал в цель. Интересующее нас событие выражается через А, В и С следующим образом: причем слагаемые в этой сумме несовместны, а сомножители во всех произведениях независимы.

Пример (задача 12) Решение: Поэтому, используя формулы сложения и умножения вероятностей, а также вероятность противоположного события, получим вероятность требуемого события:

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности Рассмотрим некоторое испытание, в результате которого может произойти событие А одновременно с одним из событий Н 1, Н 2, . . . , Нn – полной группы несовместных событий (гипотезами). 1. Hi. Hj≠ , 2. Событие А можно представить в виде суммы несовместных событий:

Формула полной вероятности Применив к этому равенству последовательно формулы сложения и умножения вероятностей, получим формулу: которая называется формулой полной вероятности.

Пример Задача 13. В тире имеется 10 ружей. Для пяти из них вероятность попадания в цель равна 0, 8, для трех других – 0, 6 и для двух оставшихся – 0, 3. Человек, зайдя в тир, выбирает наугад ружье и стреляет из него по цели. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Пример (задача 13) Решение: Для удобства будем называть ружья хорошими, средними и плохими в зависимости от вероятности попадания в цель. Введем в рассмотрение три гипотезы: Н 1 – выбрано хорошее ружье; Н 2 – выбрано среднее ружье; Н 3 – выбрано плохое ружье. Из условия по классическому определению вероятности получим, что

Пример (задача 13) Условные вероятности – это заданные в задаче числа(0, 8, 0, 6 и 0, 3). Вероятность попадания в цель находим по формуле:

Пример Задача 14. Имеются две урны с шарами: в первой 4 белых шара и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны достают наугад два шара и перекладывают их во вторую урну. Затем из второй урны достают наугад один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

Пример (задача 14) Решение: Рассмотрим три гипотезы: Н 1 – из первой во вторую урну переложили два черных шара; Н 2 – переложили два белых шара; Н 3 – переложили белый и черный шары. Общее число исходов при перекладывании шаров: Число исходов, благоприятствующих событиям Н 1, Н 2 и Н 3, равны, соответственно,

Пример (задача 14) Отсюда по классическому определению находим вероятности гипотез: После перекладывания во второй урне окажется 8 шаров, но состав шаров в ней будет зависеть от того, какая из трех гипотез имела место. Обозначим через A событие, состоящее в том, что вынутый из второй урны шар окажется белым. Если имела место гипотеза Н 1, то во второй урне – 4 белых шара и 4 черных. Поэтому

Пример (задача 14) Если имела место гипотеза Н 2, то во второй урне – 6 белых шаров и 2 черных, т. е. Если, наконец, имела место гипотеза Н 3, то во второй урне 5 белых шаров и 3 черных, т. е. Таким образом, по формуле полной вероятности

Формулы Байеса

Формулы Байеса Рассмотрим испытание, проходящее в два этапа. Пусть {Н 1, Н 2, …, Нn} – гипотезы, т. е. возможные результаты первого этапа. А – случайное событие, которое может произойти или не произойти в результате всего испытания в целом. Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события А. Предположим теперь, что испытание проведено и стало известно, что событие А произошло. В этом случае вероятности гипотез по сравнению с первоначальными могут измениться.

Формулы Байеса Формула Байеса позволяет точно вычислить эти условные вероятности. Она выводится из формулы полной вероятности и в общем случае имеет следующий вид: (k=1, 2, …, n).

Пример Задача 15. Пусть в тире имеются два ружья, вероятность попадания в цель из первого равна 0, 9, а из второго – 0, 1. Наугад выбирают ружье и стреляют из него в цель. Событие А состоит в том, что цель будет поражена. Предположим, что стало известно, что событие А произошло. 1)Что более вероятно: выстрел произведен из первого или второго ружья. 2)Найти вероятность того, что выстрел произведен из первого ружья.

Пример (задача 15) Решение: 1) Так как ружья выбираются наугад, то вероятности гипотез (выбор первого или второго ружья) одинаковы: Так как стало известно, что событие А произошло, то, очевидно, что теперь более вероятна гипотеза Н 1, т. е. стреляли из первого ружья:

Пример (задача 15) Решение: 2) Используя формулу Байеса, уточняем результат полученный ранее: т. е. при условии попадания в цель вероятность того, что стреляли из первого ружья равна 0, 9, а из второго – 0, 1.

Пример Задача 16. Имеются три партии деталей: в первой партии – 10% бракованных деталей, во второй – 20% и в третьей – 30%. Наугад выбирают одну из партий и из нее берут одну деталь, которая оказывается бракованной. Какова вероятность того, что деталь взята из первой партии?

Пример (задача 16)

Пример (задача 16) Решение: Искомую вероятность находим по формуле Байеса: