Скачать презентацию ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2 Условная вероятность Независимость событий Вероятность Скачать презентацию ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2 Условная вероятность Независимость событий Вероятность

теория ВЕРОЯТНОСТЕЙ-02.pptx

  • Количество слайдов: 31

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. (продолжение)

В некоторых задачах вычисление вероятности случайного события А непосредственно по классическому определению бывает сопряжено В некоторых задачах вычисление вероятности случайного события А непосредственно по классическому определению бывает сопряжено с довольно значительными вычислительными трудностями. В таких случаях обычно поступают следующим образом: рассматривают несколько более простых событий, через которые с помощью введенных ранее операций выражают данное событие А. Затем, используя те или иные формулы, сводят вычисление Р(А) к вероятностям этих более простых событий.

Пример Задача 10. Наугад выбирают целое число N в пределах от 1 до 1000. Пример Задача 10. Наугад выбирают целое число N в пределах от 1 до 1000. Найти вероятность того, что число N делится либо на 3, либо на 5, либо на 7.

Пример (задача 10) Решение: Рассмотрим простые события: А 3 – число N делится на Пример (задача 10) Решение: Рассмотрим простые события: А 3 – число N делится на 3; А 5 – число N делится на 5; А 7 – число N делится на 7. Очевидно, что рассматриваемое в задаче событие Поэтому по формуле сложения вероятностей:

Пример (задача 10) Решение: Каждую из этих семи вероятностей легко найти по классическому определению, Пример (задача 10) Решение: Каждую из этих семи вероятностей легко найти по классическому определению, при этом общее число исходов n=1000, а число благоприятных исходов для каждого из семи событий получается в результате целочисленного деления числа n=1000 на 3, 5, 7, 15, 21, 35 и 105 соответственно. В результате получим:

Пример Задача 11. Имеется набор карточек, из которых 10 карточек с буквой М и Пример Задача 11. Имеется набор карточек, из которых 10 карточек с буквой М и 5 карточек c буквой А. Из этого набора не глядя берут 4 карточки и выкладывают их в ряд. Найти вероятность того, что получится слово МАМА.

Пример (задача 11) Решение: Рассмотрим простые события: А 1 – на первой карточке буква Пример (задача 11) Решение: Рассмотрим простые события: А 1 – на первой карточке буква М; А 2 – на второй карточке буква А; А 3 – на третьей карточке буква М; А 4 – на четвертой карточке буква А. Нас интересует событие А 1 А 2 А 3 А 4. По формуле умножения вероятностей (для зависимых событий):

Пример (задача 11) Каждую из этих четырех вероятностей найдем по классическому определению: 1. 2. Пример (задача 11) Каждую из этих четырех вероятностей найдем по классическому определению: 1. 2. Предположим, что произошло событие А 1, а это значит, что среди оставшихся карточек 9 – с буквой М и 5 – с буквой А, поэтому:

Пример (задача 11) 3. Предположим, что произошло событие А 1 А 2, т. е. Пример (задача 11) 3. Предположим, что произошло событие А 1 А 2, т. е. осталось 9 карточек с буквой М и 4 – с буквой А. Наконец, предположим, что произошло событие А 1 А 2 А 3, т. е. осталось 8 карточек с буквой М и 4 – с буквой А. Тогда: Таким образом,

Пример Задача 12. Вероятность попадания в цель для каждого из трех стрелков равны 0, Пример Задача 12. Вероятность попадания в цель для каждого из трех стрелков равны 0, 8, 0, 7 и 0, 6 соответственно. Каждый из них выстрелил в цель по разу. Найти вероятность того, что по крайней мере двое из них попадут в цель.

Пример (задача 12) Решение: Рассмотрим простые события: А – первый стрелок попал в цель; Пример (задача 12) Решение: Рассмотрим простые события: А – первый стрелок попал в цель; В – второй стрелок попал в цель; С – третий стрелок попал в цель. Интересующее нас событие выражается через А, В и С следующим образом: причем слагаемые в этой сумме несовместны, а сомножители во всех произведениях независимы.

Пример (задача 12) Решение: Поэтому, используя формулы сложения и умножения вероятностей, а также вероятность Пример (задача 12) Решение: Поэтому, используя формулы сложения и умножения вероятностей, а также вероятность противоположного события, получим вероятность требуемого события:

Формула полной вероятности Формула полной вероятности

Формула полной вероятности Рассмотрим некоторое испытание, в результате которого может произойти событие А одновременно Формула полной вероятности Рассмотрим некоторое испытание, в результате которого может произойти событие А одновременно с одним из событий Н 1, Н 2, . . . , Нn – полной группы несовместных событий (гипотезами). 1. Hi. Hj≠ , 2. Событие А можно представить в виде суммы несовместных событий:

Формула полной вероятности Применив к этому равенству последовательно формулы сложения и умножения вероятностей, получим Формула полной вероятности Применив к этому равенству последовательно формулы сложения и умножения вероятностей, получим формулу: которая называется формулой полной вероятности.

Пример Задача 13. В тире имеется 10 ружей. Для пяти из них вероятность попадания Пример Задача 13. В тире имеется 10 ружей. Для пяти из них вероятность попадания в цель равна 0, 8, для трех других – 0, 6 и для двух оставшихся – 0, 3. Человек, зайдя в тир, выбирает наугад ружье и стреляет из него по цели. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Пример (задача 13) Решение: Для удобства будем называть ружья хорошими, средними и плохими в Пример (задача 13) Решение: Для удобства будем называть ружья хорошими, средними и плохими в зависимости от вероятности попадания в цель. Введем в рассмотрение три гипотезы: Н 1 – выбрано хорошее ружье; Н 2 – выбрано среднее ружье; Н 3 – выбрано плохое ружье. Из условия по классическому определению вероятности получим, что

Пример (задача 13) Условные вероятности – это заданные в задаче числа(0, 8, 0, 6 Пример (задача 13) Условные вероятности – это заданные в задаче числа(0, 8, 0, 6 и 0, 3). Вероятность попадания в цель находим по формуле:

Пример Задача 14. Имеются две урны с шарами: в первой 4 белых шара и Пример Задача 14. Имеются две урны с шарами: в первой 4 белых шара и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны достают наугад два шара и перекладывают их во вторую урну. Затем из второй урны достают наугад один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

Пример (задача 14) Решение: Рассмотрим три гипотезы: Н 1 – из первой во вторую Пример (задача 14) Решение: Рассмотрим три гипотезы: Н 1 – из первой во вторую урну переложили два черных шара; Н 2 – переложили два белых шара; Н 3 – переложили белый и черный шары. Общее число исходов при перекладывании шаров: Число исходов, благоприятствующих событиям Н 1, Н 2 и Н 3, равны, соответственно,

Пример (задача 14) Отсюда по классическому определению находим вероятности гипотез: После перекладывания во второй Пример (задача 14) Отсюда по классическому определению находим вероятности гипотез: После перекладывания во второй урне окажется 8 шаров, но состав шаров в ней будет зависеть от того, какая из трех гипотез имела место. Обозначим через A событие, состоящее в том, что вынутый из второй урны шар окажется белым. Если имела место гипотеза Н 1, то во второй урне – 4 белых шара и 4 черных. Поэтому

Пример (задача 14) Если имела место гипотеза Н 2, то во второй урне – Пример (задача 14) Если имела место гипотеза Н 2, то во второй урне – 6 белых шаров и 2 черных, т. е. Если, наконец, имела место гипотеза Н 3, то во второй урне 5 белых шаров и 3 черных, т. е. Таким образом, по формуле полной вероятности

Формулы Байеса Формулы Байеса

Формулы Байеса Рассмотрим испытание, проходящее в два этапа. Пусть {Н 1, Н 2, …, Формулы Байеса Рассмотрим испытание, проходящее в два этапа. Пусть {Н 1, Н 2, …, Нn} – гипотезы, т. е. возможные результаты первого этапа. А – случайное событие, которое может произойти или не произойти в результате всего испытания в целом. Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события А. Предположим теперь, что испытание проведено и стало известно, что событие А произошло. В этом случае вероятности гипотез по сравнению с первоначальными могут измениться.

Формулы Байеса Формула Байеса позволяет точно вычислить эти условные вероятности. Она выводится из формулы Формулы Байеса Формула Байеса позволяет точно вычислить эти условные вероятности. Она выводится из формулы полной вероятности и в общем случае имеет следующий вид: (k=1, 2, …, n).

Пример Задача 15. Пусть в тире имеются два ружья, вероятность попадания в цель из Пример Задача 15. Пусть в тире имеются два ружья, вероятность попадания в цель из первого равна 0, 9, а из второго – 0, 1. Наугад выбирают ружье и стреляют из него в цель. Событие А состоит в том, что цель будет поражена. Предположим, что стало известно, что событие А произошло. 1)Что более вероятно: выстрел произведен из первого или второго ружья. 2)Найти вероятность того, что выстрел произведен из первого ружья.

Пример (задача 15) Решение: 1) Так как ружья выбираются наугад, то вероятности гипотез (выбор Пример (задача 15) Решение: 1) Так как ружья выбираются наугад, то вероятности гипотез (выбор первого или второго ружья) одинаковы: Так как стало известно, что событие А произошло, то, очевидно, что теперь более вероятна гипотеза Н 1, т. е. стреляли из первого ружья:

Пример (задача 15) Решение: 2) Используя формулу Байеса, уточняем результат полученный ранее: т. е. Пример (задача 15) Решение: 2) Используя формулу Байеса, уточняем результат полученный ранее: т. е. при условии попадания в цель вероятность того, что стреляли из первого ружья равна 0, 9, а из второго – 0, 1.

Пример Задача 16. Имеются три партии деталей: в первой партии – 10% бракованных деталей, Пример Задача 16. Имеются три партии деталей: в первой партии – 10% бракованных деталей, во второй – 20% и в третьей – 30%. Наугад выбирают одну из партий и из нее берут одну деталь, которая оказывается бракованной. Какова вероятность того, что деталь взята из первой партии?

Пример (задача 16) Пример (задача 16)

Пример (задача 16) Решение: Искомую вероятность находим по формуле Байеса: Пример (задача 16) Решение: Искомую вероятность находим по формуле Байеса: