Скачать презентацию ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Предмет теории вероятностей Частота Геометрическая Скачать презентацию ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 Предмет теории вероятностей Частота Геометрическая

теория ВЕРОЯТНОСТЕЙ-01.pptx

  • Количество слайдов: 39

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. Предмет теории вероятностей. Частота. Геометрическая вероятность. Случайные события, операции над событиями ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. Предмет теории вероятностей. Частота. Геометрическая вероятность. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей.

Случайные события Теория вероятностей занимается случайных событий и их вероятностей. изучением Событие называется случайным, Случайные события Теория вероятностей занимается случайных событий и их вероятностей. изучением Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти.

Случайные события Все события можно разделить на три типа: невозможное событие ( ) – Случайные события Все события можно разделить на три типа: невозможное событие ( ) – это такое событие, которое в результате испытания не может произойти; достоверное событие ( ) – это событие, которое в результате испытания обязательно происходит; случайные события (А, В, С. . . ), т. е. такие, которые в результате испытания могут произойти, а могут и не произойти.

Вероятность случайного события Вероятность P(A) случайного события А – это число, отражающее меру возможности Вероятность случайного события Вероятность P(A) случайного события А – это число, отражающее меру возможности появления события А в данном испытании. Отметим, что 0 ≤ Р(А) ≤ 1; Р( )= 0; Р( ) = 1.

Относительная частота Относительной частотой события А в серии испытаний называется число где k – Относительная частота Относительной частотой события А в серии испытаний называется число где k – число испытаний, при которых событие А произошло; n – число всех проведенных испытаний.

Устойчивость относительных частот Длительные наблюдения показывают, что имеет место свойство устойчивости относительных частот: 1. Устойчивость относительных частот Длительные наблюдения показывают, что имеет место свойство устойчивости относительных частот: 1. при проведении нескольких серий из n испытаний относительные частоты каждой из этих серий будут примерно одинаковыми; 2. с увеличением числа испытаний n относительные частоты все меньше и меньше будут отклоняться друг от друга.

Статистическая вероятность события Если эти относительные частоты разумным образом округлить, то полученное таким образом Статистическая вероятность события Если эти относительные частоты разумным образом округлить, то полученное таким образом число P(А) называют статистической вероятностью события А.

Пространство элементарных исходов (событий) Пространством элементарных исходов (событий) некоторого испытания (опыта) называют множество всех Пространство элементарных исходов (событий) Пространством элементарных исходов (событий) некоторого испытания (опыта) называют множество всех возможных результатов проведения этого испытания. Испытание Случайные события Монету А – число орлов и решек будет равно подбрасывают В – выпадет хотя бы один орел два раза С – обе монеты выпадут орлом Кубик (игр. кость) бросают два раза А – выпадет хотя бы одна шестерка В – сумма выпавших очков будет меньше десяти С – выпадут две единицы Пространство элементарных исходов ( ) {(о, о), (о, р), (р, о), (р, р)}

Случайное событие Случайным событием называется всякое подмножество А пространства элементарных исходов некоторого испытания. Исходы, Случайное событие Случайным событием называется всякое подмножество А пространства элементарных исходов некоторого испытания. Исходы, входящие в событие А называются благоприятствующими событию А. Испытание Монету подбрасывают два раза Кубик (игр. кость) бросают два раза Случайные события

Операции над случайными событиями. 1. Сумма событий А и В (A+B). В результате испытания Операции над случайными событиями. 1. Сумма событий А и В (A+B). В результате испытания произойдет хотя бы одно из событий А или В. 2. Произведение событий А и В (А В). В результате испытания произойдут оба этих события А и В одновременно.

Операции над случайными событиями Случайные события А и В называются несовместными (несовместимыми), если в Операции над случайными событиями Случайные события А и В называются несовместными (несовместимыми), если в результате испытания они не могут произойти одновременно, т. е. А В=. Если же А В≠ , то события А и В называются совместными.

Операции над случайными событиями 3. Разность событий А и В (A-B). В результате испытания Операции над случайными событиями 3. Разность событий А и В (A-B). В результате испытания произойдет событие А, а событие В не произойдет. 4. Событие, противоположное к событию А. В результате испытания событие А не произойдет.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 2. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса.

Теоретическое определение вероятности Вероятностью называется действительная функция Р(А), заданная на множестве случайных событий некоторого Теоретическое определение вероятности Вероятностью называется действительная функция Р(А), заданная на множестве случайных событий некоторого испытания (опыта), имеющая следующие свойства: 1. Р(А) ≥ 0. 2. Р(Ω) = 1. 3. Если события А и В несовместны (АВ= ), то Р(А+В) = Р(А)+Р(В) 4. (PА(В) - условная вероятность)

Условная вероятность Условная вероятности (PА(В)) события В при условии А – вероятность события В, Условная вероятность Условная вероятности (PА(В)) события В при условии А – вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или нет другое (Р(В)=РА(В) или Р(А)=РВ(А)).

Свойства вероятности Из определения получим следующие простейшие свойства вероятности: 1. Р( ) =0; 2. Свойства вероятности Из определения получим следующие простейшие свойства вероятности: 1. Р( ) =0; 2. Р( А) = 1 - Р(А); 3. формула умножения вероятностей: Р(АВ)=Р(А)∙РА(В) или Р(АВ) = Р(А)∙Р(В) (для независимых событий); 4. формула сложения вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ).

Пример Задача 1. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадет Пример Задача 1. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадет четная цифра большая 3.

Пример (задача 1) Решение: Рассмотрим следующие элементарные исходы: А 1 - на кубике выпала Пример (задача 1) Решение: Рассмотрим следующие элементарные исходы: А 1 - на кубике выпала цифра “ 1”; А 2 - на кубике выпала цифра “ 2”; . . . А 6 - на кубике выпала цифра “ 6”. Исходы А 1…А 6 образуют полную группу несовместных и равновероятных исходов (кубик симметричен). Событию А, описанному в задаче, благоприятствует два исхода: А 4 и А 6. Таким образом, n = 6, m = 2

Пример Задача 2. Из набора костей домино наугад извлекают одну кость. Какова вероятность того, Пример Задача 2. Из набора костей домино наугад извлекают одну кость. Какова вероятность того, что эта кость – дупль.

Пример (задача 2) Решение: В полном наборе костей домино – 28 штук, из них Пример (задача 2) Решение: В полном наборе костей домино – 28 штук, из них – 7 дуплей. Полную группу равновероятных и несовместных исходов образуют 28 исходов, 7 из которых благоприятствуют рассматриваемому событию А. Таким образом,

Пример Задача 3. Из колоды в 36 карт наудачу достают одну карту. Найти вероятность Пример Задача 3. Из колоды в 36 карт наудачу достают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта – туз

Геометрическое определение вероятности Рассмотрим испытание, состоящее а том, что внутри заданной плоскости области Ω Геометрическое определение вероятности Рассмотрим испытание, состоящее а том, что внутри заданной плоскости области Ω наугад отмечается точка М, Тогда для любой меньшей области D 1, лежащей в Ω можно рассмотреть событие А, состоящее в том, что отмеченная точка М окажется лежащей в D 1. Вероятность этого события вычисляется по формуле

Пример Задача 5. В квадрате со стороной 3 см наугад отмечается точка М. Найти Пример Задача 5. В квадрате со стороной 3 см наугад отмечается точка М. Найти вероятность того, что т. М окажется не дальше 1 см от ближайшей вершины квадрата.

Пример (задача 5) Решение: В данном случае область - это квадрат. Рассматриваемому событию А Пример (задача 5) Решение: В данном случае область - это квадрат. Рассматриваемому событию А соответствует заштрихованная область D 1 – четыре круговых сектора радиуса 1 см. S = 32 = 9, S 1 = 1 2 =

Пример Задача 6. Наугад выбирают два числа: 0 ≤ x ≤ 2 и 0 Пример Задача 6. Наугад выбирают два числа: 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 1. Строится прямоугольник со сторонами x и y. Найти вероятность того, что его площадь будет больше 1.

Пример (задача 6) Решение: Пара чисел (x, y) определяет точку М на плоскости, а Пример (задача 6) Решение: Пара чисел (x, y) определяет точку М на плоскости, а указанным неравенствам соответствует область Ω ( прямоугольник OABC). Область D 1 (заштрихована) определяется условием xy>1 или y>1/x. S( )=1 2=2

Элементы комбинаторики Во многих задачах непросто определить, что надо понимать под исходами, образуют ли Элементы комбинаторики Во многих задачах непросто определить, что надо понимать под исходами, образуют ли они полную группу равновероятных и несовместных исходов, подсчитать их общее число n и число благоприятных исходов m. Для решения этих задач может помочь знание комбинаторных формул.

Элементы комбинаторики 1. Правило произведения (умножения). Рассмотрим несколько конечных множеств: A={a 1, a 2, Элементы комбинаторики 1. Правило произведения (умножения). Рассмотрим несколько конечных множеств: A={a 1, a 2, …, an}, B={b 1, b 2, …, bn}, …, C={c 1, c 2, …, cn} Тогда общее число всевозможных упорядоченных наборов (ai 1, bi 2, …, cik) таких что можно найти по формуле:

Элементы комбинаторики 2. Размещения c повторениями. Пусть A={a 1, a 2, …, an} – Элементы комбинаторики 2. Размещения c повторениями. Пусть A={a 1, a 2, …, an} – конечное множество из n элементов, k – натуральное число. Размещением из n элементов по k с повторением называется любой упорядоченный набор (ai 1, ai 2, …, aik) в котором все элементы аi Є А. Согласно правилу произведения общее число размещений с повторениями из n по k равно

Элементы комбинаторики 3. Размещения без повторений. Пусть A={a 1, a 2, …, an} – Элементы комбинаторики 3. Размещения без повторений. Пусть A={a 1, a 2, …, an} – конечное множество из n элементов, k – натуральное число. Размещением из n элементов по k без повторений называется любой упорядоченный набор (ai 1, ai 2, …, aik) в котором все элементы аi Є А являются различными. Общее число размещений без повторений из n по k равно

Элементы комбинаторики 4. Перестановки. Перестановкой элементов конечного множества A={a 1, a 2, …, an} Элементы комбинаторики 4. Перестановки. Перестановкой элементов конечного множества A={a 1, a 2, …, an} называется частный случай размещений без повторений, когда n=k. Следовательно, число всех перестановок n элементов равно:

Элементы комбинаторики 5. Сочетания Сочетанием (без повторений) из n элементов множества A={a 1, a Элементы комбинаторики 5. Сочетания Сочетанием (без повторений) из n элементов множества A={a 1, a 2, …, an} по k называется любой неупорядоченный набор из k элементов множества А (0≤k≤n). Следовательно каждое сочетание без повторений совпадает с подмножеством множества A. Для любого сочетания из k элементов число различных размещений из этих же элементов равно числу перестановок Рk. Поэтому Число всех сочетаний из n по k можно вычислить по формуле:

Пример Задача 7. Бросают два кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших на них Пример Задача 7. Бросают два кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших на них цифр окажется больше шести?

Пример (задача 7) Решение: Элементарный исход данного испытания можно представить себе как пару чисел Пример (задача 7) Решение: Элементарный исход данного испытания можно представить себе как пару чисел (i, j), где i - это цифра, выпавшая на первом кубике, j - на втором кубике. Следовательно, исходами являются размещения из 6 элементов по 2 с повторениями. Значит, можно найти число всех исходов: n=62=36 Для подсчета числа благоприятных исходов удобно записать все исходы в виде таблицы:

Пример (задача 7) Решение: Событию А (сумма цифр больше 6) благоприятствуют те исходы, которые Пример (задача 7) Решение: Событию А (сумма цифр больше 6) благоприятствуют те исходы, которые расположены в таблице ниже линии, проведенной над диагональю. Таким образом, m=1+2+3+4+5+6=21. Следовательно,

Пример Задача 8. Монету подбросили 5 раз. Найти вероятность того, что ровно один раз Пример Задача 8. Монету подбросили 5 раз. Найти вероятность того, что ровно один раз она упадет вверх “решкой”.

Пример (задача 8) Решение: Любой исход данного испытания можно представить в виде пятибуквенного слова Пример (задача 8) Решение: Любой исход данного испытания можно представить в виде пятибуквенного слова (с буквами О и Р). Например, исход ОРООР означает, что первый раз монета упала орлом, второй раз – решкой, третий раз – орлом, четвертый раз – орлом, пятый раз – решкой. Число всех таких слов вычисляется как число размещений из двух элементов по 5 с повторениями: n=25=32. Указанному событию благоприятствует m=5 исходов: РОООО, ОРООО, ООРОО, ОООРО, ООООР.

Пример Задача 9. Из колоды в 36 карт по очереди наугад достают три карты Пример Задача 9. Из колоды в 36 карт по очереди наугад достают три карты (назад карты не возвращаются). Найти вероятность того, что вторая по счету из них будет тузом, а две другие – нет.

Пример (задача 9) Решение: Исходом данного испытания будет являться размещение из 36 элементов по Пример (задача 9) Решение: Исходом данного испытания будет являться размещение из 36 элементов по 3 без повторений: n=36 35 34. Число благоприятных исходов можно подсчитать следующим образом: рассмотрим упорядоченную тройку карт, в которой первая карта – не туз, вторая – туз, третья – не туз. В этой тройке на первое место можно поставить любую из 32 карт (не тузов), на второе место - любого из 4 тузов, на третье место – любую из оставшихся 31 карты (не тузов). Общее число таких троек: m=32 4 31.